知識(shí)可視化

湯鋒

【摘要】高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度明顯增加，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍存在困難，學(xué)習(xí)效率較低，因此，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)階段教師需要重點(diǎn)思考和解決的問題.數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學(xué)思想，還是一種關(guān)鍵的解題工具，在高中數(shù)學(xué)中，具有極高的應(yīng)用價(jià)值，將數(shù)形結(jié)合思想貫串高中數(shù)學(xué)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生的思維能力，還能為學(xué)生提供更多解題思路，以解決實(shí)際問題.本文對(duì)數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)原則進(jìn)行闡述，并具體探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的實(shí)踐.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;基本原則;實(shí)踐

現(xiàn)階段，受高考的影響，高中學(xué)生普遍壓力較大，很多學(xué)生都嘗試以題海戰(zhàn)術(shù)提高成績(jī)，但是往往事倍功半，效果不甚理想，這其中最根本的原因是學(xué)生的思維能力沒有得到充分鍛煉與提升.高中數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要注重具體知識(shí)的傳授，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題，這樣才能促使學(xué)生獲得全面提升.數(shù)形結(jié)合思想的核心分為兩個(gè)方面，一是以形解數(shù)，二是以數(shù)解形.其本質(zhì)上是利用數(shù)形轉(zhuǎn)換的模式幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)，并為學(xué)生提供更多思路.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想對(duì)于提高學(xué)生的思維能力及學(xué)習(xí)效率具有重要作用，教師有必要對(duì)此進(jìn)行深入研究分析.

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)單來說就是在數(shù)學(xué)體系中，數(shù)形相互轉(zhuǎn)化，以數(shù)精準(zhǔn)度量形，以形直觀展示數(shù)的一種思想，其本質(zhì)就是將抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀幾何圖形結(jié)合起來，既可以分析數(shù)量關(guān)系，又能揭示幾何規(guī)律.數(shù)學(xué)是一門研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，空間形式和數(shù)量關(guān)系作為數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象，二者是相互依存的關(guān)系，抽象的數(shù)量關(guān)系可以用直觀的幾何圖形展示，而物體的形也可以用數(shù)精確度量，數(shù)形結(jié)合就形成了數(shù)形結(jié)合思想.華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”這句話很準(zhǔn)確地揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，并高度概括了其價(jià)值.數(shù)形結(jié)合思想是形象思維與抽象思維的充分結(jié)合，可以化繁為簡(jiǎn)，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問題具有重要幫助.

二、數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的基本原則

1.目標(biāo)性原則

目前，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中尚未真正落實(shí)數(shù)形結(jié)合思想，其根本原因是缺乏明確、具體的目標(biāo)，導(dǎo)致數(shù)形結(jié)合思想難以與具體的知識(shí)相結(jié)合，學(xué)生難以掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓.鑒于此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)明確教學(xué)目標(biāo)，確定以哪些知識(shí)為基本載體，采用哪種教學(xué)模式將數(shù)形結(jié)合思想滲透到教學(xué)過程中.

2.系統(tǒng)化原則

高中數(shù)學(xué)教材在編排上是以模塊劃分的，不同模塊側(cè)重不同的知識(shí)內(nèi)容，這在一定程度上限制了數(shù)形結(jié)合思想的滲透，對(duì)此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)遵循系統(tǒng)化原則，注重挖掘數(shù)學(xué)教材中可以作為數(shù)形結(jié)合思想載體的知識(shí)內(nèi)容，系統(tǒng)化地進(jìn)行歸納總結(jié)，以單元、專題、模塊的形式讓學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生全面認(rèn)知.

3.層次性原則

從本質(zhì)上來講，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，比較抽象，只有在解決具體問題時(shí)才會(huì)體現(xiàn)其工具性，因此，要讓學(xué)生充分理解和掌握存在較大難度.鑒于此，教師在教學(xué)過程中要遵循層次性的原則，要與學(xué)生的認(rèn)知水平保持一致，以螺旋上升的形式，循序漸進(jìn)地滲透數(shù)形結(jié)合思想.教師要注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，讓學(xué)生從教材知識(shí)中感悟數(shù)形結(jié)合思想，在習(xí)題練習(xí)過程中掌握數(shù)形結(jié)合思想，最終在總結(jié)復(fù)習(xí)的過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)化.

4.全過程原則

所謂全過程原則指的是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)當(dāng)貫串整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生通過不斷感悟、練習(xí)，最終掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，并將其應(yīng)用于解決實(shí)際問題當(dāng)中.數(shù)形結(jié)合本身就是一個(gè)抽象化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生需要一個(gè)由低到高的認(rèn)知過程，這樣才能讓數(shù)形結(jié)合思想深入骨髓.從這方面來說，要求教師將數(shù)形結(jié)合思想貫串高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，最終促使學(xué)生完成由感悟性認(rèn)知向理性認(rèn)知的過渡.

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)踐

1.數(shù)形結(jié)合思想在集合中的實(shí)踐

集合是高中階段數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，也是學(xué)生在高中階段最先接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)，這部分內(nèi)容是高中階段數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性內(nèi)容，對(duì)于后續(xù)函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要作用.在學(xué)習(xí)關(guān)于集合的內(nèi)容時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值在于其可以將抽象化的數(shù)數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換為幾何圖形之間的關(guān)系，使其更加形象具體.目前最為普遍的方式就是利用韋恩圖與數(shù)軸的方式來表示集合，進(jìn)而幫助學(xué)生更加直觀地理解和分析問題.

所謂韋恩圖如圖1所示，就是將取值范圍不同的集合以圖形表示出來，一般情況下，以正方形表示最大數(shù)域，以圓形表示題目中的不同集合，通過這種形式即可直觀地判斷不同集合之間的關(guān)系.若兩個(gè)圓形有交叉部分，則表示二者存在共有元素，即交集;若這兩個(gè)圓形所有面積涵蓋了二者所有元素，即可并集;若兩個(gè)圓形沒有交叉部分，則代表二者之間沒有關(guān)系，二者的交集為空集;而在兩個(gè)集合外的部分即是最大數(shù)域內(nèi)二者的補(bǔ)集.

數(shù)軸一般主要用來處理含有未知數(shù)并且已知條件相對(duì)模糊的集合問題，在數(shù)軸上將集合關(guān)系表示出來，可以更加直觀的理解問題.

例如：已知x-1+x-5=4，求解x的取值范圍.

這種問題就可以采用數(shù)軸解決，如圖2所示，通過觀察數(shù)軸，很容易就可以得出x的取值范圍為1≤x≤5.這種形式不僅簡(jiǎn)單明了，而且思路清晰，易于學(xué)生解決一些抽象性的問題.

2.數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的實(shí)踐

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)重要的模塊之一，也是學(xué)生普遍認(rèn)為難度比較大的部分，這部分內(nèi)容是后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)的重要基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)值域、定義域問題，零點(diǎn)問題的重要工具，可以幫助學(xué)生更好地理清思路，尤其是關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，這是高中階段難度比較大的問題之一，多見于高考的壓軸題目中.本文以求解函數(shù)的值域、定義域問題為例，具體分析數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用.函數(shù)的定義域即自變量取值范圍，值域即因變量取值范圍，在解決此類問題時(shí)仍采用以形解數(shù)的思路.

比如：求解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值域.

首先需要對(duì)該函數(shù)配方，再畫出圖像，根據(jù)圖像確定定點(diǎn)是否處于所求取值范圍，如圖3所示.此時(shí)就會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一是x的取值范圍為整個(gè)實(shí)數(shù)，由此就可以根據(jù)函數(shù)圖像中a的正負(fù)值畫出圖像判斷，如果a>0，頂點(diǎn)函數(shù)值為N，即該函數(shù)值域是{N，+∞];若a<0，頂點(diǎn)函數(shù)值為N，即該函數(shù)值域?yàn)椋?∞，N].二是該函數(shù)有確定定義域，若頂點(diǎn)不在取值范圍內(nèi)則直接帶入兩個(gè)端點(diǎn)值來求值域，因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)性;若二次函數(shù)配方后的頂點(diǎn)在所求的取值范圍內(nèi)，則需要先求出所給取值范圍的兩個(gè)端點(diǎn)值與函數(shù)的頂點(diǎn)值，最終得出三個(gè)數(shù)值中，最大值即該函數(shù)值域最大值，最小值即該函數(shù)值域最小值.

3.數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的實(shí)踐——以圓錐曲線為例

關(guān)于圓錐曲線這部分內(nèi)容也是高中階段難度較大的內(nèi)容之一，在高考中也比較多見，基本每年都會(huì)有至少一道與圓錐曲線相關(guān)的填空題或者選擇題或一道解答題.一般來說，這種題目對(duì)于學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力要求較高，因此，在學(xué)習(xí)過程中需要教師引導(dǎo)學(xué)生從多角度分析問題，靈活運(yùn)用教材中的知識(shí)，而數(shù)形結(jié)合思想就是其中最為關(guān)鍵的一種思維方法.

例如：已知A（1，1）是橢圓x29+b24=1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求解|PF1|+|PA|的最大值與最小值.

由x29+b24=1可知a=3，b=5，c=2，橢圓左焦點(diǎn)F1為（-2，0），橢圓右焦點(diǎn)F2為（2，0）;根據(jù)橢圓定義可知|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|，所以|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|，如圖4所示，由|PA|-|PF2|≤|AF2|=（2-1）2+（0-1）2=2.

可得-2≤|PA|-|PF2|≤2，若P點(diǎn)在AF2的延長(zhǎng)線上的P2位置時(shí)，取右等號(hào);若P點(diǎn)在AF2的反向延長(zhǎng)線上的P1位置時(shí)，取左等號(hào)，由此可得|PA|-|PF2|的最大值為2，最小值為-2，即|PF1|+|PA|的最大值為6+2，最小值為6-2.

4.數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的實(shí)踐

立體幾何也是高中數(shù)學(xué)中重要的模塊之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，在這部分內(nèi)容中，主要應(yīng)用的是以數(shù)解形的思路.比如在學(xué)習(xí)向量的線性運(yùn)算這部分內(nèi)容時(shí)，教學(xué)就可以滲透數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生采用以數(shù)解形的思路解決實(shí)際問題.向量的加法運(yùn)算即向量最基本的運(yùn)算，滿足平行四邊形定則，圖像為首先將兩個(gè)向量AB，AD通過平行移動(dòng)使得兩個(gè)向量的尾都移動(dòng)到同一點(diǎn)A，接下來畫出平行四邊形，對(duì)角線表示向量加法的向量.那么學(xué)生在每次進(jìn)行向量加法運(yùn)算時(shí)都需要畫出相對(duì)應(yīng)的平行四邊形嗎？顯然并不需要，教師可以嘗試直接將一個(gè)向量的尾端位置與另一向量的首端位置通過平行移動(dòng)到同一點(diǎn)，接下來我們?cè)夙槾芜B接后一個(gè)向量的尾端位置到前一個(gè)向量的首端位置，通過這種方式也能完成向量加法的運(yùn)算，這種方法也被稱之為首尾相連.以數(shù)解形的思路可以有效幫助學(xué)生更好地解決立體幾何問題，其不僅在向量運(yùn)算部分可以采用，在解決點(diǎn)、線、面不同關(guān)系的問題時(shí)也可以采用.

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在高中階段數(shù)學(xué)當(dāng)中具有廣泛的應(yīng)用空間.從宏觀層面來講，數(shù)形結(jié)合思想可以降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，鍛煉學(xué)生的思維能力，使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)思維;從微觀層面講，數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生解決各種實(shí)際問題，讓學(xué)生在解題過程中思路更加清晰明確.作為教師，在教學(xué)中要積極探索滲透數(shù)形結(jié)合思想的方式方法，挖掘教材中合適的知識(shí)載體，將數(shù)形結(jié)合思想貫串學(xué)生整個(gè)高中生涯.

【參考文獻(xiàn)】

[1]邵業(yè)興.強(qiáng)化圖形引領(lǐng)彰顯數(shù)學(xué)魅力：談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值滲透[J].高中生學(xué)習(xí)，2018（6）：57.

[2]官秀容.知識(shí)有形化，思維可視化，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易化：讓數(shù)形結(jié)合思想方法成為數(shù)學(xué)思考的一種方式[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2019（Z2）：101.

[3]宋恒.以形助教凸顯實(shí)效：數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透[J].文淵（高中版），2019，000（006）：246.

[4]張建.強(qiáng)化圖形引領(lǐng) 彰顯數(shù)學(xué)魅力：談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值滲透[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2017（3）：60-61.

[5]姚麗麗.淺析數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐應(yīng)用[J].新教育時(shí)代電子雜志（教師版），2016（46）：235.