幾何直觀：提升問題解決能力的有效途徑

薛群

[摘? 要] 借助幾何直觀，可以使抽象、復雜的數學問題變得更加直觀、形象，有利于學生更好地審清題目、厘清算法，并最終達到舉一反三、觸類旁通的效果，進而提升學生數形結合的思維品質，培養學生的數學核心素養。

[關鍵詞] 幾何直觀;小學數學;途徑

德國哲學家康德曾言：缺乏直觀的概念是空洞的。小學生由于受到身心發展和認知水平的限制，在理解抽象的數學知識過程中，會不可避免地產生各種困難。幾何直觀充分借鑒和發揮了圖形具有的直觀性特點，把相對抽象的數學語言和直觀形象的數學圖形結合起來，使學生更好地理解題目的本質，掌握各種數量之間的內在聯系，通過圖形、符號等直觀明了的圖形把復雜的數學問題變得簡明生動，從而為學生解決問題提供線索，指明方向。

一、幾何直觀，有利于正確審題，理解題意

審題是解決數學問題的首要環節。對于某些數學題來說，“文字加數字”模式的表述形式顯得很抽象，制約著學生對題目的理解和判斷，這就導致不少小學生理解題目時感到困難重重。幾何直觀可以把題目中的數量關系清晰地描述出來，把抽象的“文字加數字”轉變為“圖形加符號”，使抽象的數學問題變得直觀、生動起來，這樣就可以充分發揮小學生形象思維能力較強的優勢，從而助力學生正確地把握題意，認清問題的本質，最終提高學生解決問題的能力。

例1? “周期性規律”教學實錄（節選）

師：同學們，現在我們來看這樣一個關于周期性規律的題目：除夕夜，學校大門口亮起了彩燈，這些彩燈按照3個紅色、2個黃色和1個綠色的順序逐次亮了起來，那么，第58盞燈是什么顏色？

生1：這種題目我可以在本子上畫出來，一直畫58盞燈。

生2：紅色、黃色、綠色交替出現，畫圖法的確是可以的，但是畫58盞燈是不是太麻煩了？

生3：我們可以先畫兩組看看，找一找規律。

師：對。我們通過畫圖的方法來理解一下題意。現在，請同學們按照題目意思來畫圖吧。

學生作圖，教師巡視。

生3：這是我畫的圖（圖1），通過畫圖形，這道題一下子變得簡單了，我發現了每6個燈是一組，也就是一個周期，明確了周期，這道題只需要用58除以周期，根據余數就可以判定答案了。

生4：是啊，這種直觀的圖形可比原來的文字好理解多了，看來這種畫圖的方法還真是很有效呢！

學生對于抽象的文字表述感到難以理解，但是幾何直觀很好地解決了這個難題。通過幾何直觀，學生對于彩燈的排列順序和周期有了非常直觀地認識，這為學生理解題目意思、進而解決問題打下了堅實的基礎。使原本抽象復雜的數學問題變得簡單活潑起來，這正是幾何直觀在解決數學問題中作用的生動體現。

二、幾何直觀，有利于厘清數量關系，明了算理思路

幾何直觀并非只是簡單地要求學生畫出表格圖、線段圖或者示意圖，而是要培養學生通過幾何直觀分析問題、理清關系、明了算理的能力，讓學生通過作圖、分析圖，從而找到解決問題的方法。因此，在課堂教學中，教師要特別注意留給學生獨立思考的時間，引導學生探尋畫圖策略，讓學生通過直觀圖分析、比較、匯總、歸納，從而厘清題目之間的數量關系，找到正確的算理和思路。

例2? “分數的混合運算”教學實錄（節選）

師：有這樣一道題：實驗小學五年級有180人，六年級人數比五年級多 ，那么六年級有多少人？

生1：這種題目數量關系比較亂，要怎么才能夠弄清楚數量關系呢？

師：我們要厘清數量關系，那就試著通過畫線段圖來分析題目吧。

學生畫線段圖，教師巡視。（注意學生畫圖的正誤）

生2：這是我畫的線段圖（圖2）。在畫圖之前，我感覺題目中數據比較混亂，在畫圖之后，我的思路清晰了很多。五年級是180人，六年級的人數比五年級多 ，六年級人數多，五年級人數少。

師：誰能說一說，在這道題中的單位“1”指的是哪個年級的人數呢？

生3：五年級的人數是單位“1”。

生4：找到了單位“1”，題目就簡單了。180×（1+ ）=220（人）。

師：在分數的應用題中，找準單位“1”是解決問題的關鍵，但是在很多情況下，我們總是難以找準單位“1”，通過這種畫線段圖的方式，我們就很好地解決了這個問題。

教學中，學生在審題后，教師啟發學生通過畫線段圖的方式解決問題，并引導學生利用線段圖一步步分析數量關系，把題目中所有的數據信息都體現、聚集在學生畫的線段圖中。線段圖是學生探索問題的起點，通過畫線段圖使學生對數據之間的關系有了更深刻的認識。數據的各種信息在線段圖中匯聚、碰撞，學生只有在對數據關系正確理解的基礎上，找準題目中的單位“1”這個關鍵量，才能正確地解決問題。

三、幾何直觀，有利于觸類旁通，解決同類問題

幾何直觀的真正優勢不僅在于解決某個具體的問題，而在于激發學生數形結合的思維方式，為學生解決同類型問題打下基礎。因此，教師不能滿足于使學生用幾何直觀方法解答出某道題，而是要指導學生深刻理解、靈活地運用幾何直觀法，使學生意識到同類問題在本質上的聯系，并把這種本質聯系反映在直觀的圖形上，對題目進行深入分析和類比思考，找到解決此類問題的通用方法，做到舉一反三、觸類旁通，最終，提高學生解決同類問題的能力。

例3? “植樹問題”教學實錄（節選）

師：每隔4米種植一棵樹，一共種植了5棵樹，那么第1棵數到第5棵數的距離是多少米？

生1：這道題太簡單了，4×5=20（米）。

師：生1的算法對嗎？

生2：對的，我也是這樣算的。

師：同學們在紙上畫圖驗證一下自己的結果。

學生畫圖。

生1：不對，不對，我剛才算錯了，雖然是5棵樹，但是只有四段株距，也就是16米。就像我畫的這幅圖一樣（圖3）：

師：那這道題應該怎樣列算式呢？

生1：應該是4×4=16（米）。

師：算式中有兩個4，其中一個4表示樹的株距是4米，那另一個4是從哪里得來的呢？

學生思考。

生3：噢，另一個4是由5-1=4得來的。

師：對了，現在我們就得出了“植樹問題”的規律：全長=株距×（株數-1）。

師：現在我把題目修改一下，同學們再做做看。題目是：甲乙兩地相距20米，每隔4米種植一棵樹，但是路的起始端要陳列廣告牌，所以路的起始端不植樹，問一共需要幾棵樹？同學們還是通過畫圖的方式來進行解答。

學生畫圖。

生1：通過上一道題，我們得出了全長=株距×（株數-1），所以，株數=全長÷株距+1，通過這個公式我算出了株數=20÷4+1=6（棵）。

師：同學們，生1這次解答得對不對呀？

（學生中有的大聲喊“對，對”，有的卻大聲喊著“不對”。）

師：那就請其他同學談談自己的算法。

生2：我不同意生1的算法。這是我畫的圖（圖4），我發現一共需要20÷4=5（棵）。

師：為什么只需要5棵而不是6棵呢？

生：因為路的前端不用植樹。（異口同聲）

師：非常好。通過畫圖的方式，我們又得出了特殊情況下（一端不植樹）的計算方法：株數=全長÷株距。

“植樹問題”歷來都是小學數學學習中的難點。在教學中，教師引導學生通過畫圖的方法厘清了全長、株距與株數之間的關系。在學生嘗試做題出錯以后，教師引導學生通過幾何直觀發現錯誤的原因所在，用直觀形象的圖形扭轉學生的錯誤思維。尤為值得一提的是，教師并沒有滿足于學生正確答題，而是進一步引導學生從本題中得出“植樹問題”的一般規律，從而為學生解答同類問題打下基礎;此外，教師通過變更題目，進一步通過畫圖激發學生思維，使學生意識到“植樹問題”的多樣性，真正做到了舉一反三，融會貫通。

幾何直觀在學生學習數學過程中有著至關重要的作用。通過幾何直觀，有利于學生正確審題，理解題意;有利于學生厘清數量關系，明了算理思路;有利于學生觸類旁通，解決同類問題，化數據為圖形、化煩瑣為簡單、化隱晦為明顯，自由翱翔在文字與圖形之間，體驗數學的圖案之美與動態之美，實現問題解決能力的提升。