將數(shù)學(xué)史融入“平面圖形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

盧揚(yáng)慧

[摘? 要] 數(shù)學(xué)史作為一種能夠促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，能夠豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提高課堂教學(xué)效果和學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。要求教師在教學(xué)過(guò)程中，能夠有意識(shí)地整理數(shù)學(xué)史知識(shí)，認(rèn)真分析教材，這樣才能夠?qū)?shù)學(xué)史更好地融入課堂教學(xué)中，才能夠利用數(shù)學(xué)史提高課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)史;平面圖形面積;教學(xué)設(shè)計(jì)

平面圖形面積的知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，并且在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)著重要的地位。平面圖形面積的教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生第一次接觸空間幾何抽象知識(shí)的計(jì)算問(wèn)題，是今后學(xué)生學(xué)習(xí)立體圖形面積計(jì)算的基礎(chǔ)。在平面圖形面積的教學(xué)中，存在著諸多問(wèn)題，很多教師將計(jì)算和解題技巧作為該部分知識(shí)教學(xué)的重點(diǎn)開(kāi)展，忽略了數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)思想的滲透，導(dǎo)致學(xué)生只能夠機(jī)械地記憶數(shù)學(xué)計(jì)算公式，自身的數(shù)學(xué)能力得不到有效的提高。隨著教育改革的實(shí)施，數(shù)學(xué)文化的地位逐漸凸顯出來(lái)，數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，成了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的重要途徑。將數(shù)學(xué)史融入平面圖形面積的教學(xué)中，能夠打破傳統(tǒng)課堂中教師“重計(jì)算輕文化”“重技巧輕思想”的教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)力，轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

一、數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)概述

數(shù)學(xué)史作為一種能夠促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，如何將其更好地融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是一線數(shù)學(xué)教師研究的重要課題。就目前現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，其中運(yùn)用數(shù)學(xué)史最常見(jiàn)的方式是引入歷史人物或歷史著作來(lái)補(bǔ)充教材知識(shí)。有人對(duì)目前國(guó)內(nèi)將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的方式做了總結(jié)，多數(shù)是直接引用數(shù)學(xué)史來(lái)輔助教學(xué)，這類(lèi)數(shù)學(xué)史存在與否不會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生任何影響;還有部分屬于間接引用，是根據(jù)原有歷史內(nèi)容進(jìn)行改編，與現(xiàn)有的教學(xué)內(nèi)容相融合，讓學(xué)生沿著古人學(xué)習(xí)的路線進(jìn)行學(xué)習(xí)。

二、與平面圖形面積相關(guān)的數(shù)學(xué)史探究

與平面圖形面積相關(guān)的數(shù)學(xué)史材料主要包括古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國(guó)四部分的歷史。古埃及是幾何的發(fā)源地，當(dāng)?shù)氐木用窈茉缇烷_(kāi)始對(duì)土地進(jìn)行測(cè)量，開(kāi)始對(duì)平面圖形的面積進(jìn)行計(jì)算。在公元前1650年左右的著作《萊因德紙草書(shū)》中就對(duì)矩形、三角形和梯形進(jìn)行了面積計(jì)算，其中古埃及人通過(guò)兩邊相乘來(lái)計(jì)算矩形的面積;由于缺乏對(duì)“高”的認(rèn)識(shí)，古埃及人通過(guò)梯形和三角形的腰替代它們的高來(lái)計(jì)算等腰三角形和等腰梯形的面積。古巴比倫具備了對(duì)三角形、梯形等平面圖形面積的計(jì)算能力，同時(shí)具備了逆運(yùn)算的能力，能夠通過(guò)圖形中的某些參數(shù)來(lái)計(jì)算另一參數(shù)。需要說(shuō)明的是，古埃及和古巴比倫在計(jì)算四邊形的面積時(shí)，都將兩組對(duì)邊的邊長(zhǎng)的算式平均之積作為圖形的面積公式。古印度幾何學(xué)對(duì)平面圖形的面積計(jì)算開(kāi)始出現(xiàn)了“割補(bǔ)法”，他們將等腰梯形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形再來(lái)計(jì)算其面積。我國(guó)古代《九章算術(shù)注》中對(duì)長(zhǎng)方形的面積公式做了論述。同時(shí)，還通過(guò)“以盈補(bǔ)虛”的方式將三角形、直角梯形和等腰梯形割補(bǔ)成長(zhǎng)方形來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。從整體上來(lái)看，影響東西方數(shù)學(xué)發(fā)展最大的就是古希臘的《幾何原本》和我國(guó)的《九章算術(shù)注》，在這些著作中，探究平面圖形的面積公式時(shí)都涉及了割補(bǔ)法。在平面圖形面積計(jì)算部分的課堂教學(xué)中，教師就可以將割補(bǔ)法的理念引入其中，讓學(xué)生與古代數(shù)學(xué)家共同探究平面圖形的面積，提升學(xué)生的情感體驗(yàn)。

三、將數(shù)學(xué)史融入“平面圖形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)

1. “平行四邊形面積”教學(xué)設(shè)計(jì)研究

在平行四邊形面積的課堂教學(xué)中，首先可以引入古埃及尼羅河泛濫，人們需要重新測(cè)量更低的面積，激發(fā)學(xué)生對(duì)平行四邊形面積計(jì)算的學(xué)習(xí)興趣;然后通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方形和正方形這類(lèi)特殊圖形的面積公式來(lái)思考平行四邊形面積公式的計(jì)算方法;之后學(xué)生通過(guò)合作探究的形式，利用方格紙自己動(dòng)手操作，探究平行四邊形面積的計(jì)算公式;最后引出歐幾里得《幾何原本》中的相關(guān)知識(shí)來(lái)總結(jié)課堂教學(xué)。具體操作如下：

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)：教師提出問(wèn)題：“大家知道古代的數(shù)學(xué)是什么樣子嗎？下面我們就一起去看一下。”播放尼羅河泛濫的視頻。

接著提出問(wèn)題：“尼羅河泛濫以后，原來(lái)土地的邊界都不清晰了，又出現(xiàn)了新的土地（有平行四邊形、三角形、梯形等），埃及的法老需要重新對(duì)土地進(jìn)行丈量分配。下面請(qǐng)大家思考一下，如何才能夠?qū)崿F(xiàn)公平的土地分配？這就需要計(jì)算出這些土地的面積，然后再進(jìn)行重新分配。”

教師將圖形提取出來(lái)，并標(biāo)上數(shù)值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖形計(jì)算。

通過(guò)圖形展示，引導(dǎo)學(xué)生先計(jì)算學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形土地的面積，同時(shí)引出本節(jié)課教學(xué)的內(nèi)容：學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計(jì)算。

探究新知環(huán)節(jié)：教師出示平行四邊形圖形，讓學(xué)生嘗試計(jì)算平行四邊形的面積，學(xué)生可以根據(jù)自己的方法來(lái)計(jì)算，并保留計(jì)算結(jié)果;之后將出示的平行四邊形成比例縮放到方格紙上，通過(guò)數(shù)方格的方式來(lái)計(jì)算平行四邊形的面積，然后再與計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比;最后教師通過(guò)電腦軟件展示平行四邊形割補(bǔ)成矩形的過(guò)程，使平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，這樣就可以將新學(xué)的知識(shí)與原有的知識(shí)聯(lián)系到一起，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成就感。

教師選擇一些不同形狀的平行四邊形，讓學(xué)生動(dòng)手試一試能否將它們轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。通過(guò)學(xué)生的操作引導(dǎo)學(xué)生思考下列問(wèn)題：

（1）通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化，平行四邊形和長(zhǎng)方形的哪些地方發(fā)生了變化，哪些地方?jīng)]有變化？

（2）新形成的長(zhǎng)方形與原有的平行四邊形的底和高有什么聯(lián)系？

（3）能不能根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式來(lái)推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式？

教師圍繞這三個(gè)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展探究學(xué)習(xí)。

拓展提高環(huán)節(jié)：讓學(xué)生嘗試在方格紙上快速畫(huà)出幾個(gè)面積相等的平行四邊形，并說(shuō)明能夠快速畫(huà)出來(lái)的理由，引出“同底等高、等底等高的平行四邊形的面積相等”，這就是歐幾里得《幾何原本》中關(guān)于平行四邊形面積的論述。

2. 梯形面積教學(xué)設(shè)計(jì)研究

在梯形面積的教學(xué)中，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形面積和平行四邊形面積的方式引出梯形面積的學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)梯形的面積進(jìn)行探究，并引入“出入相補(bǔ)”的原理來(lái)分析，再向?qū)W生介紹劉徽推導(dǎo)梯形面積的過(guò)程，讓學(xué)生的思維得以進(jìn)一步升華，最后利用所學(xué)的知識(shí)解決尼羅河土地分配問(wèn)題。

課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)：教師提出問(wèn)題：“大家回顧三角形面積和平行四邊形面積的推導(dǎo)公式，并回顧它們的推導(dǎo)過(guò)程。通過(guò)前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們幫助埃及法老解決了平行四邊形土地和三角形土地的丈量問(wèn)題，那么還剩下這些梯形的土地需要我們解決，接下來(lái)就一起探究梯形的面積公式吧。同學(xué)們可以根據(jù)自己的喜好，選擇圖3中任一梯形進(jìn)行研究，同時(shí)，完成下方的任務(wù)要求。”

大家合作探究以后，教師向?qū)W生介紹劉徽的“出入相補(bǔ)法”，讓學(xué)生感覺(jué)到自己的數(shù)學(xué)探究過(guò)程與我國(guó)著名數(shù)學(xué)家的思想不謀而合。在幫助學(xué)生回顧梯形面積公式推導(dǎo)過(guò)程的同時(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。最后，教師總結(jié)梯形面積公式，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，加深對(duì)梯形面積公式的理解。

四、小結(jié)

數(shù)學(xué)史的應(yīng)用與數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的形式較多，但多數(shù)都是生硬的引入。文中以平面圖形面積的教學(xué)為例，從整個(gè)單元的角度設(shè)計(jì)尼羅河泛濫引發(fā)的土地重新分配問(wèn)題，其中穿插古代數(shù)學(xué)知識(shí)，真正將數(shù)學(xué)史融入了課堂教學(xué)，發(fā)揮了數(shù)學(xué)史的作用。這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中，能夠有意識(shí)地整理數(shù)學(xué)史知識(shí)，認(rèn)真分析教材，這樣才能夠?qū)?shù)學(xué)史更好地融入課堂教學(xué)，才能夠利用數(shù)學(xué)史提高課堂教學(xué)效果，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。