核心素養視角下“圖形的變化”之中考復習策略

陳立順

[摘? 要] 數學核心素養的培養任務對數學中考命題及中考復習策略提出了新的要求和挑戰. 如教師在“圖形的變化”知識模塊復習時，首先應清楚“圖形的變化”試題的命制途徑和特點，然后有策略地開展復習：要立足十大核心概念精選例題和練習題，以強化數學核心素養的培養;要回歸基礎，使知識和其應用系列化;要回歸教材，充分挖掘教材“命題點”的功能;要善于以圖形變化為主線整體設計復習課課程體系;分析問題時要善于變中抓不變，讓“圖形的變化”問題因回歸本質而精準突破，等等.

[關鍵詞] 核心素養;圖形的變化;中考復習;策略

在變化的圖形中探索并發現圖形不變的性質或有規律變化的結論，更能揭示幾何的本質，也更能提升學生的思維品質和數學素養. 這也正是《義務教育數學課程標準（2011年版）》之所以把“圖形的變化”內容從“圖形與幾何”中凸顯出來的原因. “圖形的變化”這一塊的主要內容包含圖形的軸對稱、旋轉、平移、相似（含三角函數），及圖形的投影等. 這塊內容已成為歷年中考命題尤其是壓軸題的命題熱點.

縱觀近幾年的中考試題，“圖形的變化”試題有以下幾個明顯的特點：（1）十分重視數學核心素養的考查;（2）注重考查基本知識和技能的同時彰顯多元的育人價值;（3）源自教材的改編創新試題倡導教學的追本溯源;（4）關注對數學的理解和回歸基本的幾何變換本質;（5）源于生活的情境題的設計有效考查了學生的數學思維方式;（6）通過動態試題設計著重考查學生的綜合素質和素養;（7）根據教學要求在教學過程中選取素材進行編題，起到把很好的考試引導教學的功能.

針對上述“圖形的變化”試題的命制途徑和特點，教師可用以下策略開展復習.

立足十大核心概念強化數學核心素養培養

數學學科核心素養是學生基于認數、計算、推理和統計等活動和學習建立起來的一些數學思想方法和用這些思想方法解決問題的能力，以及對數學作用和價值的認識.具體包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象和數據分析等六大核心素養.根據義務教育學生的特點，與之相銜接，義務教育數學課標則提出了如下十個核心概念：數感、符號意識、運算能力、推理能力、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、模型思想、應用意識和創新意識，并將之作為中考核心素養測試題編制的立足點和關注點. 課標對各知識模塊基于核心素養的考查途徑都作了闡述.落實到課堂教學中，就是要努力培育學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界和用數學的語言表達世界，其中數學的思維方式主要有：觀察、想象、猜想、驗證、比較、歸納、抽象、概括等. 教師在教學過程包括在中考復習中，要努力為提升學生的數學素養而教.如在概念的教學過程中，要注重概念的形成過程;教師要引導學生對感性材料進行認識、分析、抽象和概括，讓學生經歷思維從抽象到具體再到抽象的過程;在概念和定理等的復習中，要縱橫比較概念和定理的形成和發現方法;在中考的復習中，要精選能凸顯和培養學生數學核心素養的例題和練習題.

例1 （2016·金華）如圖1，Rt△ABC紙片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點D在邊BC上，以AD為折痕將△ABD折疊得到△AB′D，AB′與邊BC交于點E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長為________.

本題借助紙片折疊這一熟悉的問題情境，將軸對稱、平行線、特殊三角形、方程等知識有機地整合在一起，通過操作與想象，運用分類討論思想找到△DEB′為直角三角形的兩種情況，再利用勾股定理轉化為方程解決，讓學生經歷“操作—觀察—探究—計算”的自主活動過程. 試題突出了學生對基本圖形變換本質的理解和思考問題的全面性，突出了對核心素養的考核.

回歸基礎，使知識和其應用系列化

義務教育數學課程基礎性、普及性及發展性的性質，決定了中考數學試卷中70%容易題、20%稍難題、10%較難題的布局. 縱觀近五年的中考試卷，都很好地體現了課程的這一性質，試卷能面向全體，注重考查基本知識和基本技能，同時適時滲透德育、美育及勞動教育等，彰顯多元的育人價值. 因此，降低復習重心，面向全體學生，打好基礎仍是重點.然而數學學習不是簡單的識記，如何讓學生面對千變萬化的試題能夠應用所學知識予以解決呢？關鍵是要讓學生所學的知識及應用結構化、系列化.因為只有結構化、系列化的知識才能在應用時被快速有序地提取.如在軸對稱知識的復習中，可讓學生遵循幾何圖形的學習序列，先按知識的邏輯結構有序地復述而回憶其定義和相關概念，再復習其性質. 在與其他圖形變換的對比聯系中，形成科學的知識網絡和結構，同時還要與學生一起總結其在作圖和求最值等問題中的應用規律. 要讓學生懂得，只有學以致用，才能真正地掌握知識.

回歸教材，充分挖掘教材“命題點”的功能

教材是眾多專家和一線教師集體智慧的結晶，全國各地的中考卷上，可以頻頻看到由教材改編的試題. 而中考復習中，拋開教材而圍繞教輔資料是一種普遍現象. 其實如果教師在復習時，能適時引導學生去瀏覽曾熟悉的教材目錄和內容，學生就會倍感親切并重新回憶和架構起有血有肉的知識大廈. 教師在講解中考真題或例題時，若能適時地聯系教材，和學生一起搞清楚這些試題的“前世今生”，搞清楚這些試題改編和創新的套路和規律，學生就能感受到中考試題其實并不神秘，從而大大減輕學生在考試的負擔. 當然，這更能培養學生透過現象看本質，形成舉一反三的能力. 改編和創新試題的方式很多，有弱化條件法、隱去結果法、特殊化法、一般化法、變換圖形法、移動圖形元素法、隱去圖形法、逆向法、由因導果法，由果索因、變換背景，借景生題、變封閉題為開放題，等等.

以圖形變化為主線整體設計復習課課程體系

復習階段，常常伴隨著“書山題?！保?“測試—統計分析—發現問題—針對性訓練”也成為無休止的循環. 大家試圖通過這種地毯式的刷題的解題思路來實現“萬無一失”，但結果卻總是事倍功半. 殊不知，如果方法提煉不精，學生體驗不深，量變是達不到質變的. 而復習階段，時間緊，任務重，大量重復性的練習也是不現實、不應該的. 所以，復習階段，教師應站在更高的站位，從知識應用的角度系統化設計復習課課程來精選系列習題.如“圖形的變化”這塊復習內容，可以分別按圖形的軸對稱、旋轉、平移、相似（含三角函數）及投影設計五個專題，每個專題根據總課時和本專題題型歸類情況確定課時，每個專題作為一個整體備課，內容設計著重加強知識的深度理解，精選的例題要有利于方法體系化的構建，要盡量將例題與教材及中考動態相聯系，要多采用變式的方式進行教學，提高效率.

變中抓不變，讓圖形的變化問題因回歸本質而精準突破

“圖形的變化”這一知識模塊最突出的一個特點就是問題中的圖形常常是動態和變化的. 運動和變化的可能是點，也可能是線或多邊形或圓，甚至可能是函數圖像.而不變的本質包括在變化的過程中產生的最值、位置關系、數量關系或是在變化的過程中產生的函數關系等. 而如何以不變應萬變，就要求教師在啟發學生解決問題時，要善于變中抓不變，引導學生弄通情境，善于抓住不變的本質特征，把實際問題轉化成數學問題和模型，從而加以解決. 因為數學模型是數學與外部世界聯系的橋梁，在建模的過程中，一些非本質的東西被去掉，模型才能夠適應變化. 如“將軍飲馬”最值模型就能夠解決很多情境中求兩線段和的最小值問題. 而當一時找不到模型解決時，師生也要善于用變化的觀點換個角度看問題，如運用數形結合將代數領域問題映射到幾何領域中去解決，等等. 動態試題能夠在運動變化的過程中很好地發展學生的空間觀念、幾何直觀和邏輯推理能力等綜合素質，全面考査學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，從而提升學生的數學核心素養. 因此動態試題受到中考數學命題人員的青睞. 軸對稱、旋轉、平移和相似變換的一些常見模型是“圖形的變化”這一知識模塊的本質特征和核心內容，廣大師生應該予以高度的重視.

例2 （2019·杭州）如圖2，把某矩形紙片ABCD沿EF，GH折疊（點E，H在AD邊上，點F，G在BC邊上），使點B和點C落在AD邊上同一點P處，A點的對稱點為A′點，D點的對稱點為D′點. 若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于_______.

本題考查勾股定理、矩形的性質、相似三角形的判定和性質及軸對稱變換等知識，解題的關鍵是利用字母表示數及方程的思想和模型解決問題.本題由翻折的意義，學生不難發現如下關系：PA′=AB，PD′=CD，D′，P，F三點共線，A′，P，G三點共線，進而根據面積條件的暗示進一步發現△A′EP與△D′PH相似，且相似比為2. 在直接列算式無法求出的情況下又想到設AB=CD=x，然后列方程求解. 該題要求學生先關注圖形變化的信息和特點，然后通過一系列的推理分析讓問題回歸到基本的幾何變換的本質和數學思想方法，命題立意值得學習和借鑒，在中考復習中要加以重視.