運(yùn)算:走向“數(shù)學(xué)理解”的階梯

沈晴

【摘要】運(yùn)算是數(shù)學(xué)中最基本、最主要的研究對象.計(jì)算的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度等有著重要的作用.因此，教師要把握好計(jì)算教學(xué)課堂，抓牢教學(xué)側(cè)重點(diǎn)，在教學(xué)中做到直觀、推理相統(tǒng)一.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算;推理

林崇德先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)能力是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的運(yùn)算能力、空間想象能力和邏輯思維能力，與思維的深刻性、靈活性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性和敏捷性品質(zhì)相互交叉構(gòu)成的統(tǒng)一整體.運(yùn)算是數(shù)學(xué)最基本、最主要的研究對象，因此，計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，分量最重，教學(xué)課時(shí)最多，并在日常生活、工作和學(xué)習(xí)中有著廣泛的應(yīng)用.

計(jì)算的學(xué)習(xí)和應(yīng)用對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度等有著重要的作用.計(jì)算教學(xué)的質(zhì)量直接影響著學(xué)生對其他內(nèi)容甚至其他學(xué)科的學(xué)習(xí).當(dāng)前形勢下，教師應(yīng)該如何把握好計(jì)算教學(xué)課堂呢？下面我說一說自己的一些想法.

一、重審運(yùn)算新課堂，抓牢教學(xué)側(cè)重點(diǎn)

（一）低年段重視夯實(shí)口算、估算教學(xué)

低年段的學(xué)生接觸到的大多數(shù)運(yùn)算還是以口算形式較多，他們剛從幼兒園升入小學(xué)階段，筆頭運(yùn)算的能力還達(dá)不到很高的要求，而且他們對于口算和筆算兩種計(jì)算方式的切換會出現(xiàn)互相干擾的現(xiàn)象.因此，低年段的計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)該放在口算、估算上.

例如，我最近聽過的二年級下冊“兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算”的一節(jié)課中，例題是口算45+28等于多少.因?yàn)樵谥暗膶W(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)有了一定的加法豎式的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，腦海中自然而然地會出現(xiàn)45加28的豎式計(jì)算過程，這就為這節(jié)課的口算教學(xué)增加了難度.在教師提出問題：“你打算怎樣來口算45+28？”時(shí)，有不少學(xué)生說出的思考過程是這樣的：5+8=13，40+20=60，13+60=73.這三個(gè)算式其實(shí)就是45加28的豎式計(jì)算過程演變而來的橫式.在這里，學(xué)生學(xué)習(xí)了豎式計(jì)算后對口算學(xué)習(xí)產(chǎn)生了負(fù)遷移.在隨后教師對算法優(yōu)化的環(huán)節(jié)中，雖然教師又引導(dǎo)學(xué)生說出了另外兩種更為簡單的口算方法：①45+20=65，65+8=73，②28+40=68，68+5=73，但是當(dāng)教師問道：“你們更喜歡哪種算法？”時(shí)，還有相當(dāng)一部分學(xué)生仍然回答的是喜歡之前學(xué)生回答的第一種算法.隨后教師對三種口算方法進(jìn)行了對比引導(dǎo)，雖然使得一部分學(xué)生對于兩位數(shù)加兩位數(shù)的口算方法有了新的“改觀”，但是學(xué)生對于這種算法的認(rèn)同感顯然沒有我們想象中的那么好.

口算、估算和筆算的不同之處在于口算、估算時(shí)我們都是從高位算起的，這是因?yàn)榭谒恪⒐浪銜r(shí)這樣算會更簡捷、方便.而在筆算時(shí)我們是從低位算起的，這是因?yàn)樵谟?jì)算進(jìn)位、退位時(shí)會更加方便.在本質(zhì)上，它們都是根據(jù)相同數(shù)位上的數(shù)可以直接相加減的原理來計(jì)算的，算理是相同的，只是形式不同而已.但是，教師要想讓低年段的學(xué)生一下子體會到這一點(diǎn)，并不是那么簡單的.這要在經(jīng)歷了更多的口算和筆算學(xué)習(xí)后才能夠逐步領(lǐng)會.

因此，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，教師在低年段教學(xué)中要特別重視口算、估算的教學(xué)，不僅要幫助學(xué)生學(xué)會“怎么算”，還要引導(dǎo)學(xué)生探究“為什么這么算”.理解算理是必要的，并且要一步到位，在理解了算理以后歸納算法時(shí)可以逐步到位.對于探索過程的回顧和反思，研究方法的提煉和總結(jié)，能讓學(xué)生“知其然”，更“知其所以然”，從而達(dá)到運(yùn)算方法的內(nèi)化和數(shù)學(xué)思想的建立.

（二）中高年段重視計(jì)算的推理和自主遷移教學(xué)

如果說低年段的扎實(shí)運(yùn)算功底是基石，那么中高年段推理、遷移的學(xué)習(xí)能力就是拔地而起的高樓大廈.

數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)里面最基本的、最重要的素養(yǎng)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)本質(zhì)上是幫助學(xué)生訓(xùn)練思維的，數(shù)學(xué)這門學(xué)科的重要價(jià)值就是幫助學(xué)生如何思考問題，乃至如何看待這個(gè)世界.現(xiàn)在看來，推理已經(jīng)變成了一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式、數(shù)學(xué)理解的方式，推理能讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué).

例如，我在教學(xué)五年級上冊“小數(shù)四則混合運(yùn)算”時(shí)，是以自主學(xué)習(xí)單（部分見下圖）為依據(jù)，讓學(xué)生以自主、合作探究的形式進(jìn)行學(xué)習(xí)的.

“小數(shù)四則混合運(yùn)算”自主學(xué)習(xí)單

一、溫故：想一想，整數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是怎樣的？我們已經(jīng)掌握了哪些運(yùn)算律？你能分別用字母表示嗎？

二、知新：1.例題

算式：

=

=

觀察上面的運(yùn)算順序：先算（? ）法，再算（? ）法.

2.猜想：

舉例驗(yàn)證1：1.2+4.8○4.8+1.2????? （?? ）律

8.9+3.6+6.4○8.9+（3.6+6.4）（?? ）律

0.4×0.9×0.5○0.9×（0.4×0.5）（?? ）律

舉例驗(yàn)證2：

結(jié)論： ……

我在復(fù)習(xí)了整數(shù)四則混合運(yùn)算的計(jì)算法則后出示例題，讓學(xué)生自主猜想小數(shù)四則混合運(yùn)算的計(jì)算法則是怎樣的.學(xué)生通過小組合作學(xué)習(xí)，相互舉例來驗(yàn)證自己的猜想，最后得出結(jié)論：整數(shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和所有運(yùn)算律都適用于小數(shù)四則混合運(yùn)算.學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題——提出猜想——舉例驗(yàn)證——得出結(jié)論——回顧反思的一個(gè)完整的探索過程，通過合作學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方式把學(xué)過的知識進(jìn)行推理、遷移，從而解決新的問題.我相信學(xué)生有了這次自主探索“小數(shù)四則混合運(yùn)算”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，到了六年級學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”時(shí)，就完全能夠自己領(lǐng)悟和學(xué)習(xí)該部分內(nèi)容了，這就是重視推理和遷移教學(xué)的價(jià)值所在.

二、直觀-推理相統(tǒng)一，理解數(shù)學(xué)需“三會”

曹才翰先生在《中國中學(xué)教學(xué)百科全書·數(shù)學(xué)卷》中指出，“運(yùn)算能力并非一種單一的數(shù)學(xué)能力，它是運(yùn)算技能與邏輯思維能力的一種獨(dú)特結(jié)合”.因此，計(jì)算技能固然很重要，但是懂得數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)對學(xué)生來說才是終身受益的.如果學(xué)生只會計(jì)算，不懂實(shí)際意義和應(yīng)用，就不可能有創(chuàng)造性.