找準思維認知難點　強化易錯概念理解

李國安

【摘要】教學中，教師要養成針對學生概念理解中的易錯點開發拓展課內容的意識和習慣。“周長”教學后，學生容易將“周長”與“面積”概念相混淆。拓展課《抽牌游戲》的開發，能幫助學生突破思維認知難點，夯實對周長概念的理解。

【關鍵詞】拓展課;周長;紙牌游戲;實踐

數學拓展課是對基礎性課程的補充、延伸、拓展與整合，要讓這種補充做到合理、優質、高效，需要教師對教材的知識序列、學生的認知過程有清晰的了解。日常教學中，教師要養成將學生概念理解中的易錯點開發為拓展課內容的意識和習慣，有效利用拓展課幫助學生加深對概念的理解和辨析。

筆者以《抽牌游戲》為例，介紹一節數學拓展課開發的實踐與思考。

【課前思考】

周長與面積是一組聯系緊密的概念，學生經常混淆。按照人教版教材的安排，學生在三年級上學期學習周長，在三年級下學期學習面積。單獨學習周長概念時，由于學生有較為豐富的生活體驗，理解概念并不難，所以解決問題的正確率一股都比較高，較少暴露出在概念理解和知識掌握方面的問題。但學習完面積概念以后，學生中就普遍出現將兩者相混淆的現象，解決問題的錯誤率也快速上升。

基于此，在三年級“周長”教學以后、“面積”學習以前，教師可設計一節周長的變式拓展課《抽牌游戲》，作為教學內容的補充，以幫助學生夯實對周長概念的認知，為后續面積概念的學習奠定基礎，以降低學生在兩個概念區分上的難度。

拓展課《抽牌游戲》的教學目標如下。

1.借助抽撲克牌的互動游戲，經歷正確尋找圖形周長、用能量柱正確表示螞蟻爬行路線長度的過程。在確保周長不變的情況下，能夠正確地抽出至少1張牌。

2.經歷觀察、想象、操作、驗證等過程，并在游戲中初步感受消失路線和新增路線之間的關系，建立周長不變的數學模型，積累活動經驗。

3.在數學游戲活動中，感受成功的喜悅。學會獨立思考，能與他人進行有效的合作交流，逐步養成良好的課堂學習習慣。

【教學實踐】

（一）介紹游戲規則

師：今天我們一起玩一個游戲——“抽牌游戲”。首先了解一下游戲的規則（課件出示）：螞蟻沿著1張撲克牌的外側爬行，它爬行撲克牌的一條寬邊，需要消耗一格藍色的能量（動態演示，如圖1）。它爬行撲克牌的一條長邊，需要消耗一格紅色能量（動態演示）。這只螞蟻繞著這張撲克牌爬行一周，需要消耗多少能量？

生：兩個紅格加上兩個藍格。

師：把螞蟻爬行一圈所消耗的能量用一條能量柱來表示，就是這樣的（課件呈現，如圖2）。你能看懂嗎？

生：兩格藍色的表示爬了兩個寬，兩格紅色的表示爬了兩個長。

（設計意圖：通過游戲規則的介紹，讓學生了解游戲與數學直接的表達關系，為后續活動的開展做好鋪墊。把撲克牌的寬和長標注為兩段不同顏色的能量柱，而非用數據和文字表達，是為了更好地激發學生的學習興趣，直觀且容易理解。）

（二）提出猜想，初步感知模型

師出示問題：6張撲克牌組成一個大長方形（如圖3），一只螞蟻沿著它的外側爬一圈，需要消耗多少能量？

生：6個藍色能量柱和4個紅色能量柱。

（教師呈現能量柱，圖略）

師：想一想，如果抽掉其中1張牌，螞蟻爬一圈消耗的能量會有怎樣的變化？

生：應該會減少。

生：我猜不會變化。

師：現在有兩種不同的答案，你同意哪一種呢？請你通過練習紙和撲克牌獨立研究一下，并試著說明自己的觀點。（教師出示學習要求）

1.畫一畫，用畫“×”的方式表示抽掉的這張撲克牌。

2.算一算，螞蟻繞著剩下的撲克牌爬行一圈所需要的能量柱。

3.比一比，消耗的能量柱與抽牌之前有沒有發生變化。

教師對學生的反饋作出概括：抽掉的牌的位置不一樣，答案也不一樣。如果抽掉角落處的牌（如圖4），抽掉后螞蟻爬一圈，仍舊消耗6個藍色能量柱和4個紅色能量柱，與抽掉前一樣。但如果抽掉上下排中間處的1張牌（如圖5），螞蟻需要消耗的能量柱不但沒有減少，反而增加了。

（設計意圖：通過對比讓學生意識到，抽掉1張不同位置的牌，在撲克牌數量即總面積減少的情況下，消耗的總能量可能會有不同的變化。）

（三）探究聯系，構建數學模型

1.抽取單張牌，初建數學模型

教師出示問題情境，請學生嘗試解決。

一只螞蟻沿著12張撲克牌的外側爬一圖，①計算螞蟻需要消耗多少能量柱。②抽掉其中l張牌，讓螞蟻爬行消耗的能量柱數量不變。

交流反饋：

（1）去掉某一角落的一張牌（如圖6），消耗的能量柱不變。

（學生交流原因）

生：把新增的能量柱（藍色和紅色線段）平移到消失的能量柱位置，正好相等，所以消耗的能量柱的數量沒有發生變化。

（師動態演示學生的思考過程）

（2）哪些位置的撲克牌也是可以抽掉的，為什么？

生：四個角上的撲克牌都屬于這一情況。

小結：通過計算拿掉撲克牌之前和之后分別用了多少能量柱，可以判斷消耗的能量有沒有發生變化，但同學們發現了一種更簡便更清晰的方法，就是利用平移的方式進行說明，如果消失的路線等于新增的路線，能量柱的總量就不會發生變化，這是一種非常好的思考方式。

（設計意圖：在動態演示的過程中，學生能夠清晰地體會到角落的牌抽掉后，消失的路線和新增的路線同樣長，所以消耗的能量柱也同樣多。這為后面探究“繼續抽掉角落的牌會不會仍舊不變”這個問題提供了思考的基礎，也為后續的模型建立指明了方向。）

2.抽取多張牌，構建數學模型

（1）思考：能否繼續抽取1張或更多的牌，讓螞蟻爬行消耗的能量不變？

生：要是在角落里再抽取1張，應該也不變。

生：不一定。

（2）引導學生動手操作、實踐驗證，完成后反饋，逐一展示學生作品（如圖7）。

通過邊展示邊討論邊演示，引導學生體會：只要消失的路線和新增的路線同樣長，螞蟻消耗的能量柱就同樣多。

（設計意圖：學生通過猜測、操作、驗證、交流，逐步發現撲克牌數量在減少，大小、形狀在變化，但邊的總長度之和也就是周長，沒有發生變化。）

3.小組合作玩游戲，應用數學模型

（四）整理學習方法，拓展學習內容

教師引導：通過今天這節課的學習，你有什么收獲？你能運用今天學習到的方法去研究抽牌游戲的另一種現象嗎？（能量柱發生變化的情況）

（設計意圖：在本節課的最后環節，教師引導學生將獲得的數學知識、方法和基本活動經驗類比應用到新的學習內容中，使他們的能力和思維真正獲得提升。）

【教學反思】

（一）設趣設疑，讓學習過程更加自主

1.從學習形式上激發學生學習的興趣

貼近學生現實生活的問題，往往更能激發學生學習的興趣。“抽牌游戲”從學生非常熟悉的撲克牌出發，讓學生研究由撲克牌組成的圖形的一周之長。這是基于學生生活基礎，學生能夠探究也樂于探究的問題。學生投入的學習狀態為后續建構模型做好了積極的心理準備。

2.從內在設計上喚醒學生學習的欲望

如果說“游戲”這種活動形式是激發學生學習興趣的外在因素，那么設置好的游戲內容則是激發學生學習動力的內在因素。“抽牌游戲”起點低開放度大，撲克牌數量從6張逐步拓展到12張，抽牌活動從抽掉1張牌逐步拓展到抽掉2張牌、5張牌甚至更多。在所研究的要素逐步增加的過程中，學生的思維也在接受更高層次的挑戰，而每一次活動又都能讓學生“跳一跳，摘到桃子”。這樣的內容設計既避免了游戲的單調和無聊，又提升了學生的思維水平。

（二）有效溝通，讓模型構建更富內涵

1.讓推理成為溝通的手段

猜想和驗證是比較常見的研究方式，也是發展學生思維與推理能力的重要手段。在“抽牌游戲”中，學生思考、表達抽掉撲克牌消耗的能量是否發生變化的過程本質上就是推理的過程，借助“能量柱”對“抽掉若干張撲克牌”前后圖形的周長變化情況進行描述，不僅形象生動、寓教于樂，且與周長概念的本質和轉化思想非常契合。

2.讓想象成為構建的橋梁

想象是發展學生空間觀念的一種重要方式。在教學過程中，教師應有意識地關注學生想象能力的培養，無論是獨立研究，還是互動交流，教師都要引導學生先想象“抽掉牌”以后圖形的樣子，想象什么變了什么沒變，然后再與實際的運動結果進行比較，通過不斷完善、調整的過程，積累線段平移的想象經驗，讓想象成為促進學生知識建構的橋梁。

（三）多次“重構”，讓學生理解更趨深刻

1.對標原型，讓課堂更有數學味

“抽牌游戲”是在學生學習周長內容之后補充的一節變式拓展課，游戲中所涉及的“能量柱”信息和周長的概念相吻合。這一設計旨在幫助學生建立牢固的周長概念認知基礎，并通過拿掉牌（減少面）的體驗為后續面積概念的學習夯實基礎，以降低學生在兩個概念區分上的難度。

2.突顯矛盾，讓思維主動碰撞

學生學習的過程是一個打破原有知識結構、建立新知識結構的過程。“打破”的關鍵在于制造認知沖突。整節課的教學主要有兩處認知沖突：一是從6張撲克牌中任意抽取1張，消耗的能量柱是否發展變化;二是從12張撲克牌中抽取6張牌（學生生成的抽法），消耗的能量柱是否發生變化。第一處沖突和學生追求唯一答案的解題習慣有關，抽取1張牌后能量柱總數不變的抽取方法存在著多種情況，這可以打破學生被“唯一答案”的思維禁錮;第二處沖突和學生原有的生活經驗有關，抽掉6張牌后，直覺經驗告訴他們，圖形“變小了”，而實際上能量柱總數沒有發生變化，這可以喚起學生尋求原因的好奇心。這些認知沖突進一步激發了學生學習和表達的意愿，為學生的思維發展提供了幫助。

從拓展課《抽牌游戲》開發的過程中可以得出拓展課開發的一種策略，即教師要根據學生對知識的掌握情況，針對他們學習中的易錯點開發拓展課教學內容。比如計量單位及進率換算、立體圖形表面積與體積變式等問題中也都存在著學生普遍的易錯點，可以有針對性地進行拓展課開發。教師要形成從開發一節課到開發一類課的思維方式，讓拓展課的開發顯現出事半功倍的效果。