復雜性科學視角下數學教學邏輯的建構

張明華

摘 要 復雜性科學要求人們以整體、系統、非線性、開放性等的思維方式打量世界。從復雜性科學視角來研究課堂教學，就會發現課堂教學具有整體涌動性、動態生成性和有序組織性等特性。基于復雜性科學視角，教師要以學生的“經驗發展”作為課堂教學邏輯建構的內核，以“積極在場”作為課堂教學邏輯建構的根基，以“有序組織”作為課堂建構的標準，以“可能生成”作為數學邏輯建構的責任。

關鍵詞 小學數學 復雜性科學 邏輯建構

小學數學教學不僅僅是教師教學思維的現實化，更是學生數學學習過程的邏輯化。運用復雜性思維，能有效助推師生數學教學思維的優化。“復雜性科學”肇始于1928年貝塔朗菲的系統論之研究。基于復雜性視角研究小學數學教學，不僅要把握數學課堂諸要素，更要把握數學課堂諸要素之間的關系，包括靜態和動態的流演互育發展，要以“面向學生數學學習本身”為指導理念，以復雜性科學為方法論基礎，以“邏輯考量和有序組織”為標準，以“積極在場”為先決條件，以“多邊對話”為根本保障，以“動態生成性”為實踐樣態。

一、復雜性科學視角下教學邏輯的審視

從復雜性視角來看，數學課堂教學是師生的共同探險，是一種面向數學未知世界的探險。復雜性視角下的小學數學教學，具有整體涌動性、動態生成性、有序組織性等特質。

1.整體涌動性

復雜性科學視角下的數學教學，遵循著格式塔心理學的“完形學說”，具有“整體涌動性”的特質。所謂“整體涌動性”，是指學生的數學課堂學習不是以要素形式呈現的，而是以一種整體的姿態召喚、貼近學生。離開了整體，各個部分就無從談起、無法理解。衡量學生在課堂上學習的效能，也不是看某一個環節，或者某一個知識點的掌握情況，而是要看課堂整體。比如教學蘇教版《數學》五年級下冊“簡易方程”中的“行程問題”時，教師不僅僅要著眼于學生的問題解決，更要著力于引導學生深入分析。從畫圖到寫等量關系，從設定未知數到列方程，教師要始終引導學生展開整體性思考。復雜性科學視角下的課堂教學，不僅要注重數學學習方式的整體性，更要注重數學學習內容的整體性。

2.動態生成性

復雜性科學視角下的教學觀認為，課堂學習系統是動態生成的，具有非線性的特質。偶然、不確定的因素隨時出現，往往需要教師重構課堂。重構課堂，要求教師的數學教學不能固守教案預設，而應當隨之展開調整甚至重構。在數學教學中，教師的教學不能按部就班，而應當善于與“偶然”“無序”“生成”打交道，要善于捕捉學生數學課堂學習中的易變性、反常性、隨機性，用有序的原則、規律等去駕馭無償、無序、變易，進而在不確定性、模糊性、偶然性中去探索。比如教學蘇教版《數學》五年級上冊“平時四邊形的面積”時，有學生通過看教科書，認為自己已經掌握了平行四邊形的面積計算方法，并且提前說出了平行四邊形的面積計算公式。為此，教師可以變探究“平行四邊形的面積公式”為對“平行四邊形的面積公式”進行驗證，進而保持學生的研究熱情。

3.有序組織性

從復雜性科學視角看來，課堂是一個系統，充滿著有序的和無序的變化。系統的內部要素是相互轉化、相互生成、相互促進的，進而實現系統內部諸要素的互動。系統本身還具有一種自我完善、自我發展、自我提升的功能，這就是系統的自組織性。在數學課堂這一系統中，教師要充分調動學生的主體性、能動性，引導學生自主學習。為此，教師可以用“大問題”來啟發，用“大任務”來導引。比如蘇教版《數學》五年級下冊“圓的面積”這一部分內容比較雜亂、知識比較瑣碎。為引導學生理解圓的圓心、直徑、半徑的內涵及關系，筆者設計了兩個活動：“認識圓各部分的名稱”和“探究圓的特征”。這樣的活動，賦予學生充分自主探究的時空，促進了學生的自我生成與發展。

二、 復雜性科學視角下教學邏輯的建構

基于復雜性科學視角，教師要改變傳統的教學思維邏輯，打通自身思維通道與學生思維通道的關聯，按照科學的學習目標及學生認知加工順序組織教學。

1.以“積極在場”作為教學邏輯建構的根基。

“在場性”是復雜性數學課堂教學最為基本的特征，是數學課堂教學邏輯建構的根基。在復雜性課堂上，諸多要素都是積極在場的，都應當獲得在場的積極性。師生作為最為鮮活的因素更應如此。因此，在數學課堂教學中，教師要關注學生的課堂表現、樣態、需要，分析學生數學在場性學習的特征、變化和生成。師生、生生之間必須展開積極的互動。作為教師，要跟進學生的數學學習，把握數學課堂中的不確定性因素。引導學生進行有效的能量交換，形成一個平衡化的課堂耗散結構。例如教學蘇教版《數學》四年級上冊的“平均數”，學生遇到了這樣一道題：一個游泳池的平均深度是120 （）。在填出了單位“厘米”之后，學生突然發出了這樣的聲音：有沒有危險啊？這是一個“另類聲音”，但卻與平均數的內涵意義深度關聯。為此，筆者引導學生深度交流。有學生說，有危險，因為平均深度不是每一個地方的深度，有的地方可能比這個深度深一些，有的地方可能比這個深度淺一些;有學生說，游泳池不同于家鄉的水塘，家鄉的水塘每個地方的深淺不一，而游泳池每一個地方的深度應該是相等的，所以游泳池的平均深度120厘米應該沒有危險;有學生質疑，既然游泳池每一個地方的深度都相等，那么為什么還要加上“平均”兩個字呢？有學生說，游泳池有深水區和淺水區，如果平均深度是120厘米的話，淺水區是沒有危險的，而深水區有一定的危險，等等。借助于課堂的“熵流”，引發了學生的積極研討，讓學生對“平均數”的認知走向了深度。

2.以“經驗累積”作為教學邏輯建構的內核

“經驗累積”是學生數學課堂學習的核心，不僅僅包括數學基本活動經驗的累積以及還包括一般性活動經驗的累積，已有知識結構、認知結構等的豐盈。在復雜性科學視角下，學生數學學習活動過程不僅要以學科知識邏輯為根基，更要以學生的具體學情為根基，依此對相關的教學預設進行調整、糾偏，使之更好地適應學生的學習。以蘇教版《數學》五年級上冊“三角形的面積”教學為例，教材安排的是“倍拼法”引導學生認知。但學生對“倍拼法”比較陌生，而對“剪拼法”比較熟悉，因為學生在學習“平行四邊形的面積”時，運用的就是“剪拼法”。基于此，筆者調整教學設計思路，從學生已有知識經驗出發，讓學生自主探究。筆者給學生提供結構性的素材，包括直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形。對銳角三角形和鈍角三角形，很多學生都運用剪拼法進行探究。但對于直角三角形，由于學生有拼搭三角板的經驗，因而用倍拼法將兩個完全相同的直角三角形拼成了長方形。受此啟發，有學生將兩個完全相同的銳角三角形和鈍角三角形拼成了平行四邊形。由此，學生在其經驗的土壤上自然生長出“倍拼法”。這種從學生已有知識經驗出發，通過學生自主的數學學習，幫助學生累積數學基本活動經驗。

3.以“有序組織”作為教學邏輯建構的標準

在數學課堂教學中，教師要不斷反觀自身，與其自身實踐進行積極對話。教師要做一個反思性的實踐者，重建自身的教學實踐。作為教師，要精心組織教學活動內容、活動序列，并在教學目標統攝下處理好課堂教學層次，要整合數學學科邏輯與學生的心理發展邏輯，消除兩者的歧義和落差，著眼于教學內容的認知化。復雜性科學視角下的數學課堂教學，應當將“有序組織”作為教學邏輯建構的標準。比如教學蘇教版《數學》四年級下冊“相遇問題”時，教師會讓學生在課堂上表演相遇的場景，并且根據題意畫出相關的線段圖。然而，學生在題意出現變化時，仍然無法解決問題。究其根本，是因為學生沒有把握相遇問題的諸多復雜情況。筆者在教學中，創設了復雜性問題情境，引導學生有序分析情境。比如動態展現甲乙雙方從“相離”到“相遇”再到“相離”的過程。在此基礎上，和學生一起研討“相向而行”“相背而行”等問題。不僅如此，筆者在教學中還借助多媒體設備，展示了“一方先出發而后另一方出發”“一方中途休息另一方繼續行駛”等相關的內容。通過有序組織，讓學生對相遇問題形成整體性的認知。教學中，教師要引導學生系統思考、整體謀劃，讓學生的數學課堂學習成為一個開放性、動態性的平衡系統，成為提升學生數學學習力，發展學生數學核心素養的高能場域。

4.以“可能生成”作為教學邏輯建構的旨歸

復雜性科學認為，課堂是一個動態、開放、生成的空間。基于復雜性科學視角，教師要以“可能生成”作為教學邏輯建構的旨歸。這樣的結構有助于發散學生的數學思維，讓學生的課堂學習更加精彩。

復雜性科學認為，在系統中整體大于各部分之和。在小學數學教學中，學生的探究方式不應是單一的，而應是多向的，學生的數學學習方法是一個個板塊的集結。比如“圓的面積”這一部分內容，教材中是將圓轉化成長方形。很多教師照本宣科，引導學生將圓轉化成長方形。學生的思路被禁錮在預設的、特定的轉化思路之中。而筆者在教學中，沒有對學生的探究規劃具體路線，只是為學生提供一個方向，比如可以將圓轉化成已學圖形的面積。如此，學生就可以調動自我的探究潛質，展開多向性的探究。比如有學生將圓轉化成三角形，根據三角形的面積公式推導出圓的面積公式;有學生將圓轉化成梯形，根據梯形的面積公式推導出圓的面積公式，等等。在多向推導的基礎上，學生彼此之間展開交流，進而認識到將圓轉化成其他圖形的一致性，即“化曲為直”，都是應用了轉化的思想方法，即“將未知轉化成已知”“將陌生轉化成熟悉”“將復雜轉化成簡單”，等等。在數學課堂上，教師要秉持復雜性思維，只有這樣，才能捕捉到學生數學學習場域中有意義、有價值的課程資源，才能開辟更多的數學學習的可能性空間。

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[責任編輯：陳國慶]