定準 析清 挖深

摘 要：在高中階段，數(shù)學的教學設計經(jīng)常會出現(xiàn)概念過于抽象、習題過于煩瑣、忽略通法等誤區(qū)。本文從教學實際出發(fā)，通過用圖像來直觀感知數(shù)學概念、用簡潔的方法來解決煩瑣的高中數(shù)學問題、注重總結(jié)發(fā)散三方面的對策來解決數(shù)學設計中出現(xiàn)的問題，從而在教學實踐中提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng);教學設計;誤區(qū)

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）04-0036-05

引 言

鄭毓信先生近期在其文中指出了現(xiàn)今數(shù)學教育界的一個普遍現(xiàn)象：學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！這樣的現(xiàn)象無論如何不應再繼續(xù)了[1]。看來我們數(shù)學教師確實需要反思自己的課堂教學，精心進行數(shù)學教學設計，讓學生學會思考數(shù)學問題的本質(zhì)，從而提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、問題的緣起

筆者聽了許多數(shù)學課，認識到當前高中數(shù)學教學設計中存在若干誤區(qū)。這些誤區(qū)直接影響學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和提高，對教學效果產(chǎn)生了嚴重的影響。

（一）數(shù)學新授課過于抽象

許多學生覺得數(shù)學課都是數(shù)字、公式、法則、定理，枯燥無味，抽象難懂。比如，在學習“周期函數(shù)”時，學生對“周期”兩字很熟悉，但是對“周期函數(shù)”的數(shù)學語言表述不能深刻理解;在學習“異面直線”時，很多學生對“不在任意一個面內(nèi)”這幾個字理解得不透徹;在學習“向量數(shù)量積”時，學生思考它的幾何意義時過于死板。針對這些情況，教師需要在教學設計時結(jié)合學情，準確地把握學生的接受能力。

（二）數(shù)學習題計算過于煩瑣

有些數(shù)學習題計算量較多，同時也存在一題多解的情況。如果教師每次都是按部就班地進行講解，久而久之，學生就會對這類數(shù)學題目產(chǎn)生畏難心理。遇到難的數(shù)學習題時，教師可帶領(lǐng)學生深挖教材內(nèi)容，尋找解題捷徑。經(jīng)過多次這樣的嘗試后，相信學生會越來越喜歡數(shù)學的。這需要教師在進行教學設計時分析學生的錯誤所在，清楚這道題的背景來源。

（三）數(shù)學教學忽略總結(jié)發(fā)散

在講解習題時，教師在得出正確結(jié)果后，沒有進行必要的總結(jié)、歸納，講解僅限于習題怎么解，不能升華為這一類問題怎么解。例如，很多學生對三視圖還原成直觀圖這一類題目找不到好的總結(jié)方法，即使做很多題也無濟于事。這時，教師需要在教學設計時深挖題目的背景和思想，注意總結(jié)和歸納。

二、問題的思考

教學設計指教師為實現(xiàn)一定的教學目標，對教學活動進行的系統(tǒng)規(guī)劃、安排與決策。具體來說，教學設計包含以下幾個層面。

（1）教學設計要依據(jù)教學原理，遵循教學過程的基本規(guī)律，制定教學目標，以解決教什么的問題。

（2）教學設計是實現(xiàn)教學目標的計劃性和決策性的活動，因而要求教師解決怎樣教的問題。

（3）教學設計把教學過程各要素看成一個系統(tǒng)。教師要分析教學問題和教學需求，確立解決的程序綱要，使教學過程最優(yōu)化。

（4）教學設計是提高學生獲得知識、技能的效率和興趣的技術(shù)過程。

數(shù)學核心素養(yǎng)是指學生應具備的適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學品格和數(shù)學關(guān)鍵能力，是學生學習數(shù)學所應達成的有特定意義的一種綜合性能力，應在教與學的過程中引起教師與學生的關(guān)注。教師研究數(shù)學教學設計，就是了解數(shù)學教學的基本規(guī)律，了解數(shù)學教學的基本原則，了解現(xiàn)代教學的基本理論，了解教育的本質(zhì)，了解教育的價值。數(shù)學教師思考教學設計時，經(jīng)常要思考教什么、怎么教的問題;思考育人時，就是要考慮學生的智力發(fā)展、理性精神培養(yǎng)。筆者希望通過我們的設計，教學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界、用數(shù)學的語言表達世界，從而提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、問題的實踐

（一）看圖說話——用函數(shù)圖象來直觀感知數(shù)學概念

我們在日常生活中，發(fā)現(xiàn)每位學生都可以很順暢地和別人進行溝通。碰到一個數(shù)學實例時，學生能用自然語言描述，但用數(shù)學符號去表達時會有一定的難度。究其原因，主要是數(shù)學概念比較抽象，定理比較晦澀難懂。筆者根據(jù)數(shù)學語言的特點及要求，談談如何用圖象來幫助學生直觀地感知數(shù)學概念。

【案例一】? 周期函數(shù)

筆者在進行周期函數(shù)教學時，在與學生交流的過程中，發(fā)現(xiàn)他們沒有掌握“周期”的概念，認為經(jīng)濟周期簡圖（見圖1）就是周期。

顯然，學生腦海中的“周期”和我們數(shù)學概念中的“周期”是有差別的。那么如何設計，讓他們理解數(shù)學中的“周期”呢？

筆者認為，如果用以下3幅圖來讓學生直觀感知“周期”的概念，相信學生會對周期函數(shù)的數(shù)學定義有深刻而透徹的理解。

圖2是周期函數(shù)的一個典型——余弦函數(shù)。

圖3也不是周期函數(shù)。

圖4是T固定但函數(shù)值不固定的圖象，所以也不是周期函數(shù)。

【設計意圖】在周期函數(shù)概念教學前，由于經(jīng)濟學中的經(jīng)濟周期簡圖已經(jīng)深入人心，大部分學生認為它的圖像就是一個周期函數(shù)的圖象。所以筆者設計了圖4來幫助學生理解的真正含義。通過這幾個例子的比較，學生會對“周期”概念中的“存在非零常數(shù)T具有性質(zhì)：”這句話有較好的理解。

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學解題中常用、重要的數(shù)學思想方法之一，也是中學數(shù)學教育中常見的數(shù)學思想之一。運用數(shù)形結(jié)合思想，教師可以使某些抽象的數(shù)學概念更加直觀化、生動化，能夠讓抽象思維轉(zhuǎn)化成形象思維。這樣便使很多問題迎刃而解，讓“難懂”的概念容易理解，有助于學生把握數(shù)學概念的本質(zhì)，同時也有利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。

【案例二】? 異面直線

有一次，有兩位學生為了一道題爭得面紅耳赤，公說公有理，婆說婆有理。

此題如下：

圖5是個邊長為6的正方體，其中CE=4，CF=3，求幾何體的體積.

學生一的解法，如圖6所示。

學生二的解法，如圖7所示。

學生一說他的方法是根據(jù)學習軟件得出的，而學生二說他的方法和參考書上的答案是一致的。于是，筆者組織全班學生進行討論。大家通過討論和反復驗算，發(fā)現(xiàn)兩位同學的計算都沒有錯誤。那么問題出現(xiàn)在哪里呢？

經(jīng)過很長時間的討論，最后大家發(fā)現(xiàn)這四點根本就不共面，是兩條異面直線，也就是說，根本不存在面，所以最后發(fā)現(xiàn)是題目出錯了。也就是幾何體的形狀都是不固定的，所以沒法計算確切的體積。

【設計意圖】雖然這是道錯題，但是經(jīng)過長時間的思考和爭論后，學生都對“不同在任何一個平面”這句話產(chǎn)生了深刻的印象，而此題的圖象能形象地詮釋“異面直線”。這件事情同時也告訴學生不要完全相信輔導資料，需要獨立思考。“盡信書，不如無書”，說的就是這個道理。

華羅庚教授指出：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”數(shù)形結(jié)合的思想就是充分運用數(shù)的嚴謹和形的直觀，將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想方法。

【案例三】? 向量數(shù)量積的幾何意義

在進行向量數(shù)量積的教學時，筆者一般會講幾何意義1：與在方向上投影的乘積。如圖8所示，這里在方向上投影為.

上述幾何意義是我們在日常教學中遇到的。事實上，數(shù)量積的幾何意義還可以做另外的解釋。

幾何意義2：如圖9所示，、在任意兩個互相垂直的方向上的對應投影的乘積之和，即.

學生借助圖像來理解這兩個幾何意義，會使數(shù)學課堂變得更靈動。

【設計意圖】這道題目以坐標系為紐帶，使數(shù)量積與圖像之間建立了對應關(guān)系，從而對數(shù)量關(guān)系的研究可轉(zhuǎn)化為對圖形性質(zhì)的研究，反之亦然。這樣既充分發(fā)揮了“形”的直觀性，又注重了“數(shù)”的嚴謹性。這種解決數(shù)學問題中的“數(shù)”“形”相互轉(zhuǎn)化、交互使用的技能，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的兩面性，反映了數(shù)學的本質(zhì)。所以，教師要反思自己的教學過程，特別是要研究數(shù)學問題的教學設計。

（二）他山之石——另辟蹊徑解決煩瑣的數(shù)學問題

“唐宋八大家”之一的蘇軾在《題西林壁》中寫道：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”“橫看成嶺側(cè)看成峰”說明從不同的角度看同一物體的視覺效果可能不同，怎樣避免“不識廬山真面目”呢？筆者認為，我們不能“身在此山中”，而是應跳出山來，從山外看山，樹立全面、整體的觀念。

【案例四】 兩角差的余弦公式的推導

在教學“兩角差的余弦公式的推導”這一課時，筆者感覺很煩瑣。學生總是不理解，如果學生向量知識掌握得不好，理解起來會更難。在暑假期間，筆者參加了數(shù)學培訓活動，受到很多啟發(fā)。于是，針對這節(jié)課，筆者做了以下設計。如圖11所示，正方形ABCD，作AF=1，∠FEA=90°，令∠EAF=β，∠EAD=α，于是我們得到AD=cos（α-β），同時我們易得EF=sinβ，AE=cosβ，∠CFE=∠AEB=α，據(jù)此可以推得CE=sinβsinα，BE=cosβcosα，最后由于正方形ABCD的AD=BC，即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【設計意圖】課本上是用向量去推導兩角差的余弦公式的，需要學生對三角函數(shù)的定義有深入的理解。但是，有些學生對三角函數(shù)的定義理解得并不透徹，所以才會想到用幾何圖象來推導這個兩角差的余弦公式。而用這個模型去推導兩角差的余弦公式，省時省力，學生也更容易理解。

【案例五】? 點到直線距離公式的推導——以向量法為例

設直線的一個法向量，Q為直線上任意一點，則.從而點P到直線的距離為：

【設計意圖】每次教學這節(jié)課時，筆者總覺得書上的推導步驟太煩瑣、費時，而且有時候?qū)W生花了半節(jié)課時間還推導不出來，就會產(chǎn)生挫敗感。筆者借助向量法來推導，比較省時，效果也比較好。其實，這個結(jié)論還可以用柯西不等式來證明，與這個方法有異曲同工之妙。

興趣是人的認知需要的情緒表現(xiàn)，在學生學習過程中起著極大的推動作用。因此，在數(shù)學教學設計中，教師要激發(fā)學生的興趣，增強他們學習的自主性。數(shù)學教材因其嚴謹性、科學性等客觀需要，不夠情境化、具體化。所以在課堂引入時，教師如果照搬、照抄書本，會給學生死板、單調(diào)之感，導致學生對數(shù)學學習失去興趣。

（三）高屋建瓴——注重總結(jié)通法，發(fā)散思維

任子朝、陳昂在論文中指出，在高考中增強基礎性，有助于構(gòu)建學生終身學習與發(fā)展之基礎;增強綜合性，有助于選拔適合社會需要的綜合型人才[2]。考試中的題目和現(xiàn)實生活中的數(shù)學始終緊密地聯(lián)系在一起。學生要從現(xiàn)實生活中學習數(shù)學，再把學到的數(shù)學知識應用到現(xiàn)實中。教師應充分發(fā)揮主動性和創(chuàng)造性，從學生的年齡特征出發(fā)，從他們已有的知識經(jīng)驗和熟悉的生活情境出發(fā)，對教材內(nèi)容做不同程度的處理，在教材內(nèi)容和學生求知心理之間創(chuàng)造一種“模型”，把學生引入一種渴望探究的狀態(tài)中。

【案例六】以長方體為載體，優(yōu)化立體幾何教學

2008海南、寧夏理科高考卷中有這樣一道題：某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則的最大值為（? ? ）。

本題以三視圖為載體，考查學生對基本的幾何圖形（平面圖形或立體圖形）的熟悉程度，考查學生的空間想象能力。學生要想解答本題，必須想象圖形，借助圖形進行思考。為了使思考直觀、簡單，教師可帶領(lǐng)學生對圖形進行適當構(gòu)造，不妨構(gòu)造個長方體，結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算，如圖12所示。

構(gòu)造長方體這個模型來解決此題，猶如“他山之石，可以攻玉”，起到了化繁為簡的作用。如此，不但提升了學生的思維起點，培養(yǎng)了學生的空間想象能力，而且能讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美、體驗數(shù)學的美，提高數(shù)學學習的興趣。

無獨有偶，學生在課外練習時，來向筆者請教了這樣一道題目：已知三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐內(nèi)接于球，則球的表面積與體積分別為多少？

這題的關(guān)鍵是算出球的半徑，如果直接算的話，過程如下所示。

如圖13所示，設PA、PB、PC兩兩垂直，且長度都為1，連接并延長交底面于點，連接AO、AE并延長交于點，則為底面的中心（重心）。易得，為的高，，在直角三角形中用勾股定理可算得，設球的半徑為R，于是在直角三角形AEO中可得即，解得.接下來只需根據(jù)球的表面積和體積公式進行計算，此題就可迎刃而解了。

但是，由于三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐可以看作邊長為1的正方體的一個角，也就是這個三棱錐的外接球就是邊長為1的正方體的外接球。外接球的直徑等于正方體的體對角線，然后，立即可以得出.

以上兩種方法是截然不同的兩種思路，前者針對解題而解題，后者在解題前進行了模型的構(gòu)建，高屋建瓴，使學生思路更為開闊，給人一種豁然開朗的感覺。

【設計意圖】在立體幾何學習中，學生如果掌握了長方體這一模型，就可以解決很多類似的問題。比如，有時將一個三棱柱補成一個四棱柱，有時將正四面體放入正方體中研究，有時將三組對棱分別相等的四面體放入長方體中進行研究，有時將一個幾何體分割成長方體（棱柱）加一個錐體。長方體這個載體給立體幾何教學提供了很多方法。

教師在日常教學設計中要以點帶面，由解決一道題類比推廣到解決一類題，讓學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不畏浮云遮望眼，抓住數(shù)學問題的本質(zhì)，從而在解答題目的過程中提升核心素養(yǎng)。

四、問題的反思

筆者在教學實踐的過程中，還深刻體會到，要想真正提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，教師還需要努力做到以下幾點。

（一）讓生“動”起來

教學的主體是學生。如果沒有學生的積極參與，教師講解得再生動都是徒勞，而讓學生“動”起來是關(guān)鍵。

例如，在講解“正弦定理的運用”時，教師可讓學生分組外出，測量計算旗桿的高度、西山的高度、教學樓的高度等，并整理成文和其他同學共享。這樣的自主學習、合作學習及實踐活動，使學生真正成為學習的主人。也許這樣的教學比較耗時，但這樣的學習經(jīng)歷給學生的印象會更深刻，能幫助學生更好地掌握相關(guān)知識。

要想提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，教師需潛心鉆研教材，留心積累與數(shù)學有關(guān)的案例，用心適時管住自己的“嘴”，引導學生多研究一些解法，多了解一些問題的“源”，保持對問題的敏感性和對數(shù)學的熱情，讓 生“動”起來。

（二）充分挖掘探究性學習教材

仔細研讀教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，教材編寫時留下了很多的“空白”處。這無疑為我們在日常教學中開展探究性學習提供了絕佳的素材。教師只有善于鉆研、精心設計，充分挖掘和利用好這些素材，才能為日常教學增添亮麗的色彩，同時對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力也大有裨益。

例如，教材中對向量數(shù)量積的五個性質(zhì)是直接呈現(xiàn)的，那么在教學中，教師是和盤托出還是引導學生主動研究？一種明智的做法就是，教師引導學生站在哲學的高度，運用聯(lián)系的觀點，采用一般與特殊的處理方法去探索，從而使學生不僅在探索中證明諸多性質(zhì)，還讓學生感悟到應該如何去發(fā)現(xiàn)。不少學生還主動將探索進行了延伸，在直角坐標系下，得到了五條性質(zhì)的坐標形式，培養(yǎng)了自身的探究能力。

結(jié)? ? 語

數(shù)學教學設計是高中數(shù)學的難點。筆者在多年的教學中一點點地積累經(jīng)驗，改進教學方法和教學設計，化繁為簡，希望能使學生更好地理解和掌握知識。千里之行，始于腳下，為了我們理想的課堂，筆者將不斷探索數(shù)學教學設計的新方法和新思路！

[參考文獻]

鄭毓信.數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學教育學報，2016，25（03）：1-5.

任子朝，陳昂.加快高考內(nèi)容改革，增強基礎性和綜合性[J].數(shù)學通報，2016，55（06）：1-3.

作者簡介：楊敏（1984.7—），女，浙江杭州人，中學一級教師，被評為蕭山區(qū)第十八屆教壇新秀。