定準 析清 挖深

摘 要：在高中階段，數學的教學設計經常會出現概念過于抽象、習題過于煩瑣、忽略通法等誤區。本文從教學實際出發，通過用圖像來直觀感知數學概念、用簡潔的方法來解決煩瑣的高中數學問題、注重總結發散三方面的對策來解決數學設計中出現的問題，從而在教學實踐中提高學生的數學核心素養。

關鍵詞：數學核心素養;教學設計;誤區

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）04-0036-05

引 言

鄭毓信先生近期在其文中指出了現今數學教育界的一個普遍現象：學生一直在做，一直在算，一直在動手，但就是不想！這樣的現象無論如何不應再繼續了[1]。看來我們數學教師確實需要反思自己的課堂教學，精心進行數學教學設計，讓學生學會思考數學問題的本質，從而提高學生的數學核心素養。

一、問題的緣起

筆者聽了許多數學課，認識到當前高中數學教學設計中存在若干誤區。這些誤區直接影響學生數學核心素養的培養和提高，對教學效果產生了嚴重的影響。

（一）數學新授課過于抽象

許多學生覺得數學課都是數字、公式、法則、定理，枯燥無味，抽象難懂。比如，在學習“周期函數”時，學生對“周期”兩字很熟悉，但是對“周期函數”的數學語言表述不能深刻理解;在學習“異面直線”時，很多學生對“不在任意一個面內”這幾個字理解得不透徹;在學習“向量數量積”時，學生思考它的幾何意義時過于死板。針對這些情況，教師需要在教學設計時結合學情，準確地把握學生的接受能力。

（二）數學習題計算過于煩瑣

有些數學習題計算量較多，同時也存在一題多解的情況。如果教師每次都是按部就班地進行講解，久而久之，學生就會對這類數學題目產生畏難心理。遇到難的數學習題時，教師可帶領學生深挖教材內容，尋找解題捷徑。經過多次這樣的嘗試后，相信學生會越來越喜歡數學的。這需要教師在進行教學設計時分析學生的錯誤所在，清楚這道題的背景來源。

（三）數學教學忽略總結發散

在講解習題時，教師在得出正確結果后，沒有進行必要的總結、歸納，講解僅限于習題怎么解，不能升華為這一類問題怎么解。例如，很多學生對三視圖還原成直觀圖這一類題目找不到好的總結方法，即使做很多題也無濟于事。這時，教師需要在教學設計時深挖題目的背景和思想，注意總結和歸納。

二、問題的思考

教學設計指教師為實現一定的教學目標，對教學活動進行的系統規劃、安排與決策。具體來說，教學設計包含以下幾個層面。

（1）教學設計要依據教學原理，遵循教學過程的基本規律，制定教學目標，以解決教什么的問題。

（2）教學設計是實現教學目標的計劃性和決策性的活動，因而要求教師解決怎樣教的問題。

（3）教學設計把教學過程各要素看成一個系統。教師要分析教學問題和教學需求，確立解決的程序綱要，使教學過程最優化。

（4）教學設計是提高學生獲得知識、技能的效率和興趣的技術過程。

數學核心素養是指學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備數學品格和數學關鍵能力，是學生學習數學所應達成的有特定意義的一種綜合性能力，應在教與學的過程中引起教師與學生的關注。教師研究數學教學設計，就是了解數學教學的基本規律，了解數學教學的基本原則，了解現代教學的基本理論，了解教育的本質，了解教育的價值。數學教師思考教學設計時，經常要思考教什么、怎么教的問題;思考育人時，就是要考慮學生的智力發展、理性精神培養。筆者希望通過我們的設計，教學生用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界，從而提升學生的數學核心素養。

三、問題的實踐

（一）看圖說話——用函數圖象來直觀感知數學概念

我們在日常生活中，發現每位學生都可以很順暢地和別人進行溝通。碰到一個數學實例時，學生能用自然語言描述，但用數學符號去表達時會有一定的難度。究其原因，主要是數學概念比較抽象，定理比較晦澀難懂。筆者根據數學語言的特點及要求，談談如何用圖象來幫助學生直觀地感知數學概念。

【案例一】? 周期函數

筆者在進行周期函數教學時，在與學生交流的過程中，發現他們沒有掌握“周期”的概念，認為經濟周期簡圖（見圖1）就是周期。

顯然，學生腦海中的“周期”和我們數學概念中的“周期”是有差別的。那么如何設計，讓他們理解數學中的“周期”呢？

筆者認為，如果用以下3幅圖來讓學生直觀感知“周期”的概念，相信學生會對周期函數的數學定義有深刻而透徹的理解。

圖2是周期函數的一個典型——余弦函數。

圖3也不是周期函數。

圖4是T固定但函數值不固定的圖象，所以也不是周期函數。

【設計意圖】在周期函數概念教學前，由于經濟學中的經濟周期簡圖已經深入人心，大部分學生認為它的圖像就是一個周期函數的圖象。所以筆者設計了圖4來幫助學生理解的真正含義。通過這幾個例子的比較，學生會對“周期”概念中的“存在非零常數T具有性質：”這句話有較好的理解。

數形結合思想是數學解題中常用、重要的數學思想方法之一，也是中學數學教育中常見的數學思想之一。運用數形結合思想，教師可以使某些抽象的數學概念更加直觀化、生動化，能夠讓抽象思維轉化成形象思維。這樣便使很多問題迎刃而解，讓“難懂”的概念容易理解，有助于學生把握數學概念的本質，同時也有利于提高學生的數學素養。

【案例二】? 異面直線

有一次，有兩位學生為了一道題爭得面紅耳赤，公說公有理，婆說婆有理。

此題如下：

圖5是個邊長為6的正方體，其中CE=4，CF=3，求幾何體的體積.

學生一的解法，如圖6所示。

學生二的解法，如圖7所示。

學生一說他的方法是根據學習軟件得出的，而學生二說他的方法和參考書上的答案是一致的。于是，筆者組織全班學生進行討論。大家通過討論和反復驗算，發現兩位同學的計算都沒有錯誤。那么問題出現在哪里呢？

經過很長時間的討論，最后大家發現這四點根本就不共面，是兩條異面直線，也就是說，根本不存在面，所以最后發現是題目出錯了。也就是幾何體的形狀都是不固定的，所以沒法計算確切的體積。

【設計意圖】雖然這是道錯題，但是經過長時間的思考和爭論后，學生都對“不同在任何一個平面”這句話產生了深刻的印象，而此題的圖象能形象地詮釋“異面直線”。這件事情同時也告訴學生不要完全相信輔導資料，需要獨立思考?！氨M信書，不如無書”，說的就是這個道理。

華羅庚教授指出：“數缺形時少直覺，形少數時難入微。數形結合百般好，割裂分家萬事非?！睌敌谓Y合的思想就是充分運用數的嚴謹和形的直觀，將抽象的數學語言與直觀的圖形語言結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過圖形的描述、代數的論證來解決數學問題的一種數學思想方法。

【案例三】? 向量數量積的幾何意義

在進行向量數量積的教學時，筆者一般會講幾何意義1：與在方向上投影的乘積。如圖8所示，這里在方向上投影為.

上述幾何意義是我們在日常教學中遇到的。事實上，數量積的幾何意義還可以做另外的解釋。

幾何意義2：如圖9所示，、在任意兩個互相垂直的方向上的對應投影的乘積之和，即.

學生借助圖像來理解這兩個幾何意義，會使數學課堂變得更靈動。

【設計意圖】這道題目以坐標系為紐帶，使數量積與圖像之間建立了對應關系，從而對數量關系的研究可轉化為對圖形性質的研究，反之亦然。這樣既充分發揮了“形”的直觀性，又注重了“數”的嚴謹性。這種解決數學問題中的“數”“形”相互轉化、交互使用的技能，體現了“數”與“形”的兩面性，反映了數學的本質。所以，教師要反思自己的教學過程，特別是要研究數學問題的教學設計。

（二）他山之石——另辟蹊徑解決煩瑣的數學問題

“唐宋八大家”之一的蘇軾在《題西林壁》中寫道：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中?！薄皺M看成嶺側看成峰”說明從不同的角度看同一物體的視覺效果可能不同，怎樣避免“不識廬山真面目”呢？筆者認為，我們不能“身在此山中”，而是應跳出山來，從山外看山，樹立全面、整體的觀念。

【案例四】 兩角差的余弦公式的推導

在教學“兩角差的余弦公式的推導”這一課時，筆者感覺很煩瑣。學生總是不理解，如果學生向量知識掌握得不好，理解起來會更難。在暑假期間，筆者參加了數學培訓活動，受到很多啟發。于是，針對這節課，筆者做了以下設計。如圖11所示，正方形ABCD，作AF=1，∠FEA=90°，令∠EAF=β，∠EAD=α，于是我們得到AD=cos（α-β），同時我們易得EF=sinβ，AE=cosβ，∠CFE=∠AEB=α，據此可以推得CE=sinβsinα，BE=cosβcosα，最后由于正方形ABCD的AD=BC，即可得到cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

【設計意圖】課本上是用向量去推導兩角差的余弦公式的，需要學生對三角函數的定義有深入的理解。但是，有些學生對三角函數的定義理解得并不透徹，所以才會想到用幾何圖象來推導這個兩角差的余弦公式。而用這個模型去推導兩角差的余弦公式，省時省力，學生也更容易理解。

【案例五】? 點到直線距離公式的推導——以向量法為例

設直線的一個法向量，Q為直線上任意一點，則.從而點P到直線的距離為：

【設計意圖】每次教學這節課時，筆者總覺得書上的推導步驟太煩瑣、費時，而且有時候學生花了半節課時間還推導不出來，就會產生挫敗感。筆者借助向量法來推導，比較省時，效果也比較好。其實，這個結論還可以用柯西不等式來證明，與這個方法有異曲同工之妙。

興趣是人的認知需要的情緒表現，在學生學習過程中起著極大的推動作用。因此，在數學教學設計中，教師要激發學生的興趣，增強他們學習的自主性。數學教材因其嚴謹性、科學性等客觀需要，不夠情境化、具體化。所以在課堂引入時，教師如果照搬、照抄書本，會給學生死板、單調之感，導致學生對數學學習失去興趣。

（三）高屋建瓴——注重總結通法，發散思維

任子朝、陳昂在論文中指出，在高考中增強基礎性，有助于構建學生終身學習與發展之基礎;增強綜合性，有助于選拔適合社會需要的綜合型人才[2]?？荚囍械念}目和現實生活中的數學始終緊密地聯系在一起。學生要從現實生活中學習數學，再把學到的數學知識應用到現實中。教師應充分發揮主動性和創造性，從學生的年齡特征出發，從他們已有的知識經驗和熟悉的生活情境出發，對教材內容做不同程度的處理，在教材內容和學生求知心理之間創造一種“模型”，把學生引入一種渴望探究的狀態中。

【案例六】以長方體為載體，優化立體幾何教學

2008海南、寧夏理科高考卷中有這樣一道題：某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則的最大值為（? ? ）。

本題以三視圖為載體，考查學生對基本的幾何圖形（平面圖形或立體圖形）的熟悉程度，考查學生的空間想象能力。學生要想解答本題，必須想象圖形，借助圖形進行思考。為了使思考直觀、簡單，教師可帶領學生對圖形進行適當構造，不妨構造個長方體，結合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算，如圖12所示。

構造長方體這個模型來解決此題，猶如“他山之石，可以攻玉”，起到了化繁為簡的作用。如此，不但提升了學生的思維起點，培養了學生的空間想象能力，而且能讓學生發現數學的美、體驗數學的美，提高數學學習的興趣。

無獨有偶，學生在課外練習時，來向筆者請教了這樣一道題目：已知三條側棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐內接于球，則球的表面積與體積分別為多少？

這題的關鍵是算出球的半徑，如果直接算的話，過程如下所示。

如圖13所示，設PA、PB、PC兩兩垂直，且長度都為1，連接并延長交底面于點，連接AO、AE并延長交于點，則為底面的中心（重心）。易得，為的高，，在直角三角形中用勾股定理可算得，設球的半徑為R，于是在直角三角形AEO中可得即，解得.接下來只需根據球的表面積和體積公式進行計算，此題就可迎刃而解了。

但是，由于三條側棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐可以看作邊長為1的正方體的一個角，也就是這個三棱錐的外接球就是邊長為1的正方體的外接球。外接球的直徑等于正方體的體對角線，然后，立即可以得出.

以上兩種方法是截然不同的兩種思路，前者針對解題而解題，后者在解題前進行了模型的構建，高屋建瓴，使學生思路更為開闊，給人一種豁然開朗的感覺。

【設計意圖】在立體幾何學習中，學生如果掌握了長方體這一模型，就可以解決很多類似的問題。比如，有時將一個三棱柱補成一個四棱柱，有時將正四面體放入正方體中研究，有時將三組對棱分別相等的四面體放入長方體中進行研究，有時將一個幾何體分割成長方體（棱柱）加一個錐體。長方體這個載體給立體幾何教學提供了很多方法。

教師在日常教學設計中要以點帶面，由解決一道題類比推廣到解決一類題，讓學生透過現象看本質，不畏浮云遮望眼，抓住數學問題的本質，從而在解答題目的過程中提升核心素養。

四、問題的反思

筆者在教學實踐的過程中，還深刻體會到，要想真正提高學生的數學核心素養，教師還需要努力做到以下幾點。

（一）讓生“動”起來

教學的主體是學生。如果沒有學生的積極參與，教師講解得再生動都是徒勞，而讓學生“動”起來是關鍵。

例如，在講解“正弦定理的運用”時，教師可讓學生分組外出，測量計算旗桿的高度、西山的高度、教學樓的高度等，并整理成文和其他同學共享。這樣的自主學習、合作學習及實踐活動，使學生真正成為學習的主人。也許這樣的教學比較耗時，但這樣的學習經歷給學生的印象會更深刻，能幫助學生更好地掌握相關知識。

要想提高學生的數學素養，教師需潛心鉆研教材，留心積累與數學有關的案例，用心適時管住自己的“嘴”，引導學生多研究一些解法，多了解一些問題的“源”，保持對問題的敏感性和對數學的熱情，讓 生“動”起來。

（二）充分挖掘探究性學習教材

仔細研讀教材，我們不難發現，教材編寫時留下了很多的“空白”處。這無疑為我們在日常教學中開展探究性學習提供了絕佳的素材。教師只有善于鉆研、精心設計，充分挖掘和利用好這些素材，才能為日常教學增添亮麗的色彩，同時對培養學生的創新精神和實踐能力也大有裨益。

例如，教材中對向量數量積的五個性質是直接呈現的，那么在教學中，教師是和盤托出還是引導學生主動研究？一種明智的做法就是，教師引導學生站在哲學的高度，運用聯系的觀點，采用一般與特殊的處理方法去探索，從而使學生不僅在探索中證明諸多性質，還讓學生感悟到應該如何去發現。不少學生還主動將探索進行了延伸，在直角坐標系下，得到了五條性質的坐標形式，培養了自身的探究能力。

結? ? 語

數學教學設計是高中數學的難點。筆者在多年的教學中一點點地積累經驗，改進教學方法和教學設計，化繁為簡，希望能使學生更好地理解和掌握知識。千里之行，始于腳下，為了我們理想的課堂，筆者將不斷探索數學教學設計的新方法和新思路！

[參考文獻]

鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”[J].數學教育學報，2016，25（03）：1-5.

任子朝，陳昂.加快高考內容改革，增強基礎性和綜合性[J].數學通報，2016，55（06）：1-3.

作者簡介：楊敏（1984.7—），女，浙江杭州人，中學一級教師，被評為蕭山區第十八屆教壇新秀。