基于CPFS結構理論的“二次函數與一元二次方程、不等式”教學設計

付佳惠 程國忠

【摘要】用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法.新版人教版必修第一冊的第2章第3節“二次函數與一元二次方程、不等式”作為初高中的銜接知識，是高中學生必備的基礎，對今后繼續學習其他函數等知識尤為重要.本文基于喻平教授提出的CPFS結構理論對這節內容進行教學設計，力圖在教學中溝通初高中內容，讓學生平穩過渡到高中的學習，并在頭腦中形成對三個“二次”之間的知識網絡結構，為今后的學習打下基礎.

【關鍵詞】不等式;CPFS結構;教學設計

一、引 言

新一輪基礎教育課程改革的實施，全面推進素質教育，出版了新教材 《普通高中課程標準實驗教科書》，其中知識的結構和內容與原來相比也發生了較大變化.在2017版新課標中，將原人教A版必修1第3章第1節“函數與方程”及必修5第3章“不等式”的內容提前了，使其作為高中數學學習的預備知識于新版必修第一冊的第2章第3節“二次函數與一元二次方程、不等式”處綜合學習.這樣設計的目的，其一是由一元二次函數、方程及不等式的地位所決定，其二是由學生認知發展所決定.“教材編寫要利于學生的學”[1]，作為初高中銜接的過渡知識，一元二次函數易與初中所學的一元一次函數相聯系，便于學生理解.另外，“教材編寫應體現整體性” [1]，“以數學表達方式來看，方程相當于不等式的一種特殊情況，因此，方程和不等式問題具有一定關聯性”[2].同時，由于三個“二次”之間有著相同的函數表達式——一元二次函數，也就是說三個“二次”之間有著非常密切的聯系.所以，教師在教學這一章節時，一定不要割裂這些知識點之間的聯系，而應讓學生架構整體框架，在頭腦中形成完整的數學知識網絡.

二、CPFS結構理論的概述

2003年，喻平教授在《數學學習心理的CPFS結構理論》這一論文中，正式提出了CPFS結構這一新概念.CPFS結構是由概念系、概念域、命題系、命題域組成的一個系統.“概括地講，CPFS結構就是個體頭腦中形成的由概念或命題組成的數學知識網絡，其中各個知識點（概念、命題）處于一定的位置，它們之間存在等價關系、強抽象關系、弱抽象關系、廣義抽象關系之一”[3].

三、基于CPFS結構理論的“二次函數與一元二次方程、不等式”教學設計

1.教材分析

（1）教材地位與作用

本教學設計使用教材為新人教版必修第一冊第2章第3節內容，該節內容是作為初高中的過渡知識呈現的，其作用在于讓學生體會函數的重要性，為學習其他函數打下基礎.

（2）教學目標

a.理解三個“二次”之間的關系，掌握一元二次不等式的圖像解法，能在實際情境中靈活運用.

b.通過探索，學會解決問題的方法.

c.滲透數形結合思想和分類討論思想，通過對實際問題的分析，培養學生科學實證的意識，以及科學探索的實踐精神.

（3）重點、難點

重點：理解清楚三個“二次”之間的關系，利用函數圖像求一元二次不等式的解集.

難點：探究一元二次函數根的分布情況與不等式解集的關系.

2.學情分析

這一階段的學生處于適應期，自主性學習能力不強，各類數學思想方法的掌握也很薄弱，這對教師教學而言挑戰較大.但大部分同學對數學學習興趣較高，對數學學習有較大的自信心，積極參與課堂活動.

3.教法分析

用問題串的形式鼓勵、引導學生自主思考，利用小組討論的形式引導學生自己歸納總結，達到教學目標.

4.教學準備

多媒體，PPT，作圖工具（尺規）.

5.教學過程

（1）復習回顧

問題1：請同學們求解2x+1>0的解集.首先回憶一下，初中我們是如何分析這一不等式的？

（設計意圖：引導學生回憶分析方法，總結出解一元一次不等式是通過分析一次函數圖像及一元一次方程的根這一方法來解決的，為新課的學習積累數學學習方法.）

（2）情景引入

問題2：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉，若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形區域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長為多少米？（直接運用教材中的問題）

生：我們假設矩形其中一條邊長為x米，另一條邊長為（12-x）米，可列出關系式得（12-x）x>20，其中x∈{0

（提醒學生注意x的取值范圍）

整理，得x2-12x+20<0，x∈{0

師：只要解出這個不等式就可以解決這道題了.那么我們怎么解這個不等式呢？你們能發現這個不等式與一元一次不等式有什么異同嗎？

生：都只有一個未知數和不等號，但未知數最高次數為2.

師：大家能給它取個名字嗎？

生：一元二次不等式.

師：非常好！像這樣，我們把只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式.

問題3：我們能否類比一元一次不等式解法，解一元二次不等式呢？小組討論一下.

生：利用一元二次函數求解.

師：非常好！

問題4：在初中，我們學習了從一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？

生：應該也可以.

師：請同學們畫出函數y=x2-12x+20的圖像，并觀察，你能得出什么結論？

[師用幾何畫板作出函數圖像（如圖1），并作一點P，可在函數圖像上自由移動.]

生：函數圖像與x軸有兩個交點（2，0）和（10，0）.