函數最值問題在生活中的應用

姜葉

【摘要】函數最值問題是一種特殊的數學問題，其求法就是函數性質和其特點結合應用的關鍵所在.目前，函數最值問題在日常生活、科學研究等領域都有廣泛應用，比如利潤最大化問題、資源利用最大化問題等.為更好地解決最值應用問題，教師需要重點對相關求法進行總結歸納，通過對其中的聯(lián)系進行充分挖掘和理解，以此順利解決實際問題.

【關鍵詞】函數最值;應用;實際生活

在經濟管理、經濟核算、農業(yè)發(fā)展、工業(yè)生產等方面，經常需要解決在一定條件下如何投入最小成本獲得最大產出和最高效益的問題，對此，我們可以將其歸結為一個函數在某個范圍之內的最小值和最大值問題.如果能夠有效解決這一問題，則能夠實現資源的最大化利用，優(yōu)化投入產出比.另外，最值問題在物理和幾何等方面的研究中也都有一定應用.所以，對其應用情況進行探究具有極大現實意義.

一、生活中常見的函數問題

在數學概念中，函數是非常重要的一個內容，它包含了變量和其對應的函數值.在實際生活中隨處都能夠找到變量，所以函數問題也是實際生活中的核心問題.

例如，常見的一次函數，包含了購物時總價和數量之間所呈現關系的數學模型，工作薪酬和工時之間所呈現關系的數學模型等.函數解析式可以幫助人們找到總價和數量、總工作薪酬和工時等方面存在的關系，即當其單價一定，數量越多、工時越多，最終的總價格或總薪酬就會越高.

二次函數在生活中的應用也比較廣泛，其原理主要在于某個變量在因變量均勻變化的過程中所對應的變化也會越來越快.比如，實際生活中銷售利潤和銷售時間之間的關系，物理當中自由落體的物體速度和時間之間的關系等，都可以直接通過該函數進行模擬.

另外，三角函數、反比例函數以及指數函數等都在生活中有著非常廣泛的應用.比如，為了探究木材的應用需要使長寬滿足哪種關系，就可以使用反比例函數;在工程作業(yè)中，相關高度的測量以及航海過程中行程的測定就可以使用三角函數;生物細胞分裂數量和次數之間的關系就可以使用指數函數.從這些問題中能夠看出，數學函數和生活間存在著非常緊密的關系，換句話說，生活中的大多數變量就是數學模型的具象化存在.

二、函數最值的基本概念

對于函數中的兩個變量，如果每給x一個值，y都會有唯一一個與其對應的值，這時候就可以說y是x的函數.在這之中，x是自變量，y是因變量.在確定其函數最值時，應確保這兩個變量定位的精準性.通常函數最值主要分為最大值和最小值，涉及函數類型包含了一次函數、二次函數、三角函數、反比例函數、指數函數等，雖然其最值具體的求解方式存在一定差異，但在確定方法上卻是統(tǒng)一的.

（一）最大值

從整體上來說，最大值就是定義域當中函數值的最大數值，即設函數y=f（x）的定義域為I，倘若存在實數M滿足：（1）對任意實數x∈I，都存在f（x）≤M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時候就可以說M是函數y=f（x）的最大值.

（二）最小值

簡單來講，最小值就是定義域當中函數值的最小數值，即設函數y=f（x）的定義域為I，倘若存在實數M滿足：（1）對任意實數x∈I，都存在f（x）≥M;（2）存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么這時候就可以說實數M是函數y=f（x）的最小值.

對這兩者的幾何意義來說，即是函數圖像最高點或最低點的縱坐標.

三、函數最值在生活中的應用

在日常生活中經常會遇到一些關于最值的問題，例如，怎樣安排工作實現效率最大化，怎樣利用資源才能夠實現資源利用率最優(yōu)化，怎樣安排行程保證時間最短和效率最高，等等，這些都是人們在生活中經常面對和要解決的問題.這時，如果能夠引入函數最值問題，便能夠使問題簡單化，解決思維也能夠更加明晰.

（一）空間利用最大化

在實際生活中，人們常常為了提升生活品質，優(yōu)化生活空間，考慮如何使有限的空間資源達到合理利用.以園林綠化為例，為使空間資源利用率實現最大化，人們不僅要對綠化面積進行考慮，還要對園林后續(xù)養(yǎng)護、觀賞和路面硬化等因素進行考量，為了同時滿足這幾項要求，保證綠化地帶設計方案的最優(yōu)化，就可以引入函數最值問題，實現空間與資源的最大程度應用.以此為核心思路還能夠解決生活中的一些其他空間利用問題.

此外，在求面積最大化時也可以應用函數最值問題.比如，某個小區(qū)要在圍墻邊設計一個長方形的自行車棚，一邊運用圍墻，同時有總長是32米的圍欄，還要在和墻平行的一邊留出一個寬2米的門，如果要使車棚面積實現最大化，長和寬應該如何取值？實際解決時可以設車棚面積為y平方米，再根據題目得到y(tǒng)=（34-2x）x=-2（x-8.5）2+144.5，要使最終車棚的面積實現最大化，其長應是17米，寬應是8.5米.在解決這類面積問題時，要先將其表示成一個變量的二次函數，再依照二次函數最值問題得到最終答案.

（二）利潤最大化

函數最值問題在商家經營利潤最大化解析中的應用也非常廣泛.例如，某一商場在經營球鞋時，某一類鞋款購進時的價錢是每雙180元，據市場調查顯示，當該款球鞋銷售單價為260元時，銷售量在當季能達到500雙，如果每雙球鞋的銷售單價每上調20元，其銷售量就會減少50雙.那么在銷售過程中，要想知道怎樣合理定價才能夠實現利潤最大化，就必須將函數的最值問題考慮進去.如設定價是x元，最大利潤為y元，每雙球鞋的利潤就可以表示為（x-180）元，當季的銷量就可以表示為{500-50[（x-260）÷20]}雙，當季最大利潤則可以表示為y=（x-180）[500-50（x-260）÷20].從這之中能夠看出來，利潤的增長并非隨著售價的上漲而增加，但售價的上漲必然會導致銷售量的下降.所以，當實際生活中遇到類似的問題，在確定商品價格的時候就可以依照商品進價、銷售量和價格上漲的額度，對會導致銷售量下降的因素進行分析，最終計算出最合理的定價，實現利潤最大化.倘若應用不同的銷售方案都能夠達到利潤最大化，還應選擇單價比較低的方案，使消費者可以獲得相應的優(yōu)惠，給自身品牌的樹立等方面夯實基礎，以便鞏固客源.