整合碎片練習(xí)　讓復(fù)習(xí)課更有深度

摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排內(nèi)容是螺旋上升的，同一主題的知識(shí)在不同的學(xué)習(xí)階段會(huì)有不同的學(xué)習(xí)要求，也會(huì)有很多零散的習(xí)題分布在各個(gè)階段，但是這些習(xí)題之間存在某些關(guān)聯(lián)。在復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)整合這些相關(guān)的碎片練習(xí)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中學(xué)得更有深度。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課;知識(shí)整合

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-624X（2021）32-0079-02

引? ?言

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有明確的概念界定，基本是讓學(xué)生通過(guò)比較直觀的感知理解相關(guān)概念。一些知識(shí)點(diǎn)是在學(xué)生逐漸深入學(xué)習(xí)的過(guò)程中不斷完善的。所以，在復(fù)習(xí)時(shí)，教師要勾連起這些不同時(shí)段的碎片知識(shí)，使學(xué)生在腦海中完善概念體系，從而達(dá)到深度理解的目的[1]。下文以六年級(jí)總復(fù)習(xí)“立體圖形的體積”一課為例，談?wù)勅绾握纤槠毩?xí)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更有深度。

一、關(guān)聯(lián)碎片，讓學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)概念

在進(jìn)行“立體圖形的體積”總復(fù)習(xí)時(shí)，在課程伊始，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生更形象地理解立體圖形、平面圖像、點(diǎn)和線之間的關(guān)聯(lián)，并把這些碎片內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來(lái)，從而使學(xué)生更深層次地理解立體圖形。設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)如下。

課件出示一些“點(diǎn)”，教師：當(dāng)我們把這些平面上的點(diǎn)用線圍起來(lái)就構(gòu)成了一些平面圖形。（課件出示相應(yīng)的長(zhǎng)方形、正方形和圓）當(dāng)我們把這些平面圖形疊加起來(lái)，并賦予一定的高度，就構(gòu)成了立體圖形。（課件相應(yīng)展示形成的長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體）立體圖形有了一定的高度，并占據(jù)了一定的空間，這就是立體圖形的體積。

這樣設(shè)計(jì)的意圖是讓學(xué)生連接起平面圖形與立體圖形之間的變化關(guān)系，深刻認(rèn)識(shí)到平面圖形沒(méi)有高度，而立體圖形是有高度的，正因?yàn)榱Ⅲw圖形有了一定的高度，所以它要占據(jù)一定的空間，這就是立體圖形的體積。到了更高的學(xué)段，學(xué)生會(huì)進(jìn)一步明白，這其實(shí)是二維和三維的關(guān)系。在小學(xué)總復(fù)習(xí)階段，教師通過(guò)連接學(xué)生以往零碎的知識(shí)碎片，設(shè)計(jì)了“連點(diǎn)成線、連線成面、由面到體”的環(huán)節(jié)，使學(xué)生更深層次地理解了為什么平面圖形研究的是面積，而立體圖形要進(jìn)一步研究體積。

二、重組碎片，讓學(xué)生深度體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法

在“立體圖形的體積總復(fù)習(xí)”第二環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)的是回顧各立體圖形體積的推導(dǎo)過(guò)程。這些立體圖形的體積公式并不是在一節(jié)課內(nèi)同時(shí)學(xué)習(xí)的，筆者在總復(fù)習(xí)時(shí)把這些圖形整合起來(lái)，讓學(xué)生進(jìn)行整體回顧，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的一些基本方法。例如，筆者帶領(lǐng)學(xué)生用數(shù)格法探究長(zhǎng)方體和正方體的體積計(jì)算方法，學(xué)生數(shù)了長(zhǎng)方體所包含的1立方厘米的小正方體的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的體積就等于長(zhǎng)、寬、高的乘積;正方體是特殊的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬和高都是相等的，所以正方體的體積就等于棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)，即棱長(zhǎng)的立方。圓柱的體積計(jì)算采用轉(zhuǎn)化法，即把圓柱轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體進(jìn)行探究，長(zhǎng)方體的底面積就是圓柱的底面積，長(zhǎng)方體的高就是圓柱的高，所以圓柱的體積也等于底面積×高。圓錐的體積和與它等底等高的圓柱體積相關(guān)聯(lián)，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生用實(shí)驗(yàn)法進(jìn)行推導(dǎo)，使其發(fā)現(xiàn)圓錐的體積等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。教師把這些立體圖形體積的推導(dǎo)過(guò)程重組在一起，讓學(xué)生進(jìn)行整體回顧復(fù)習(xí)，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了各立體圖形的體積計(jì)算公式，還讓學(xué)生再一次深度學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中常用的探究方法。

三、對(duì)比碎片，讓學(xué)生深度揭示數(shù)學(xué)規(guī)律

例如，圓柱體積教學(xué)中的一些習(xí)題都和長(zhǎng)方形有關(guān)，即把一張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)形成圓柱，或者利用卷一卷的方法形成圓柱。筆者在復(fù)習(xí)課中把這些練習(xí)組合在一起，讓學(xué)生進(jìn)行集中對(duì)比，從而更深度地探究，總結(jié)其中的規(guī)律。

活動(dòng)一：一張長(zhǎng)方形紙可以通過(guò)哪些旋轉(zhuǎn)方式形成圓柱？

這個(gè)習(xí)題包含了以前的兩道練習(xí)，分別是：（1）繞著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊或?qū)掃呅D(zhuǎn)，形成兩個(gè)不同的圓柱，哪一個(gè)體積更大？（2）分別以長(zhǎng)方形的兩條對(duì)稱軸為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)形成兩個(gè)不同的圓柱，哪一個(gè)體積更大？現(xiàn)在，筆者把這兩個(gè)練習(xí)重組在一起，設(shè)計(jì)的意圖是讓學(xué)生感悟一張長(zhǎng)方形紙可以通過(guò)不同的旋轉(zhuǎn)方式形成圓柱，接著讓學(xué)生探究?jī)山M圓柱中哪一個(gè)體積更大？

方法1：假設(shè)法，假設(shè)原始長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是6厘米，寬是4厘米，然后具體算出各圓柱的體積，進(jìn)行比較。

第一組兩個(gè)圓柱的體積分別是：π×62×4=144π（cm3）和π×42×6=96π（cm3）;

第二組兩個(gè)圓柱的體積分別是：π×32×4=36π（cm3）和π×22×6=24π（cm3）。

由此發(fā)現(xiàn)，兩組圓柱中，都是以寬邊作為高的那個(gè)圓柱的體積要大一些。

方法2：直接算式對(duì)比法

如繞邊一組兩個(gè)圓柱的體積分別是：

圓柱的體積=π×長(zhǎng)2×寬=π×長(zhǎng)×長(zhǎng)×寬

圓柱的體積=π×寬2×長(zhǎng)=π×寬×寬×長(zhǎng)

這樣對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，以長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊為底面半徑，繞著寬邊旋轉(zhuǎn)形成的圓柱體積更大。

同理，繞著對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的兩個(gè)圓柱的體積分別是：

由此，學(xué)生也能很清楚地看出，以長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊的一半為半徑，寬邊為高的圓柱體積較大。學(xué)生在對(duì)規(guī)律有了初步感知后，繼續(xù)研究用長(zhǎng)方形紙卷出的圓柱，哪一個(gè)體積更大？

活動(dòng)二：把一張長(zhǎng)方形紙，卷成兩個(gè)大小不同的圓柱（見(jiàn)圖1），分別算出體積。怎樣卷圓柱的體積比較大？

在上述探究的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生先利用剛才的經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)哪一個(gè)圓柱的體積更大？有些學(xué)生猜“矮胖”的那個(gè)圓柱體積更大。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生選擇剛才的兩種方法之一進(jìn)行進(jìn)一步探究。

方法1：假設(shè)法，如假設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊31.4厘米，寬邊18.84厘米，計(jì)算對(duì)比。

第一個(gè)圓柱的體積是：r=31.4÷3.14÷2=5cm，V=π×52×18.84=471π（cm3）;

第二個(gè)圓柱的體積是：r=18.84÷3.14÷2=3cm，V=π×32×31.4=282.6π（cm3）;

方法2：直接算式對(duì)比法。

以上兩種方法再次證明，用同一張長(zhǎng)方形的紙卷圓柱，以長(zhǎng)邊作為圓柱底面周長(zhǎng)、寬邊為高卷出的圓柱體積比以寬邊作為圓柱底面周長(zhǎng)、長(zhǎng)邊為高卷出的圓柱體積更大，即“矮胖”的圓柱體積更大。

通過(guò)以上兩個(gè)活動(dòng)，筆者整合碎片習(xí)題，幫助學(xué)生深度發(fā)掘一些數(shù)學(xué)規(guī)律，加深了學(xué)生對(duì)幾何圖形知識(shí)的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

四、遷移碎片，讓學(xué)生深度感悟數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)“立體圖形的體積總復(fù)習(xí)”一課中，筆者在問(wèn)題解決環(huán)節(jié)做了以下設(shè)計(jì)。筆者先出示題組一中的第（1）題：一個(gè)棱長(zhǎng)4分米的正方體水箱裝滿水，如果把這箱水倒入另一個(gè)長(zhǎng)8分米、寬2.5分米的長(zhǎng)方體水箱中，水深是多少分米？引導(dǎo)學(xué)生抓住題中的等量關(guān)系：正方體水箱中水的體積等于長(zhǎng)方體水箱中水的體積，由此使學(xué)生應(yīng)用“方程”思想解決答這一道題。這樣通過(guò)抓住題目中的等量關(guān)系，用“方程”思想解答問(wèn)題的練習(xí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，因此在復(fù)習(xí)課時(shí)，筆者希望通過(guò)這一小題的拋磚引玉，讓學(xué)生把這樣的碎片練習(xí)進(jìn)行正遷移，學(xué)會(huì)解答這一類習(xí)題。所以，筆者設(shè)計(jì)了第（2）題：一個(gè)裝滿小麥的圓柱形糧囤，底面積是3.5平方米，高是1.8米。如果把這些小麥堆成高是1.5米的圓錐形麥堆，占地面積是多少平方米？要求學(xué)生運(yùn)用同樣的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

除了“方程”思想，在學(xué)習(xí)圖形知識(shí)中，“轉(zhuǎn)化”思想同樣重要。所以，筆者設(shè)計(jì)了第二組練習(xí)。筆者出示第（3）題：一個(gè)酒瓶深30厘米，底面內(nèi)直徑是10厘米，瓶里的酒深15厘米，把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立，這時(shí)酒深25厘米（見(jiàn)圖2），酒瓶的容積是多少毫升？

筆者引導(dǎo)學(xué)生理解“酒瓶的容積=空氣的體積+瓶?jī)?nèi)現(xiàn)有酒的體積”。酒的體積是一個(gè)圓柱的體積，而空氣的體積是不規(guī)則的，但是可以轉(zhuǎn)化為酒瓶倒置過(guò)后的空氣體積，列式：π×（10÷2）2×15 + π×（10÷2）2×（30-25） =π×52×（15+5） =500π（mL）

接著，筆者設(shè)計(jì)了第（4）題：將一個(gè)底面直徑是6厘米、高10厘米的圓錐形鉛錘完全浸沒(méi)在水中（見(jiàn)圖3），圓柱形玻璃杯的底面直徑是20厘米，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水會(huì)下降多少厘米？這一題同樣啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)進(jìn)行解題，把玻璃杯里下降的水的體積轉(zhuǎn)化為圓錐的體積。列式：圓錐的體積 ×π×（6÷2）2×10 = 30π（cm3）;下降的水的高度 30π÷[π×（10÷2）2]=1.2（cm）。

結(jié)? ? 語(yǔ)

學(xué)生在不同的學(xué)段做得一些看似不同的練習(xí)，可以通過(guò)復(fù)習(xí)課有效整合成題組，在整合練習(xí)中重溫?cái)?shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，探究數(shù)學(xué)的規(guī)律、奧秘。這樣的復(fù)習(xí)課可以讓學(xué)生更有深度地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，同時(shí)對(duì)教師教學(xué)提出了更高的要求。

[參考文獻(xiàn)]

[1]紀(jì)何.小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的指導(dǎo)策略[J].新課程，2021（26）：213.

作者簡(jiǎn)介：王鳴荷（1979.8—），女，江蘇蘇州人，一級(jí)教師。