現象教學視角的概念生成

沈惠華

[摘? 要] 現象教學倡導回歸生活本源尋找數學概念原型，以整體形象呈現概念結構性信息. 教師作為合作者攜帶著更廣闊的知識背景輔助學生探尋知識的真諦，學生經歷感知—設問—抽象—論證—表達（數學化）的全過程，從而提升數學素養，達到培養問題意識、形成探究習慣、增加數學知識、提升核心素養的目的.

[關鍵詞] 數學現象;數學概念;數學化;抽象;概括

數學概念是對數學現象的高度抽象和概括，是數學理論的基石，概念教學自然是數學教學的核心. 傳統的教學是把概念當作一個知識，當作一個需要認識的對象，遵循這樣的路徑：引入概念—辨析理解—掌握應用—反思升華，其關鍵詞是“理解”，應用和反思主要是為了促進理解，所以有“為理解而教”的說法.

現象教學就不同了，它把概念當作是對客觀世界的“認識成果”，讓學生對真實的現象（特例）進行觀察，歷經感知—設問—抽象—論證—形成認識—訴諸表達的全過程，其關鍵詞是“生成”. 學生首先面對的是原始對象，直觀感知其完整的信息，將其數學化后容易實現知識的結構化，也就是經歷了“觀察世界、分析世界、表達世界”的過程，這就使其感悟數學本源，積累活動經驗并逐步強化數學思維、提升數學素養，其中的“過程價值”是知識教學所不具備的.

從邏輯上講，“表達”是指把頭腦里已有的東西“說出來”，顯然是頭腦里先有意義而后才形成語言. 所以，“生成”比“理解”更有內在的合理性，現象教學比知識教學更貼近認識世界的真實過程，更能體現學生的能動作用. 下面以“離散型隨機變量的均值”為例，談談現象教學視野下數學概念的生成.

[?]課例設計與簡析

現象1：（展示一枚骰子）生活中，我們經常利用骰子進行游戲，比如說有這樣一個“猜大小”的游戲：骰子點數1、2、3為“小”，骰子點數4、5、6為“大”，參與者每次猜“小”或“大”，猜對就獲得2分，猜錯就扣除1分. 你怎樣看待這個游戲？

（——以“游戲”為現實背景引入課題，學生感覺親切自然，在直觀感知游戲規則之后，他們帶著濃厚的興趣參與課堂活動，積極發表個人觀點，始終保持自己在課堂上的主體地位. ）

生：雖然猜對和猜錯的概率都是50%，但是得分不同.

師：你能具體說說得分有什么不同嗎？

生：假如每個結果各發生一次，兩次游戲后得分為2+（-1）=1. 平均每進行一次游戲，得分為0.5！

（在日常生活中，人們習慣用算術平均數對數據進行評估. 通過等概率事件的呈現，引起學生直覺的表達，為新概念的生成奠定基礎. ）

現象2：游戲規則：投擲骰子，如果丟出6點，你將獲得8分，沒丟出6點，你將扣除1分. 你怎樣看待這個游戲？

生1：猜對和猜錯的概率不一樣，不能直接取8和-1的算術平均數.

生2：骰子共6種情況，假如每個點數都出現一次，六次游戲的得分為8+（-1）×5=3. 平均每進行一次游戲，得分為0.5！

生3：上述計算可簡化為：=8×+（-1）×=0.5.

（通過不等概率事件的呈現，引發學生對“得分均值”的進一步思考，進而產生更深層次的認識. ）

現象3：游戲規則：投擲骰子，如果丟出1、2、3點，你將扣除1分，丟出4、5點，你將扣除3分，但是丟出6點，你將獲得12分. 你怎樣看待這個游戲？

生1：得分均值：= （-1）×+（-3）×+12×=0.5.

生2：與上個游戲一樣，這里的、、也是相應事件的概率.

（經歷事件個數的變化過程，促使學生生成概念的雛形，進而堅定自己的猜想.）

師：上面三個游戲都沒發生，你如何看待這個“0.5”？

生：它反映了我們對游戲結果的預判與期待，呈現了我們對游戲得分的期望.

師：連續投擲一枚骰子6次，一定會出現1、2、3、4、5、6這六種結果嗎？

生：不一定，前面的計算都是我們的直觀感覺，沒有任何依據！

師：你們認同自己對得分均值的計算嗎？

生1：認同，但我們需要找到它的理論依據！

生2：我們想先體驗一下這個游戲（以游戲3為例），在實踐中尋找靈感.

（帶著自己的疑問與追求，學生從數學的角度去觀察生活中的現象，思考數量間的某些聯系，在親身體驗中積累數學基本活動經驗，從而有效支撐數學核心素養的發展. ）

學生試驗了幾次游戲，但結果不理想.

師：為什么會產生這種結果？

生：試驗數據不夠多，結果容易產生偏差.

師：你下面會怎么做？再繼續試驗游戲嗎？

生：不用，可以把所有學生的數據收集起來，展示1000個數據如表1.

得分均值：0.511×（-1）+0.33×（-3）+0.159×12=0.407.

（通過對所有學生數據的收集和整合，學生一步一步地感受到了其中可能存在的數學規律，并對數學方法有所猜測和期待. ）

師：借助excel中的RANDBETWEEN（1，6）函數可以繼續模擬游戲，如表2和表3.

得分均值：0.5029×（-1）+0.3265×（-3）+0.1706×12=0.5648.

得分均值：0.50118×（-1）+0.334×（-3）+0.16482×12=0.47466.

（在大數據時代，利用信息技術處理數據變得尤為必要. 在高中的學習中，應該培養學生使用信息技術的意識和初步能力. ）

師：共模擬了1萬次和10萬次，從現在的數據中你能看到什么？

生：隨著樣本容量的增加，得分均值在逐漸趨近于0.5.

師：需要繼續模擬嗎？

生：不需要，通過統計的方式研究樣本，每次得到的數據可能都不一樣. 我們看到了它的變化趨勢，能否模擬算出0.5已經沒有意義了.

（當模擬數據呈現時，學生似乎看到了黎明的曙光，對游戲蘊含的數學規律了然于心，進而積極主動地參與數學建構，訴諸表達，數學概念的生成水到渠成.）

師：現在你們找到最初計算的理論依據了嗎？

生：理論依據是概率的定義，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率會在概率附近擺動并趨于穩定，所以當試驗次數足夠多時，我們既可以用頻率估計概率，也可以用概率推測頻率.

師：同學們從兩種角度計算了“均值”，它們有什么聯系和區別？

生：概率中的“均值”是理論基礎，結論具有確定性;而統計中的“均值”是實際應用，結論具有隨機性.

（學生從統計中獲得靈感，產生頓悟，最終回到問題本身“均值”，形成一般性的認識. ）

師：同學們通過自己的努力發現了一個新的概念，你們能給它取個名字嗎？

生：模仿統計，我們可以把它稱為離散型隨機變量X的均值.

師：很好，離散型隨機變量X的均值又稱數學期望，記為E（X）或μ.

師（追問）：為什么又叫“數學期望”？

生1：它反映了我們對未來每局游戲得分的期望.

生2：統計中的均值著眼于“過去”，而概率中的數學期望著眼于“未來”.

師：“數學期望”來源于17世紀一個賭徒的故事，雖然游戲模型不一樣，但思維方式類似. 請同學們課后閱讀相關文獻，了解這段歷史. （滲透數學文化）

生：上面三個賭博游戲的數學期望都是0.5，但給人的感覺不一樣？

師：同學們的數學感覺很不錯，你們能具體說說哪里不一樣嗎？

生：從游戲1到游戲3，“得分差距”在逐漸加大.

師：均值相同的情況下，“得分差距”可以用哪些量來刻畫呢？

生：（恍然大悟）我們可以用方差、標準差刻畫隨機變量的穩定性.

師：很好，請同學們規范表達自己新發現的概念. （過程略）

現象4：現有兩顆骰子，如果丟出的點數之和小于6時，你將扣除1分;大于6時，你將扣除2分;等于6時，你將獲得10分. 你怎樣看待這個游戲？

（重在讓學生自己理清剛形成的概念，把概念應用到新的、復雜的情境中.）

展示學生成果：

得分均值：×（-1）+×（-2）+×10=-.

師：你能自己構建一個游戲嗎？

（以概率分布為原型，均值為參考，可以構建相似的游戲模型，實現理論與實踐的結合. ）

[?]現象教學重在“生成”

“數學期望”是個很抽象的概念，所以在歷史上產生很晚，比方程、虛數晚，甚至比函數都晚. 對于抽象概念的教學，很容易走上從知識到知識的道路，但那僅僅讓學生多了一個知識，而沒有促進他們數學素養的提高. 現象教學則不同，學生親身經歷數據的產生、收集、整理、分析的全過程，在其中體會邏輯，通過自主探究和合作學習的方式，學生很自然地生成了“數學期望”的概念. 在這里，數學期望已經不僅僅是一個公式，而有其真實的含義. 在整個學習過程中，學生積極思考，經歷探索的緊張，享受問題解決的喜悅，他們以自己的方式完成了對現實問題的認識，并形成了數學形式的表達，這就是概念的自然生成. 在一個易受外界影響的年齡段，這樣的經歷會促使學生形成質疑的習慣、探究的習慣以及數學表達的習慣，對他們的思想和性格留下深刻的影響. 同時，教師在整個過程中作為合作者，不露痕跡地引導學生回顧了舊知識，初步建立了統計與概率的聯系，并在關鍵點上加以引導和規范，使學生形成了一個具有層次性、靈活性、生長性的概念網絡. 比起“老師講學生聽、老師命令學生執行”來，這種現象教學的形式更能調動學生的積極性，促進學生的深度思考，提高學生的核心素養.

整個教學以“學生思維”為主線，起于學生對“現實問題”的思考，成于“概率頻率互相聯系”的思路，終于“數學理論建構”，又回到“理論與實踐的結合”. 結果是，學生頭腦里有了現實世界的例證、有了從現實到數學的建構過程、有了真實有效的思考，還有了完整形態的數學知識. 他們既對期望、方差、標準差的計算了然于心，又始終明了這些概念的實際背景與意義，可以說他們學到了真實的、鮮活的數學. 尤其令人高興的是，學生的問題意識、思維能力和創新精神得到了激發，每個學生都實現了自身在數學上的發展，并且不同學生得到了不同的發展，思維活躍的學生能夠利用所學建構屬于自己的數學模型，展現自己在探索世界時的自我成長.

[?]結語

學習并非只是一個接受新知的過程，更是一個主動抽象、建構生成的過程，每一次學習都應該是一次創造. 現象教學提供自然鮮活的數學材料，喚起人的好奇心，學生在親身經歷中生成數學知識，提煉數學方法，領會數學思想. 長此以往，學生自身的意識和觀念也會轉變，他們能夠更注重應用數學的眼光和思維去解析現實問題，形成用數學觀念理解世界的情感態度，并能用數學語言準確地表達自己的理解，讓數學成為認識和改造世界的工具，從對現象的思考逐步轉向對世界的表達.

現象教學強調回歸問題本身，讓學生面對真實現象展開真實的思考，在方法上它不排斥其他教學法，只是在素材的呈現和處理上體現自己的獨特性. 現象教學視野下，學生分工合作，優勢互補，在動手中思維，在爭辯中明理，在傾聽中成長，數學概念自然流暢生成，學生生動活潑有個性地發展核心素養.