“線性回歸方程”教學(xué)設(shè)計(jì)

朱婷婷

摘? 要：運(yùn)用線性回歸方程分析數(shù)據(jù)是一種對(duì)兩個(gè)數(shù)值變量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的方法. 本節(jié)課通過(guò)新冠肺炎疫情真實(shí)情境，讓學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題，引領(lǐng)建立模型、寫出“恰當(dāng)”的直線方程和探究“恰當(dāng)”的直線標(biāo)準(zhǔn)三個(gè)課堂活動(dòng)，通過(guò)獨(dú)立思考、合作探究、技術(shù)輔助，引導(dǎo)學(xué)生逐步獲得線性回歸方程的概念及經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析過(guò)程，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：線性回歸;單元教學(xué);數(shù)學(xué)建模;數(shù)據(jù)分析;自主探究

一、教學(xué)內(nèi)容解析

統(tǒng)計(jì)學(xué)是研究收集、整理、分析數(shù)據(jù)的科學(xué)，它可以為人們制定決策提供依據(jù). 從義務(wù)教育階段來(lái)看，統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)從小學(xué)到初中都有涉及，在每個(gè)階段學(xué)生都會(huì)學(xué)習(xí)收集、整理、描述和分析等處理數(shù)據(jù)的基本方法，教學(xué)目標(biāo)隨著學(xué)段的升高逐漸提升. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求，在義務(wù)教育階段已學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)具體實(shí)例，進(jìn)一步學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí).

蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》選擇性必修第二冊(cè)第9章“統(tǒng)計(jì)”是在前面所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合典型案例給出幾種常用的統(tǒng)計(jì)方法，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的基本思想及其初步應(yīng)用. 本節(jié)課“線性回歸方程”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了變量的相關(guān)性的基礎(chǔ)上，探究了線性回歸方程，并運(yùn)用線性回歸方程對(duì)相關(guān)量進(jìn)行估計(jì)，為利用線性回歸方程處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）了解線性回歸模型的含義、模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義、最小二乘原理，掌握線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件.

（2）學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析及解決問(wèn)題的能力.

（3）通過(guò)對(duì)生活中典型案例的處理，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析過(guò)程，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，最終達(dá)到立德樹(shù)人的目的.

三、學(xué)情分析

本節(jié)課的授課對(duì)象是江蘇省四星級(jí)重點(diǎn)高中高二學(xué)生，已學(xué)習(xí)過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，面對(duì)新問(wèn)題具有一定的探究能力與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但是學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)觀點(diǎn)的能力仍然不足，對(duì)數(shù)據(jù)分析過(guò)程較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)不夠深刻.

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)數(shù)學(xué)方法刻畫“恰當(dāng)”的直線.

突破策略：以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，小組合作探究，計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).

四、教學(xué)策略分析

以明、暗兩條線貫穿本節(jié)課.

本節(jié)課明線：“線性回歸方程”概念的獲得. 概念的獲得要經(jīng)歷從宏觀到微觀、從感性到理性、從模糊到清晰的過(guò)程. 經(jīng)歷如下四次提煉：選擇模型類別，完成定“形”;基于已有經(jīng)驗(yàn)，以“形”定“數(shù)”;探究“恰當(dāng)”的標(biāo)準(zhǔn)，給典型案例定“數(shù)”;從特殊到一般，獲取線性回歸方程的概念.

本節(jié)課暗線：數(shù)據(jù)分析的過(guò)程與方法，即收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論. 這將是貫穿本節(jié)課始終的統(tǒng)攝性“大觀念”.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

情境：新冠肺炎疫情是全球關(guān)注的熱點(diǎn)，對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析在幫助我們認(rèn)識(shí)及研究疫情的過(guò)程中發(fā)揮了巨大的作用. 例如，通過(guò)表格、餅圖、折線圖我們能直觀了解當(dāng)時(shí)疫情的狀況及一些變化規(guī)律. 鐘南山院士帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)利用當(dāng)時(shí)僅有的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究出疫情發(fā)展趨勢(shì)模型，對(duì)疫情的發(fā)展做出了精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)，為做出科學(xué)的決策奠定了基礎(chǔ). 事實(shí)上，干擾數(shù)據(jù)分析的因素非常多，目前我們還處理不了復(fù)雜的情況，所以就先來(lái)研究疫情剛發(fā)生時(shí)某省衛(wèi)生健康委員會(huì)網(wǎng)站公布的一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)，如表1所示.

問(wèn)題1：根據(jù)表1中的信息，我們能做些什么？

師生活動(dòng)：在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，明確了探究學(xué)習(xí)的任務(wù)——預(yù)測(cè).

【設(shè)計(jì)意圖】立足于統(tǒng)計(jì)大單元，通過(guò)疫情數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，凸顯數(shù)據(jù)分析在幫助我們認(rèn)識(shí)及研究疫情發(fā)展過(guò)程中發(fā)揮的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界. 教師引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)數(shù)據(jù)分析的作用——客觀反映當(dāng)前事實(shí)（為現(xiàn)在用）和預(yù)測(cè)預(yù)警（為將來(lái)用），感受學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義和價(jià)值. 展示鐘南山團(tuán)隊(duì)的疫情趨勢(shì)模型，意在從情感上讓學(xué)生感受到中國(guó)科技的進(jìn)步及中國(guó)在這場(chǎng)“抗疫”中的巨大貢獻(xiàn)，以增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感. 最后提出問(wèn)題：根據(jù)信息，我們能做些什么？啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考接下來(lái)的研究方向，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題的能力.

2. 組織活動(dòng)，探尋方案

任務(wù)：給出尋找規(guī)律、建立模型的方案.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流，最后教師同屏投影學(xué)生給出的不同方案，讓學(xué)生通過(guò)思辨，明確用哪一個(gè)方案來(lái)預(yù)測(cè)更合理.

方案1：列表，找規(guī)律，預(yù)測(cè).

方案2：散點(diǎn)圖，畫光滑曲線，預(yù)測(cè).

方案3：散點(diǎn)圖，畫直線，預(yù)測(cè).

小結(jié)：列表、畫散點(diǎn)圖都是統(tǒng)計(jì)學(xué)上建立模型的常用方法. 首先，在感覺(jué)上這組數(shù)據(jù)更多分布在一條直線附近;其次，通過(guò)計(jì)算得出這組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)[r≈0.98]，說(shuō)明它們有著很強(qiáng)的線性相關(guān)性，所以今天就從線性模型去研究.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，本環(huán)節(jié)完成了本節(jié)課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第一次概念提煉：選擇統(tǒng)計(jì)模型類別，完成定“形”. 同時(shí)，完成本節(jié)課暗線（數(shù)據(jù)分析大觀念）中的“整理數(shù)據(jù)”“提取信息”這兩步. 其次，情境中給出的是文字信息，學(xué)生需要經(jīng)歷將文字信息數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要過(guò)程.

3. 啟發(fā)引導(dǎo)，合作探究

問(wèn)題2：能否寫出直線方程，并說(shuō)明理由？

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流. 教師加入學(xué)生的小組討論并給予指導(dǎo)，同時(shí)讓小組代表上臺(tái)板書方案，將結(jié)果輸入GeoGebra軟件，利用計(jì)算機(jī)繪制直線圖象.

方案1：猜想.

方案2：找兩個(gè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)式給出直線方程.

方案3：計(jì)算已知6個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的平均數(shù)，即[x]和[y，] 再計(jì)算每相鄰兩點(diǎn)所成折線斜率的平均數(shù)[k，] 直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)[x，y]，且斜率為[k，] 給出直線方程.

小結(jié)：對(duì)于選用的直線[y=a+bx]，不同的方案得出不同的[a]和[b]，從而得到不同的直線方程. 但是，不管選擇哪一條直線，6個(gè)點(diǎn)并不都在給出的直線上. 也就是說(shuō)，通過(guò)直線方程算出來(lái)的[y]值與實(shí)際值會(huì)不一致，存在誤差，我們稱這個(gè)誤差為隨機(jī)誤差，記為[ε]. 這樣，我們把[x]和[y]兩者之間的關(guān)系表示為[y=a+bx+ε]，我們稱它為線性回歸模型. 每一條直線都存在誤差，哪一條直線更恰當(dāng)呢？

【設(shè)計(jì)意圖】首先，本環(huán)節(jié)完成了本節(jié)課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第二次概念提煉：利用已有經(jīng)驗(yàn)，嘗試給“形”定“數(shù)”，同時(shí)完成了本節(jié)課暗線（數(shù)據(jù)分析大觀念）中的“構(gòu)建模型”. 其次，讓學(xué)生經(jīng)歷寫出直線方程并說(shuō)理的過(guò)程，并發(fā)現(xiàn)每一條直線都不能使所有的點(diǎn)全在直線上，感受到用現(xiàn)有知識(shí)無(wú)法解決所遇到的新問(wèn)題，從而體會(huì)到尋找新的模型的必要性. 為提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象及邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)服務(wù).

問(wèn)題3：直線“恰當(dāng)”的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生自由發(fā)言，教師板書學(xué)生的方案，最后學(xué)生逐個(gè)思辨方案是否合理.

方案5：使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.

方案6：在散點(diǎn)圖中多取幾對(duì)點(diǎn)，確定出幾條直線的方程，再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成所求直線的斜率和截距.

小結(jié)：經(jīng)過(guò)合作探究、討論交流后選定方案4. 因?yàn)榉桨?既科學(xué)合理，又具有較強(qiáng)的可操作性. 用方案4檢驗(yàn)上一環(huán)節(jié)討論所得的三條直線哪一條更恰當(dāng)，再用計(jì)算機(jī)加以驗(yàn)證，然后對(duì)所獲取的知識(shí)再優(yōu)化，即追問(wèn)：你覺(jué)得還有沒(méi)有比這條直線更恰當(dāng)?shù)闹本€？

【設(shè)計(jì)意圖】首先，本環(huán)節(jié)為本節(jié)課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第三次概念提煉：探究“恰當(dāng)”標(biāo)準(zhǔn)，給典型案例定“數(shù)”做好鋪墊. 問(wèn)題“你覺(jué)得還有沒(méi)有比這條直線更恰當(dāng)?shù)闹本€？”促使學(xué)生思考在這幾條直線之外更一般的直線方程，即對(duì)所獲取的知識(shí)再優(yōu)化. 其次，通過(guò)交流和對(duì)各種“恰當(dāng)”標(biāo)準(zhǔn)的闡述，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界;通過(guò)對(duì)各種方案的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的批判思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

4. 推理論證，構(gòu)建概念

問(wèn)題4：怎樣建立恰當(dāng)直線的方程？

師生活動(dòng)：解決由具體6對(duì)數(shù)據(jù)得到的二元二次函數(shù)求最小值的問(wèn)題，并拓展到[n]對(duì)數(shù)據(jù)的一般情況.

小結(jié)：直線[y=a+bx]稱為這[n]對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程. 其中，[a]稱為回歸截距，[b]稱為回歸系數(shù)，[y]稱為回歸值.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，本環(huán)節(jié)完成了本節(jié)課明線（線性回歸方程概念的獲得）的第四次概念提煉：從特殊到一般，獲得線性回歸方程的概念. 同時(shí)，完成了本節(jié)課暗線（數(shù)據(jù)分析大觀念）中的“進(jìn)行推斷”. 其次，通過(guò)解決具體的二元二次函數(shù)求最小值的問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 最后，從具體情境到一般結(jié)論，滲透從特殊到一般的思想方法.

5. 回歸情境，解決問(wèn)題

追問(wèn)1：現(xiàn)在，根據(jù)所得線性回歸方程，我們還能做些什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生主動(dòng)明確接下來(lái)的研究任務(wù)并根據(jù)線性回歸方程預(yù)測(cè)出2020年1月28日新增確診人數(shù)為26例，2020年1月29日新增確診人數(shù)為30例.

教師展示疫情數(shù)據(jù)，如表2所示，學(xué)生確認(rèn)預(yù)測(cè)基本符合實(shí)際情況.

小結(jié)：本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生完成得很好，預(yù)測(cè)得到的數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)據(jù)誤差相對(duì)較小. 事實(shí)上，在現(xiàn)實(shí)生活中，線性回歸模型只是最基礎(chǔ)的一種模型. 在剛發(fā)現(xiàn)疫情的前十幾天，我們今天研究的這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，確實(shí)可以用線性回歸方程來(lái)研究. 但是對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的更多情況，還會(huì)選擇指數(shù)函數(shù)模型或多項(xiàng)式函數(shù)模型等去研究. 而且受各種因素的影響，實(shí)際情形會(huì)變得更加復(fù)雜，如下圖所示.

追問(wèn)2：同學(xué)們想一想，為何會(huì)下降直至歸0？

小結(jié)：如果沒(méi)有人干預(yù)，不采取科學(xué)的防控措施，假設(shè)按照初始態(tài)勢(shì)發(fā)展下去，到了今天，每日新增確診人數(shù)又是多少呢？事實(shí)上，疫情得到了有效的控制，這得益于全國(guó)人民的積極努力與強(qiáng)大專業(yè)知識(shí)的支持. 同學(xué)們要學(xué)好數(shù)學(xué)，將來(lái)運(yùn)用所學(xué)，使生活更美好，讓祖國(guó)更強(qiáng)大.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，教師引導(dǎo)學(xué)生鞏固所學(xué)解決了上課開(kāi)始提出的問(wèn)題，在體會(huì)成功的同時(shí)了解隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因，明白線性回歸方程只是一種基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)模型，在現(xiàn)實(shí)生活中，受各種因素的影響，統(tǒng)計(jì)模型相對(duì)復(fù)雜，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異. 其次，本環(huán)節(jié)完成本節(jié)課暗線（數(shù)據(jù)分析大觀念）中的“獲取結(jié)論”. 最后，本環(huán)節(jié)體現(xiàn)了德育在數(shù)學(xué)學(xué)科中的滲透，即上升到立德樹(shù)人的高度：同學(xué)們要學(xué)好數(shù)學(xué)，將來(lái)運(yùn)用所學(xué)，使生活更美好，讓祖國(guó)更強(qiáng)大！

6. 總結(jié)提升，深化認(rèn)知

課堂小結(jié)：今天我們研究了什么？我們是怎么研究的？我們還能研究什么？

實(shí)習(xí)作業(yè)：選擇適當(dāng)?shù)恼n題，進(jìn)行變量的相關(guān)性研究.

小結(jié)：數(shù)據(jù)分析的過(guò)程包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進(jìn)行推斷、獲得結(jié)論. 對(duì)比科學(xué)家的研究過(guò)程，我們今天還有兩個(gè)環(huán)節(jié)需要進(jìn)一步完善，即收集數(shù)據(jù)和進(jìn)行推斷. 因?yàn)閷?shí)踐是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，認(rèn)識(shí)來(lái)源于實(shí)踐，所以如何收集數(shù)據(jù)是一個(gè)至關(guān)重要的話題. 例如，全國(guó)人口普查，第一步收集數(shù)據(jù)就要全面科學(xué). 對(duì)于本節(jié)課我們所得的一元線性回歸方程的合理程度，我們沒(méi)有進(jìn)行推斷，這就是后繼將要學(xué)習(xí)的知識(shí). 最后，利用所學(xué)，課后完成實(shí)習(xí)作業(yè)，即選擇適當(dāng)課題，進(jìn)行變量的相關(guān)性研究.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，課堂小結(jié)的三個(gè)問(wèn)題分別從知識(shí)、方法及接下來(lái)可以研究的方向依次設(shè)置，層層遞進(jìn)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣及提出新問(wèn)題（明了接下來(lái)的研究方向）的能力. 其次，完善本節(jié)課從特殊事物中揭示一般規(guī)律，即數(shù)據(jù)分析主要過(guò)程及進(jìn)行變量的相關(guān)性研究的一般方法，這個(gè)統(tǒng)攝性“大觀念”，教學(xué)生用哲學(xué)眼光看數(shù)學(xué)問(wèn)題. 最后設(shè)置開(kāi)放性作業(yè)，突出學(xué)生的實(shí)踐操作，以提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.