APOS理論視角下《函數的零點與方程的解》概念教學設計探究

何雪芬

摘 要：通過APOS 理論指出數學概念的獲得要經歷活動、程序、對象、圖式四個階段，為教學提供了理論依據.本文是基于APOS理論下《函數的零點與方程的解》的教學設計，旨在探討如何更有效地促進學生學習數學概念。

關鍵詞：APOS 理論;概念教學;教學設計

一、APOS理論概述

美國數學教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky） 等人提出了APOS理論，它闡述的是：個體在解決所感知的數學問題中獲得數學知識的過程，依序建立了心理活動（Action）、程序（Process）和對象（Object），最后形成了圖式結構（Scheme），取這4個階段英文單詞的首字母，稱其為APOS理論，APOS 理論是對皮亞杰的反思抽象的一種擴展。首先“活動”是個體通過一步一步地外顯性的指令去變換一個客觀的數學對象，以感受數學概念;“程序”階段，是在“活動”被個體熟悉后，內化為一種被稱為“程序”的心理操作，對概念的抽象化和符號化;當個體能夠把“程序”當做一個整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”;而數學概念的“圖式”是指由相應的“活動”、“過程”、“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，它可以用于解決與這個概念相關的問題。

二、基于APOS 理論的教學教學設計

APOS理論是依據數學學科特點建立的教學理論，不僅揭示了學生在學習中構建數學概念的層次，而且為教師的數學教學提供了具體的教學策略。下面以人教版高中必修第一冊《函數的零點與方程的解》的教學設計為例來說明。

（一）活動階段——感知函數零點，從特殊到一般

“活動”是指個體通過一步一步的外顯性指令去變換一個客觀的數學對象，即通過對簡單的一次函數圖象與x軸交點和對應方程的解關系的思考來感受函數零點的定義，從而自然地得到函數零點的定義，對函數零點的判斷有初步的理解，故可教學設計如下：

問1：y=2x-3表示什么？（函數）

問2：這個函數圖象能否畫出？

注：師畫出函數y=2x-3圖象為一直線，與x軸交點坐標為 （3/2，0）

問3：3/2怎么來的？

（令y=0，即2x-3=0，則x=3/2（板書））

師：3/2是方程2x-3=0的解，是函數y=2x-3圖象與x軸交點的橫坐標，也使得函數值為零，我們稱為函數的零點.這就是今天要學的函數的零點與方程的解（點題，板書）

（二）程序階段——形成函數零點的一般化定義

“程序”階段，是在“活動”被個體熟悉后，內化為一種被稱為“程序”的心理操作。即是對零點概念的抽象化，符號化，從特殊的一次函數拓展到一般的函數，真正理解零點的定義，并能對函數零點，函數圖象與x軸交點橫坐標，以及方程的解之間進行轉化，形成類似于“程序”的反應，具體設計如下：

（接上面對零點的理解，可將其一般化）

問1：對于一般的函數f （x），其零點該怎么定義？

定義：對于函數f （x），我們把使f （x）=0的實數x叫做函數y=f （x）的零點。

問2：從函數圖象上怎么描述函數的零點？

師：函數y=f （x）的零點就是方程f （x）=0的實數解，就是函數y=f （x）的圖象與x軸交點的橫坐標。

師：函數零點是使函數值為零的實數x，不是點坐標。判斷一個函數是否存在零點，可轉化為看對應方程的根的情況，也可轉化為函數圖象與x軸交點的情況。三者可相互轉化，零點的個數就是根的個數，也是交點的個數。

問3：方程lnx+2x-6=0是否有根？

分析：方程lnx+2x-6=0為超越方程，學生并不會求解，因而無法直接求方程的根來判斷是否有根，此時考慮利用該方程對應函數是否存在零點以求解.然而函數f （x）=lnx+2x-6其圖像，學生又不會做，只能通過描點作圖的方法進行大致估算，那么有無更優的求解方法呢？

（三）對象階段——深化理解函數零點的判定

當個體能夠把“程序”當做一個整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象”。由此探究函數零點存在的判定，并對定理進行辨析，此時“程序”已經被“壓縮”成一種“對象”，即已要求學生把函數零點當成對象，深化理解函數零點的判定。具體教學設計如下：

問1（探究）：函數y=f （x）在區間[a，b]內是否存在零點？（以曲線代表函數圖象，動手畫一畫，函數必須滿足什么條件才一定會有零點？）

分析：（1）當函數圖象的兩個端點在同側時，即兩個函數值分居x軸同一側（f （a） f （b）>0）能否滿足？

（2）當函數圖象的兩個端點在異側時，即兩個函數值分居x軸上下兩側（ f （a） f （b）<0）能否滿足？

（3）函數有零點，意味著圖象穿過x軸，那么函數圖象能否斷開？

問2：你能否總結一下函數零點存在的條件是什么？

函數零點存在性定理：如果函數y=f （x）在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f （a） f （b）<0，那么，函數y=f （x）在區間[a，b]內有零點，即存在c∈（a，b），使得 f （c）=0，這個c也就是方程f （x）=0的根。

思考：

（1）定義域[a，b]能否改為開區間（a，b]？（不能，如圖1）

（2）開區間（a，b）能否改為[a，b）？（不能，因為零點可在x=0取到，如圖2）

（3）得到的零點是否唯一？（不唯一，如圖3）

（4）有零點一定能推出 f （a） f （b）<0？（不一定，如圖4）

（5）如果f （a） f （b）>0，就沒有零點？（不一定，如圖4）

（四）圖式階段——鞏固函數零點

一個數學概念的“圖式”是指由相應的“活動”、“過程”、“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，它可以用于解決與這個概念相關的問題。故在本節教學設計的最后，以下面例題為例，對所學的零點的概念和零點存在性定理進行鞏固，以期望學生達到“圖式階段”。法一是學生學過的知識，通過化歸與轉化，把一個函數的零點個數轉化為兩個函數交點的個數，學生較易理解。法二是利用函數零點存在性定理判斷零點是否存在，但無法判定零點的個數。由此增加一個條件即函數在該區間是單調的，那么零點唯一。這是對零點存在性定理的補充，更是一種升華。

例 求方程lnx+2x-6=0解的個數

法一：解：∵lnx=6-2x，

∴lnx+2x-6=0解的個數等于函數y=lnx與y=6-2x交點的個數，如圖函數y=lnx與y=6-2x有1個交點，則lnx+2x-6=0有1解。

法二：解：令函數f （x）=lnx+2x-6，

f （2）=ln2+4-6=ln2-2<0，

f （3）=ln3+6-6=ln3>0，

故函數f （x）=lnx+2x-6在（2，3）上有零點，

且函數f （x）在定義域（0，+∞）上是單調遞增函數，

則函數f （x）=lnx+2x-6有唯一零點，故lnx+2x-6=0有唯一解。

（利用計算機可做出f （x）=lnx+2x-6圖象圖）

教師歸納補充：如果函數y=f （x）在區間[a，b]上單調且其函數圖象是連續不斷的一條曲線，并且有f （a） f （b）<0，那么，函數y=f （x）在區間[a，b]內有唯一零點，即存在c∈（a，b），使得f （c）=0，這個c也就是方程f （x）=0的解。

結束語

從數學學習心理角度分析，APOS四個理解數學概念階段是合理的，教學過程是高效的，反映了數學的本質特征，再現學生真實的思維活動。首先，通過活動讓學生感知數學概念;其次是學生經過多次“活動”后進行思考，對數學活動進行抽象化，符號化;其次學生反復利用“程序”是實施活動，就將程序壓縮為“對象”。“圖式階段”是通過一系列鞏固應用，使學生在頭腦中形成綜合的心智結構。通過實際的教學，也驗證了該理論確實能夠有效地促進學生學習數學概念。

參考文獻

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