拓展性學習：基于“1+x”的課程實踐

紀應華

[摘 要]基于“1+x”的課程，通過趣味性拓展、動態性拓展以及文化性拓展，能激發學生研究熱情，提升學生數學認知，深化學生對數學知識技能、思想方法與文化精神的體認。其中，“1”是單一性的，而“x”是多元性的，通過“1+x”可以提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞]小學數學;拓展性學習;課程實踐

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0046-02

近年來，小學數學課程開發正逐步成為數學教學的研究熱點。拓展性課程的實施，摒棄了傳統數學教學“繁難偏舊”的奧數化趨勢，代之而起的是靈動化、多樣化、綜合化的數學學習新樣態。拓展性學習具有趣味性、動態性和文化性等特質。作為教師，可以基于“1+x”的課程實踐視角，引導學生對數學知識、技能、方法和思想等進行有效性拓展。其中，“1”是教材中的基本數學知識，“x”是基于教材又超越教材的拓展性內容。顯然，“1”是單一性的，而“x”是多元性的。富含趣味性、動態性和文化性的拓展性學習，可以提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

一、趣味性拓展：激發研究激情

長期以來，學生的數學學習往往容易出現兩種傾向：一是學習的簡單化傾向，二是學習的繁難化傾向。學習的簡單化傾向主要表現為學生的數學學習主要圍繞教材中的簡單問題展開，往往只是對知識的重復識記與應用;學習的繁難化傾向主要表現為對學習內容過度地、人為地拔高，讓學生覺得數學枯燥，由此喪失數學學習興趣，甚至談“數”色變，畏懼數學、害怕數學。趣味性拓展，就是在學生原有學習認知的基礎上，注入一些學生感興趣的素材、內容，激發學生學習熱情的同時對數學學習進行拓展。

如筆者教學“因數和倍數”（蘇教版教材五年級下冊）之后，安排了一節趣味性拓展課——完美的“完美數”，引導學生觀察、猜想、驗證、質疑、推理等。在活動中，師生一起探究完美數的性質。首先，筆者出示資料：古希臘人認為，如果一個數恰好等于它的所有真因數（不包括它自己的所有因數）的和，那么這個數就是“完美數”（完全數）。

（1） 請從50以內的數中找出兩個完美數，并說明理由。

（2） 請根據下列條件找出完美數：這個完美數是偶數，并且非常接近500。

（3） 拓展完美數的視界：數學家到目前為止還沒有找到奇完美數，只找到了一些偶完美數，比如6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328、2305843008139952128……請認真觀察，并說說這些完美數有什么共同特點。（末位都是6或者28）

（4） 探究完美數的特征：數學家在研究中發現了完美數的一系列特征，比如完美數都可以拆分成若干個相鄰自然數的和。請選擇幾個完美數，將它們拆分成連續的相鄰自然數的和。

（5） 數學家通過研究還發現：所有的偶完全數都可以表達為2的一些連續正整數次方之和，比如6=2?+2?，28=2?+2[3]+2[4]，等等;除了6之外的偶完全數，還可以表示成連續奇數的立方數之和。你知道28可以表示為哪幾個奇數的立方數之和嗎？

美國科普大師馬丁·加德納指出，“喚醒學生的最好辦法是向其提供有吸引力的數學游戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。”學生在探究的過程中感受、體驗到“完美數”的近乎完美的性質，感悟到“完美數”的奇異之美。在研究的過程中，筆者還讓學生借助信息技術查詢資料，從而認識到完美數更多的完美性質。這些性質猶如一顆顆閃亮的珍珠，讓數學學習多了一些趣味，少了一些枯燥和冰冷。

二、動態性拓展：提升數學認知

學生的數學學習過程是一個生動活潑的過程。傳統的數學教學，其拓展與延伸往往是通過減少題目的條件或者增加題目的問題，或者增加學生思考的步驟來實現的。這樣的教學雖能增強學生的解題能力，卻不能讓學生在學習中觸類旁通、舉一反三。教學中，教師應當將教材中的靜態知識動態化，從而讓學生的數學學習更加鮮活。通過動態性拓展，讓學生的數學知識獲得動態生長。

靜態性的數學知識學習中，學生往往會出現感悟膚淺、感悟不完整等現象，由此常常導致深度理解受阻。動態性拓展，往往能夠突出學生數學學習的自主性、能動性、參與性，讓學生對數學知識獲得更深刻的體悟。比如教學“循環小數”（蘇教版教材五年級下冊）這部分內容時，許多教師都會對分數化成小數的內容進行拓展、延伸，諸如怎樣的分數可以化成有限小數？怎樣的分數可以化成純循環小數？怎樣的分數可以化成混循環小數？等等。這樣的教學是一種“規則性”教學，學生往往“知其然，而不知其所以然”。筆者是以探究規律的方式引導學生展開深度學習，讓學生的數學學習過程化、動態化，提升學生的學習力。以下是筆者設計的“無限循環小數可以化成分數嗎？”探究導學案：

[問題]無限循環小數可以化成分數嗎？

[探究]解決復雜的問題要從簡單的情況入手，比如0.2×10=（? ? ?）;0.2=0.222……。

把兩個式子的等號兩邊分別相減，結果如下：

0.2×10-0.2=2.222……-0.222……?0.2×9=2?0.2=[29]

[應用]你看懂了嗎？嘗試將0.7、0.15分別化成分數。

這樣的動態化教學，讓學生對陌生的數學知識的認知由淺入深、由表及里、由此及彼。動態性拓展，不僅有利于調動學生數學學習的積極性，而且有助于幫助學生積累數學基本活動經驗，讓學生展開有深度的數學學習。這種深度，不是結果性的深度，而是過程性的深度。

三、文化性拓展：深化數學體認

拓展性教學不僅要致力于激發學生的數學學習興趣，更應致力于延伸學生的數學視界。在小學數學教材中，拓展性內容往往是以“你知道嗎？”的欄目呈現的。對此，許多教師教學常常只是蜻蜓點水，點到為止，雖然也能讓學生掌握一定的數學文化知識，但并不能讓學生真正感受和體驗到數學文化。數學文化與數學教學內容往往是兩張皮，對于數學文化性拓展內容，學生只是簡單地看一看、聽一聽，是難以體認到知識的文化性和精神性的。作為教師，在進行數學教學的過程中，不僅要進行文化性的鏈接和簡單再現，更要注重文化性的融入。

融入數學文化，能讓學生與數學深度遇見。在數學教學中，教師要引導學生經歷數學知識誕生的過程，使學生感受到知識誕生的文化背景，體悟到知識誕生的文化意義。正如匈牙利著名數學教育家波利亞所說：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識做出更好的判斷。”比如教學“用字母表示數”（蘇教版教材五年級上冊）時，許多教師喜歡在課末引入法國數學家韋達用字母表示數的歷史，以期拓寬學生的數學視界。但這種拓展只是一種文化知識的簡單普及，并不能讓學生深刻感受、體驗到文化的意義和價值。筆者在教學中，循著人類代數符號化的歷程——“文辭階段”“縮寫階段”和“符號階段”，引導學生重踏人類探索“用符號表示數”的歷程，重溫人類思維的進價過程。

[操作]用小棒擺1個三角形、2個三角形、3個三角形……

[思考]小棒根數與三角形個數之間有怎樣的關系？你能用一個式子來表示三角形的個數與小棒根數之間的關系嗎？這里的a可以表示哪些數？

[總結]這里的“a”以及“a×3”表示什么意義？

顯然，用字母表示數，并不是簡單地用字母“代替”數的過程，而是要學生形成一種符號意識，形成一種符號化的能力，并且能進行積極的符號化實踐。波利亞說：“學習數學只有當看到數學的產生、按照數學發展的歷史順序或親自從事數學發現時，才是最好地理解了數學。”通過文化性拓展，學生不僅理解了用字母表示數的規則，更深刻理解了“用符號表示數”的意義和價值。

通過這樣的學習，學生會驚嘆于古代勞動人民的智慧和創造力，感受到數學的歷史和力量。這樣的一種拓展式教學，突出了學生的主體性地位，彰顯了學生數學學習的主動性、參與性，不僅激發了學生的研究熱情，提升了學生的數學認知，更深化了學生對數學文化、精神的體認，進而讓學生的數學核心素養獲得生長。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 潘小福.小學數學教材的專業化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

[2] 陳加倉.小學數學拓展課：教什么，怎么教[M].北京：中國人民大學出版社，2017.

[3] 周立泰.試談數學思維品質的培養[J].運城高等專科學校學報，1999（3）.

[4] 谷尚品.小學數學拓展課案例精選3[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

[5] 洪細苗.小學數學拓展課案例精選4[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

（責編 羅 艷）