拓展性學(xué)習(xí)：基于“1+x”的課程實(shí)踐

紀(jì)應(yīng)華

[摘 要]基于“1+x”的課程，通過趣味性拓展、動(dòng)態(tài)性拓展以及文化性拓展，能激發(fā)學(xué)生研究熱情，提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能、思想方法與文化精神的體認(rèn)。其中，“1”是單一性的，而“x”是多元性的，通過“1+x”可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);拓展性學(xué)習(xí);課程實(shí)踐

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）23-0046-02

近年來，小學(xué)數(shù)學(xué)課程開發(fā)正逐步成為數(shù)學(xué)教學(xué)的研究熱點(diǎn)。拓展性課程的實(shí)施，摒棄了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)“繁難偏舊”的奧數(shù)化趨勢(shì)，代之而起的是靈動(dòng)化、多樣化、綜合化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)新樣態(tài)。拓展性學(xué)習(xí)具有趣味性、動(dòng)態(tài)性和文化性等特質(zhì)。作為教師，可以基于“1+x”的課程實(shí)踐視角，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、方法和思想等進(jìn)行有效性拓展。其中，“1”是教材中的基本數(shù)學(xué)知識(shí)，“x”是基于教材又超越教材的拓展性內(nèi)容。顯然，“1”是單一性的，而“x”是多元性的。富含趣味性、動(dòng)態(tài)性和文化性的拓展性學(xué)習(xí)，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、趣味性拓展：激發(fā)研究激情

長期以來，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往容易出現(xiàn)兩種傾向：一是學(xué)習(xí)的簡單化傾向，二是學(xué)習(xí)的繁難化傾向。學(xué)習(xí)的簡單化傾向主要表現(xiàn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要圍繞教材中的簡單問題展開，往往只是對(duì)知識(shí)的重復(fù)識(shí)記與應(yīng)用;學(xué)習(xí)的繁難化傾向主要表現(xiàn)為對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容過度地、人為地拔高，讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)枯燥，由此喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，甚至談“數(shù)”色變，畏懼?jǐn)?shù)學(xué)、害怕數(shù)學(xué)。趣味性拓展，就是在學(xué)生原有學(xué)習(xí)認(rèn)知的基礎(chǔ)上，注入一些學(xué)生感興趣的素材、內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行拓展。

如筆者教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”（蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)）之后，安排了一節(jié)趣味性拓展課——完美的“完美數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生觀察、猜想、驗(yàn)證、質(zhì)疑、推理等。在活動(dòng)中，師生一起探究完美數(shù)的性質(zhì)。首先，筆者出示資料：古希臘人認(rèn)為，如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的所有真因數(shù)（不包括它自己的所有因數(shù)）的和，那么這個(gè)數(shù)就是“完美數(shù)”（完全數(shù)）。

（1） 請(qǐng)從50以內(nèi)的數(shù)中找出兩個(gè)完美數(shù)，并說明理由。

（2） 請(qǐng)根據(jù)下列條件找出完美數(shù)：這個(gè)完美數(shù)是偶數(shù)，并且非常接近500。

（3） 拓展完美數(shù)的視界：數(shù)學(xué)家到目前為止還沒有找到奇完美數(shù)，只找到了一些偶完美數(shù)，比如6、28、496、8128、33550336、8589869056、137438691328、2305843008139952128……請(qǐng)認(rèn)真觀察，并說說這些完美數(shù)有什么共同特點(diǎn)。（末位都是6或者28）

（4） 探究完美數(shù)的特征：數(shù)學(xué)家在研究中發(fā)現(xiàn)了完美數(shù)的一系列特征，比如完美數(shù)都可以拆分成若干個(gè)相鄰自然數(shù)的和。請(qǐng)選擇幾個(gè)完美數(shù)，將它們拆分成連續(xù)的相鄰自然數(shù)的和。

（5） 數(shù)學(xué)家通過研究還發(fā)現(xiàn)：所有的偶完全數(shù)都可以表達(dá)為2的一些連續(xù)正整數(shù)次方之和，比如6=2?+2?，28=2?+2[3]+2[4]，等等;除了6之外的偶完全數(shù)，還可以表示成連續(xù)奇數(shù)的立方數(shù)之和。你知道28可以表示為哪幾個(gè)奇數(shù)的立方數(shù)之和嗎？

美國科普大師馬丁·加德納指出，“喚醒學(xué)生的最好辦法是向其提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲、智力題、魔術(shù)、笑話、悖論、打油詩或那些呆板的教師認(rèn)為無意義而避開的其他東西?！睂W(xué)生在探究的過程中感受、體驗(yàn)到“完美數(shù)”的近乎完美的性質(zhì)，感悟到“完美數(shù)”的奇異之美。在研究的過程中，筆者還讓學(xué)生借助信息技術(shù)查詢資料，從而認(rèn)識(shí)到完美數(shù)更多的完美性質(zhì)。這些性質(zhì)猶如一顆顆閃亮的珍珠，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多了一些趣味，少了一些枯燥和冰冷。

二、動(dòng)態(tài)性拓展：提升數(shù)學(xué)認(rèn)知

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)生動(dòng)活潑的過程。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，其拓展與延伸往往是通過減少題目的條件或者增加題目的問題，或者增加學(xué)生思考的步驟來實(shí)現(xiàn)的。這樣的教學(xué)雖能增強(qiáng)學(xué)生的解題能力，卻不能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中觸類旁通、舉一反三。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將教材中的靜態(tài)知識(shí)動(dòng)態(tài)化，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加鮮活。通過動(dòng)態(tài)性拓展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)獲得動(dòng)態(tài)生長。

靜態(tài)性的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)感悟膚淺、感悟不完整等現(xiàn)象，由此常常導(dǎo)致深度理解受阻。動(dòng)態(tài)性拓展，往往能夠突出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性、能動(dòng)性、參與性，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)獲得更深刻的體悟。比如教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”（蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容時(shí)，許多教師都會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的內(nèi)容進(jìn)行拓展、延伸，諸如怎樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)？怎樣的分?jǐn)?shù)可以化成純循環(huán)小數(shù)？怎樣的分?jǐn)?shù)可以化成混循環(huán)小數(shù)？等等。這樣的教學(xué)是一種“規(guī)則性”教學(xué)，學(xué)生往往“知其然，而不知其所以然”。筆者是以探究規(guī)律的方式引導(dǎo)學(xué)生展開深度學(xué)習(xí)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程化、動(dòng)態(tài)化，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力。以下是筆者設(shè)計(jì)的“無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)嗎？”探究導(dǎo)學(xué)案：

[問題]無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)嗎？

[探究]解決復(fù)雜的問題要從簡單的情況入手，比如0.2×10=（? ? ?）;0.2=0.222……。

把兩個(gè)式子的等號(hào)兩邊分別相減，結(jié)果如下：

0.2×10-0.2=2.222……-0.222……?0.2×9=2?0.2=[29]

[應(yīng)用]你看懂了嗎？嘗試將0.7、0.15分別化成分?jǐn)?shù)。

這樣的動(dòng)態(tài)化教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)陌生的數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知由淺入深、由表及里、由此及彼。動(dòng)態(tài)性拓展，不僅有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，而且有助于幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生展開有深度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種深度，不是結(jié)果性的深度，而是過程性的深度。

三、文化性拓展：深化數(shù)學(xué)體認(rèn)

拓展性教學(xué)不僅要致力于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，更應(yīng)致力于延伸學(xué)生的數(shù)學(xué)視界。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，拓展性內(nèi)容往往是以“你知道嗎？”的欄目呈現(xiàn)的。對(duì)此，許多教師教學(xué)常常只是蜻蜓點(diǎn)水，點(diǎn)到為止，雖然也能讓學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，但并不能讓學(xué)生真正感受和體驗(yàn)到數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容往往是兩張皮，對(duì)于數(shù)學(xué)文化性拓展內(nèi)容，學(xué)生只是簡單地看一看、聽一聽，是難以體認(rèn)到知識(shí)的文化性和精神性的。作為教師，在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，不僅要進(jìn)行文化性的鏈接和簡單再現(xiàn)，更要注重文化性的融入。

融入數(shù)學(xué)文化，能讓學(xué)生與數(shù)學(xué)深度遇見。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的過程，使學(xué)生感受到知識(shí)誕生的文化背景，體悟到知識(shí)誕生的文化意義。正如匈牙利著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷?！北热缃虒W(xué)“用字母表示數(shù)”（蘇教版教材五年級(jí)上冊(cè)）時(shí)，許多教師喜歡在課末引入法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)用字母表示數(shù)的歷史，以期拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視界。但這種拓展只是一種文化知識(shí)的簡單普及，并不能讓學(xué)生深刻感受、體驗(yàn)到文化的意義和價(jià)值。筆者在教學(xué)中，循著人類代數(shù)符號(hào)化的歷程——“文辭階段”“縮寫階段”和“符號(hào)階段”，引導(dǎo)學(xué)生重踏人類探索“用符號(hào)表示數(shù)”的歷程，重溫人類思維的進(jìn)價(jià)過程。

[操作]用小棒擺1個(gè)三角形、2個(gè)三角形、3個(gè)三角形……

[思考]小棒根數(shù)與三角形個(gè)數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？你能用一個(gè)式子來表示三角形的個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)之間的關(guān)系嗎？這里的a可以表示哪些數(shù)？

[總結(jié)]這里的“a”以及“a×3”表示什么意義？

顯然，用字母表示數(shù)，并不是簡單地用字母“代替”數(shù)的過程，而是要學(xué)生形成一種符號(hào)意識(shí)，形成一種符號(hào)化的能力，并且能進(jìn)行積極的符號(hào)化實(shí)踐。波利亞說：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有當(dāng)看到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、按照數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史順序或親自從事數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)，才是最好地理解了數(shù)學(xué)?！蓖ㄟ^文化性拓展，學(xué)生不僅理解了用字母表示數(shù)的規(guī)則，更深刻理解了“用符號(hào)表示數(shù)”的意義和價(jià)值。

通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)驚嘆于古代勞動(dòng)人民的智慧和創(chuàng)造力，感受到數(shù)學(xué)的歷史和力量。這樣的一種拓展式教學(xué)，突出了學(xué)生的主體性地位，彰顯了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、參與性，不僅激發(fā)了學(xué)生的研究熱情，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知，更深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化、精神的體認(rèn)，進(jìn)而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得生長。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 潘小福.小學(xué)數(shù)學(xué)教材的專業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

[2] 陳加倉.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課：教什么，怎么教[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2017.

[3] 周立泰.試談數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].運(yùn)城高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，1999（3）.

[4] 谷尚品.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課案例精選3[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

[5] 洪細(xì)苗.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課案例精選4[M].杭州：浙江教育出版社，2019.

（責(zé)編 羅 艷）