讓教學扎實而豐厚

蔣徐巍

【摘 ? 要】關于“平行四邊形面積公式”的教學，容易出現以“得出面積公式”取代“讓學習發(fā)生”的情況，導致這一內容的教學窄化。鑒于此，提出三點建議：提升學生對圖形的敏感性，重視對轉化思想方法的感悟與掌握，提升學生對知識的結構性認識，從而讓教學扎實而豐厚。

【關鍵詞】平行四邊形面積公式;對圖形的敏感性;轉化;結構性認識

“平行四邊形面積公式”是公開課的熱門選題。究其原因，可能是：其一，學生有“鄰邊×鄰邊”的“迷思”，作為“底×高”的對照，可以讓教學有一種“糾錯”的邏輯力量，能凸顯教師教學的成效;其二，可以安排“剪、拼、折”等操作活動，體現讓學生經歷探究過程的理念;其三，可以讓學生基于不同的作品進行說理，體現“學為中心”“以生為本”的教學理念;其四，可以配合精彩的課件，展示各種將平行四邊形轉化為長方形的方式，體現“重視數學思想方法（轉化）”的教學理念;其五，板書中，“長×寬”對應“底×高”，有一種邏輯的力量和形式的美感。

這堂課，如果能將探究落到實處，讓過程扎實而豐厚，那自然可以做到觀賞性和思想性齊飛，且讓學生真實受益。然而，在實踐中經常看到操作很熱鬧，但在總結公式時會以一名或幾名學生的正確操作代替所有學生的操作，以部分學生的理解作為所有學生的理解，以教師嚴密、精準的提示彌補學生可能的疏漏……這就使“得出面積公式”取代“讓學習發(fā)生”的目標以及本應具有寬廣教學空間和很高思維價值的內容窄化了。因此，基于現實教學中的種種問題，嘗試提出幾條教學建議，以期對教學實踐有一二裨益。

建議一：提升學生對圖形的敏感性

這里提出所謂的“對圖形的敏感性”，是因為教學中常常看到這樣的現象：（1）學生不知道為什么要剪（既然教室里準備了剪刀，那就是一種強暗示，肯定會涉及剪的操作），以及如何剪才能成功地轉化為長方形;（2）教學中，教師對不成功的剪法、折法、畫法會選擇性地忽略，對成功的剪法常常不加總結與追問。

其實，要滲透“轉化”的思想方法，需要讓學生感知轉化的方向，且提升轉化的成功率，即注意以此內容培養(yǎng)學生轉化的意識與能力。在這樣的視野下，學生對圖形特征有感知，且知道需要根據圖形特征及不同圖形（本課中是平行四邊形和長方形）的聯(lián)系尋找轉化的突破口。

教學設想如下：

1.找到學生剪成功的幾種不同方式（左邊剪開、右邊剪開、居中剪開），追問：“有什么共同點？”“為什么這樣剪能成功？”最后歸結為都是沿著高剪。為什么要沿著高剪？因為要創(chuàng)造直角才能轉化為長方形，而畫高或剪出高能產生直角。

2.以沿著上下對邊的高剪開的材料為討論對象，追問：“只能在這個位置剪嗎？”歸結為有無數個位置可以剪，但都是高（課件可以移動高），再次強化找直角。

3.不常出現的資源，一是沿著平行四邊形左右兩條斜邊的中點畫高，剪兩個小的直角三角形下來拼接（可理解為旋轉上去，如圖1）;二是用折的方式，折成一個一半大小的長方形（如圖2）。

這兩種資源如果教學現場沒有，教師可以直接給出，強化其實也是找高，都是為了創(chuàng)造直角，這樣才能轉化成長方形。當然，這里要點出：中點很特別！

這樣教學，有以下特點：一是讓這堂課為后面的三角形、梯形面積公式的推導做好經驗鋪墊，后面的圖形也要轉化成已經學過的有公式的圖形。雖然兩個三角形或梯形一拼就成為平行四邊形，但單個圖形要轉化成長方形時，依舊要關注圖形特殊的點，找高、構造直角。二是中學幾何學習時，作輔助線是重要的策略，而作輔助線常常要從中點、垂線去考慮，這里也算是為后續(xù)學習略做鋪墊。三是這里強調高、直角、中點，其實也是前期認識圖形經驗的延伸。因此，在前期圖形認識的課中，要注意培養(yǎng)學生從“元素+數量”的角度去認識圖形，將圖形進行分類。這堂課的教學，有些經驗需要埋在前面——課，不應該是孤立的，而應該是前后勾連、互相成全的。

建議二：對轉化思想方法的感悟與掌握

在解決具體問題且需要強調操作性程序時，我們稱“轉化”為“方法”;在提煉不同轉化方法的共性以及描述轉化方法背后的道理時，我們稱“轉化”為“思想”;在具體的上下文語境中，為了兼顧方法、思想都有的特點，我們會將之泛稱為轉化的思想方法。當然，這也是因為這里的轉化思想不能完全脫離轉化的具體方法而獨立存在。

需要注意的是，轉化是有方向性、層次性的。前面的建議一，其實也是在講讓學生感受到轉化是有章可循、有法可依的，即是有“章法”的。

那么，怎樣讓學生感受轉化的“方向性”呢？教學實踐層面可以有不同的方法。

1.單元整體的視角。在沒有學長方形面積公式前，將正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形同時呈現，然后追問：你覺得學習不同圖形的面積公式，可以從哪個圖形入手？為什么？

這樣提問的目的是讓學生整體觀察圖形特征，感受面積公式可能的聯(lián)系。雖然學生的反應是未知的，但這樣提問本身就暗示了一種思維角度。等所有圖形的面積學完之后，在復習課階段，有心的教師可以做這樣一個溝通：之前我們以為只能從某某圖形入手，其實所有圖形的面積公式都是可以“定于一”的，即長方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形公式可以任意互化（圓形分隔成奇數片，類梯形），可以選一個圖形公式（最容易想到的是梯形公式）統(tǒng)整其他公式——驀然回首，原來可以從任一圖形入手。

2.非單元整體的視角。可以在課始追問：你覺得平行四邊形的面積可能會怎么算？怎么求？這里，教師需要提前對某些圖形有哪些“操作”進行鋪墊，如割、補、折、比、量、翻轉、旋轉等。

3.如果上述兩點都沒有，那么教師可以進行以下追問：（1）呈現學生不同割補的作品后詢問：什么變了？什么沒變？形狀變了，面積不變。面積不變是因為剪下來的三角形經歷的是旋轉、平移這樣的“剛體運動”，以及“一多一少”的“出入相補”。（2）在得出面積公式后，哪怕教師已經畫了兩個“長”到“底”、“寬”到“高”的箭頭，也要追問：什么變了？什么沒變？因為轉化是要基于不變的東西的。

另外，有教師在課堂上這樣提問：平行四邊形為什么要轉化成長方形，不轉化成圓形、三角形、梯形？學生的回答非常棒，能回答出如果知道三角形面積怎么算，平行四邊形轉化成三角形是可以的，因為能轉化;但學生普遍認為圓形不行，因為沒有直線。

接下來再說說轉化的“層次性”。先舉一個類比的例子：由具體現實素材到“單價×數量=總價，速度×時間=路程”是抽象;將“單價×數量=總價，速度×時間=路程”全部看成“每份數×份數=總數”是抽象;進一步，這些都是乘法模型“幾個幾”也是抽象。可見，抽象是可以有層次的！

同樣，這堂課將平行四邊形轉化為長方形是實現了轉化，但如果把轉化進一步抽象為“單位面積的累加”，會如何呢？在有的課堂中，教師會將探究用的平行四邊形紙片和透明格子圖結合，或者把平行四邊形畫在格子圖上，以佐證公式的正確，而不再提“單位面積的累加”。其實，“面積就是一個數”，即定義單位面積，再以單位面積去度量其他面積，得到一個數。因為有十進制的存在，單位面積又可以以10n的方式擴大或縮小（當然，長度可以是無理數）。

所以，當教師有意識地將轉化抽象到更高層次時，在前面教學長方形面積公式中可以這么呈現：S=長×寬×1，“1”代表一個面積單位。在平行四邊形面積公式這堂課中，可以再次強調其實還是在求有幾個面積單位。之后，就可以提供這樣的課后作業(yè)了：呈現三角形、梯形、圓形，你能用剪、拼、折、畫等方式，把它們轉化成方便計算有多少個單位面積的圖形嗎？（不給數據，沒有計算，也不用推導出公式）因為單位面積是正方形，學生照樣也需要去找高，去構造直角（圓先要找到直邊）。

當把平行四邊形轉化的終點落在用乘法方式求出有多少個面積單位后，再讓學生操作三角形、梯形、圓形的作業(yè)，這樣后續(xù)的課就不用另起爐灶，且有可能一堂課把三角形、梯形（甚至加上圓形）的面積公式一并解決。因為總的公式其實都是用“長×寬”（底×高）求出有多少個面積單位，圖形形狀不同，根據等積變形和圖形元素與數量，對面積公式進行調整。

這樣教學，“轉化”的抽象度更高，同時把“平行四邊形面積公式”的教學往“度量”的意義上去靠。

建議三：提升學生對知識的結構性認識

數學知識是有結構的，也就是各部分之間并不是零散的、沖突的，而是符合數學知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯，是和諧的、自洽的。人的認知也是有結構的，舊概念“同化”新概念，或者舊概念因為新概念的引入而發(fā)生“順應”。當學生能認識到知識之間的結構時，也就能在認知中更好地對知識進行聯(lián)系和遷移。

然而，數學教學中常常存在這樣的現象：學生學了這個知識，并不知道后面會學什么知識，也不去反思這個知識和前面學的哪個知識有聯(lián)系。數學知識有其內在的生長性。比如，乘法口訣是“一位數×一位數”，而“數”還有兩位數、三位數……所以，表內乘法之后很有可能學“兩位數×一位數”。又如，整數中有加、減、乘、除四則運算，所以猜測分數、小數也會有這樣的四則運算;加法、乘法有運算律，所以猜測減法、除法也有相應的運算律——哪怕最后猜測是錯的，思考方式卻是結構化的。

所以，平行四邊形一課，如前所述，在沒有學面積公式之前就追問可能是怎樣來求，其實也是讓學生感知不同面積公式之間的邏輯關系，即不同面積公式整體的可能關系。在教了“平行四邊形面積公式”之后，也可以追問：“接下來，你覺得應該學哪個圖形的面積，為什么？”如果學生認為應該學梯形，因為兩個梯形可以拼成一個平行四邊形，那是很好的！也就是說，學生能接受的圖形之間關系的邏輯未必等于教材的編排邏輯（教材是接著學三角形）。

此外，這里所說的“結構化認知的缺失”還包括這樣的表現：用一個具體的且常常是典型的平行四邊形（兩邊夾角45°，底邊是鄰邊的2倍長）得到所有的平行四邊形面積公式。而實際上，當我們用字母表示其面積的時候，字母代表的是“不定元”，是無限多的圖形。現實中，有學生在學了面積公式后，面對細長的、非標準的、高在圖形外的平行四邊形，會認為此前的面積公式是不適用的，或者疑惑到底是否適用。更有學生對“高在邊的延長線上”提出了“線段不能延長”的質疑，因為他們覺得和之前所學有矛盾而不認可這個公式。因此，當我們在給出公式的字母表示時，可否強調這里用字母表示公式，代表了對所有的平行四邊形都適用（也可以反問：這個公式適用于所有平行四邊形嗎）？同時，配以課件演示，把典型的平行四邊形拉成各種變式，再次展示面積和底、高的關系。

保持四條邊的長度不變，就可以將典型的平行四邊形放入圖形的結構化演變之中：先把平行四邊形拉得越來越扁，感知高和鄰邊夾角的聯(lián)動關系，以及高和夾角對面積的影響（一般教師只說高對面積的影響）;再把平行四邊形拉得越來越正，直至拉到特殊的位置即長方形位置——此時，“底×高”就是“鄰邊×鄰邊”。這里，也為學生“鄰邊×鄰邊”的直覺猜想找到了一個解釋：當平行四邊形是長方形時，就對了！承認學生直覺的合理性，可以讓學生體會量變引起質變的感覺：長方形正是特殊的平行四邊形，長方形面積公式也是平行四邊形面積公式的特例。作為教師，學過三角函數就知道平行四邊形面積就是S=absinc，c就是鄰邊的夾角，sinc的值就是平行四邊形面積相對于長方形面積的打折程度，sin90°=1，即夾角90°，長方形可以看作平行四邊形的特例。于整體之中認識局部，也是一種結構化。

以上是對于平行四邊形面積公式教學的一些瑣碎想法。在實際教學中，動手操作素材的設計與提供，學生操作資源的選擇，學生說理的組織與教師的反饋等，是學生經歷面積公式形成過程的關鍵。這其中涉及很多教學層面的組織技巧與原則，本文就不贅述了。上述三個建議是希望為各種不同的教學設計提供一些可供借鑒或嵌入的點。

撰寫此文，難免思辨有余而實踐不足，需要讀者辨析、消化與抉擇。但有一點是可以達成共識的：以孤立的方式讓學生迅速得到公式并操練、鞏固，不是教學的最優(yōu)解。在公式唾手可得的時代，如何讓教學內容支持學生真實的學習，讓教學指向更高階的思維、更有遷移性的素養(yǎng)，乃至讓學生在學習中發(fā)生社會性交往，營造一起互相學習、互相成全及教學相長的課堂文化，才是教師要探索的重要主題。

（上海教育出版社 ? 200031）