專題復習 圓中的相似

康聰

【摘要】在幾何教學中建立幾何模型，類比遷移知識，能培養學生在復雜的問題中提煉幾何模型、解決問題的數學意識，能培養學生的數學核心素養.

【關鍵詞】幾何模型;核心素養;圓;相似

數學是研究數量關系和空間形式的科學，作者通過對平面幾何“圓”這一章的教學進行認真總結，發現教師若能從個別習題的指導跳出來，加以科學思維角度的分析、指導，學生可以從復雜的幾何問題中抽象出基本圖形，將更有利于學生今后的學習.

本節是復習課，復習課要根據學生的認知特點和規律開展教學.在復習階段，教師應以鞏固、梳理已學知識、技能為主，促進學生形成知識系統，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力.

圓是初中重要的幾何內容，也是學生學習的難點，為加強學生理解圖形的能力，本文從中考題中總結出以下基本圖形，供讀者參考.

基本圖形一 引例：如圖1，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，連接AC，CB，BD，DA，圖中的相似三角形有.

解析：∵DB=DB，

∴∠DAB=∠DCB.

∵∠APD=∠CPB，

∴△APD∽△CPB.

同理，△APC∽△DPB.

反思：圓內的相似三角形可以解決什么問題呢？

練習1：如圖2，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，BD是⊙O的直徑.已知AC=1，BD=3，求cos∠BPC的值.

圖2

解析：連接BC，∵BD是直徑，∴∠BCD=90°.

由引例可得△APC∽△DPB，CPPB=ACDB=13，

∴在Rt△BCP中，cos∠BPC=CPPB=13.

反思：利用上面的基本圖形條件特殊化由相似比得到線段比，求出三角函數值.

變式：如圖3，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，BD是⊙O的直徑.已知AC=1，BD=3，若C為AB的中點，求PC的長.

解析：∵C為AB的中點，∴AC=BC=1.

∵由練習1可得cos∠BPC=CPPB=13，

在Rt△BCP中，設CP=a，則PB=3a，得a2+1=（3a）2，

解得PC=a= 24.

總結：在圓中借助三角形相似，可以求線段長、三角函數值（也是用線段表示）等，我們解決問題的常用工具為線段的轉化、勾股定理等.

基本圖形二 引例：如圖4，在⊙O中弦DA，BC的延長線交于圓外一點E，圖中的相似三角形有.

解析：∵四邊形DACB是圓內接四邊形，∴∠EAC=∠B.

∵∠AEC=∠BED，

∴△EAC∽△EBD.

練習2：如圖5，在⊙O中，弦DA，BC的延長線交于圓外一點E，BD是⊙O的直徑.若S△EAC=S四邊形ADBC，求cos E的值.

解析：連接DC，∵DB是直徑，∴∠DCB=90°.

由引例可得△EAC∽△EBD，S△EACS△EBD=EC2ED2=12，∴ECED= 22.

在Rt△DCE中，cos∠E=ECED= 22.

變式：如圖6，在⊙O中弦DA，BC的延長線交于圓外一點E，BD是⊙O的直徑.若C為AB的中點，BD=5，BC=3，求四邊形ACBD的面積.

解析：連接DC，∵C為AB的中點，∴∠EDC=∠BDC.

∵DB是直徑，∴∠DCB=90°，∴∠E=∠B，

∴DE=DB=5，EC=EB=3，∴S△EDB=12，

由引例可得△EAC∽△EBD，∴EC2ED2=S△EACS△EBD=925，∴S△EAC=10825，

∴S四邊形ADBC=12-10825=19225.

小結：利用相似，給出相應面積關系，可求三角函數值.反之，給出一定的線段長和條件，可求圖形面積的大小，萬變不離其宗.

基本圖形三 ?引例：如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑.過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，寫出圖中的相似三角形.

解析：連接OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°.

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠PCA=∠OCB.

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，

∴∠PCA=∠PBC.

∵∠CPA=∠BPC，

∴△CPA∽△BPC.

練習3：如圖8，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑.過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，已知PC=4，tan∠PCA=12.

（1）求證：∠PCA=∠ABC;

（2）求⊙O的半徑.

解析：探究問題（2）.

∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.

在Rt△ABC中，tan∠B=AC[]BC.

∵∠B=∠PCA，∴tan∠B=tan∠PCA=1[]2=AC[]BC.

由引例可得△CPA∽△BPC，得PAPC=PCPB=ACCB，∴PA4=4PB=12，∴PA=2，PB=8，∴AB=6，r=3.

反思：題中只有一個線段長條件PC=4，若求半徑r，僅有tan∠PCA=12的條件是不夠的.挖掘題目中的隱含條件△CPA∽△BPC，可將∠PCA轉化成∠PBC，借助直角三角形，得線段比ACCB=12，再次利用相似，得到相似對應邊連等式，PAPC=PCPB=ACCB，從而求出半徑長.

圖9變式：如圖9，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑.過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，已知AB=10，tan∠PCA=34，求PA的長.

解析：由△CPA∽△BPC，得PAPC=PCPB=ACCB=34，

∵AB=10，∴PAPC=PCPA+10=34，得4PA=3PC，4PC=3PA+30，求得PA=907.

圓的學習是學生學習強度的分水嶺，主要看學生在學習幾何圖形時能否找到突破口把未知轉化成已知，體現了數學的價值觀念.數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養.

解題的關鍵是找到題中的線索，利用基本圖形所對應的基本結論，打通思路，使解題方法“水到渠成”，這里的“水”是指特征條件，“渠”就是指基本圖形，審視到“水”，就會聯想到“渠”，從而達到“水到渠成”的效果.

一個幾何綜合題的圖形包含多個基本圖形或基本圖形的一部分元素，如果從中提煉基本圖形，或補充、構建完整的基本圖形，解題效率可大大提高.