以史明智，以史育人

王東薪

摘要：數學是一門有著幾千年歷史的古老學科。數學史中不僅蘊含著人類智慧的結晶，也閃耀著人類思想的光芒。因此，在小學數學教學中，教師應本著“以史明智、以史育人”的原則，通過在單元教學中融入數學史的教學，對教學目標、教學過程、數學文化、數學思想進行統整和滲透，在單元整體的視角下，進行數學史的融入，既注重對課程標準和教材的精準剖析，又凸顯教學過程和教學方法的難點突破，既重視學生知識和技能的培養，又關注學生思維習慣、學習能力、學科德育的同步發展，從而真正提升學生的核心素養。

關鍵詞：單元統整教學;數學史;融入

近年來，關于數學史的研究取得了顯著的成果，人們也越來越認識到數學史在提高數學教學效率方面發揮著無可替代的作用。基于此，本文以小學數學單元統整教學為例，嘗試通過“教學目標的統整、教學過程的設計、數學文化的融入、數學思想的滲透”的途徑，探索數學史在小學數學教學中的教學策略，并希望以此為契機，探索小學數學教學的新思路。

五年級上冊第五單元“平面圖形的面積”是學生第一次學習空間幾何中抽象概念的計算。平面圖形是幫助學生形成空間觀念的起點，平面圖形的面積是今后學習立體圖形面積及體積的基礎。在平面圖形面積的教學中，凸顯了許多數學思想方法。例如，通過剪拼、割補等方法，將未知圖形轉化為已知圖形來探究圖形面積的計算方法，意在滲透轉化、綜合、分析思想;用字母式表示圖形面積的計算公式，旨在滲透符號化思想等。

一、教學目標的統整——立足單元，詳略得當

教學目標是指教學活動實施的方向和預期達成的結果，是一切活動的出發點。數學史融入單元教學要立足單元教學整體布局，凸顯目標內容的文化特征，讓學生經歷數學家在數學探究過程中所運用的數學思想，從而把握數學學科的本質，形成數學的思維方法和解決問題的能力。

（一）單元目標立足全局

進行單元統整教學時，教師要立足全局謀劃局部，要站在全面、系統的立場確定單元的教學目標。基于對本單元教材的分析，結合課程標準對面積計算的要求，確定本單元的教學目標如下。

（1）通過割補等方法歸納平行四邊形面積計算公式，體驗圖形運動和“轉化”的思想方法，初步了解“出入相補”的計算方法;會用公式或公式變形求關于平行四邊形的底、高、周長及面積的相關問題。

（2）知道運用割補等方法探索三角形計算方法，體驗“轉化”的思想方法;會用公式或公式變形求關于三角形的邊、高、周長及面積的相關問題，拓展“出入相補”的方法。

（3）知道運用割補等方法探索梯形的面積計算方法，體驗“轉化”的思想方法;會用“出入相補”的方法將梯形轉化成為長方形、平行四邊形、三角形等;會用公式和公式變形求解關于梯形的底、高及面積的相關問題。

（二）課時目標各有側重

本單元中包含“平行四邊形的認識”及“平行四邊形的面積”“三角形的面積”“梯形的認識”“梯形的面積”“組合圖形的面積”等課時，本實踐將單元進行拆分，只將體現數學思想方法的三節求面積的課時集中授課，凸顯了數學思想方法的緊密聯系。這三種圖形面積的推導，都是建立在學生自己動手操作的基礎上，通過割補、拼擺等方法將未知的圖形面積轉化為已知的圖形面積，滲透“化歸”的思想，融入數學史的教學中。各課時目標的側重點有所不同，在平行四邊形的面積中初步引入“出入相補”的數學思想，在三角形的面積中拓展“出入相補”的數學思想，在梯形的面積中運用“出入相補”的數學思想。同時，注重知識間的聯系和遞進關系，重視學生數學活動經驗的積累，梳理蘊含的數學思想方法，融入數學文化元素，序列性地制定單元課時目標（如表1所示）。

三節課通過“轉化”的數學思想方法進行串聯，在其中滲透“出入相補”的數學思想方法，序列性地進行單元教學的嘗試，從第一節課的“開啟”、第二節課的“拓展”到最后“運用”，讓學生體會“轉化”的數學思想，積累基本的數學活動經驗，提升學生學習數學的興趣。

二、教學過程的設計——把握核心，精準施教

本單元的數學思想主線是運用“轉化”的數學思想方法進行求解平面圖形的面積，但是在三節課中各有側重，既要把握單元統整教學的序列性，也要把握數學史融入的契合度，做到重點突出、層次分明。

序列性主要體現在平行四邊形的面積是開啟“轉化”的一節課，并初步介紹“出入相補”的思想方法。三角形的面積是拓展“轉化”的一節課，并拓展“出入相補”。而梯形的面積則是“轉化”思想的訓練場，呈現出轉化方法的多樣化。

契合度主要體現在數學史融入的契合性上，針對本單元的教學，借助“出入相補”這個載體，以不同的方式將數學史融入課堂教學中，讓學生遵循著知識的發展脈絡，體驗數學知識的探究過程，進而習得方法、掌握知識。

“平行四邊形的面積”是開啟課，教師直接出示一個平行四邊形，給學生充分的材料探究、思考：怎樣求出這個圖形的面積？學生的探究分為兩個層次：有的學生運用方格紙數方格;有的學生直接用尺子量出刻度，然后沿高剪開，并將它轉化成為長方形。本節課的核心問題是：為什么要沿著高剪開轉化成為長方形？同時，向學生滲透“出入相補”的原理。學生通過“新舊轉化—找出關系—推導公式”總結經驗。本課的重點在于引導學生經歷探究過程，初步構建模型，體會“轉化”思想。在拓展練習中，學生體會到長方形變成平行四邊形，隨著高變小，周長不變，面積變小，體會“變中不變”的思想，并知道同底等高的平行四邊形面積相等。

“三角形的面積”是承上啟下課，教師出示一個三角形，請同學們進行探究。有的同學通過對上一節課的知識遷移運用，將兩個完全相同的三角形轉化為平行四邊形，并推導出三角形的面積計算公式。有的同學嘗試運用一個三角形是否能用剪拼的方法進行轉化。在剪拼過程中遇到困難時，教師逐步對學生進行引導，引導他們沿兩條腰的中點剪開試一試。學生經過探究可以得出三種情況。學生先后經歷了比較容易的合拼和富有挑戰的剪拼過程，感受到了數學家的探究過程，并從中感悟數學思想、豐富體驗。這樣的教學讓兩節課緊密而自然地銜接起來。

“梯形的面積”是思維展示課，學生有了合拼和剪拼的經驗，可以用個性化的方法探究梯形的面積計算公式。在單元統整的教學理念下，學生獲得了探究的方法，形成了探究的習慣，從而學會自己探究梯形的面積。然而，還不能止步于此。在本節課中，學生要尋找三個圖形面積之間的聯系，形成知識網絡，完善認知結構，對三個圖形面積之間的聯系進行梳理和建構。

三、數學文化的融入——出入相補，適度實施

在單元統整的過程中，我對數學史料進行了查找和梳理，并根據序列性和契合度進行了適當的取舍，最后確定了數學文化的滲透素材：《九章算術》中“出入相補”的數學思想和《幾何原本》中同底等高、等底等高的平行四邊形和三角形的面積之間的關系的命題和證明。根據單元統整的特點，我將數學文化嵌入課時教學中，發揮數學文化育人的作用。

“平行四邊形的面積”通過探究深入和練習融入兩方面讓學生感受數學文化。在探究深入中，我向學生介紹了“出入相補”的原理并使其進一步感知，為學生打開了更多關于割補法的思路。在練習融入中，我運用教材資源，將數學文化與課堂練習有效地結合在一起，讓學生經歷計算、發現、感悟的過程。

“三角形的面積”通過三次融入讓學生感受數學文化。第一次融入是在學生完成了用合拼探索出三角形的面積計算公式以后，直接引導學生采用剪拼法推導三角形的面積公式。第二次融入是學生經歷用剪拼的方法推導出三角形的面積公式后，介紹《九章算術》中的記載，讓學生感受“出入相補”的方法。第三次融入是在課堂練習中融入《幾何原本》的有關命題，對等底等高的三角形面積進行探究。

“梯形的面積”教學是在學生交流個性化轉化的基礎上，介紹《九章算術》中“邪田”（直角梯形）和“箕田”（等腰梯形）的記載。學生已有用轉化法推導梯形的面積計算公式的經驗，再結合數學史的融入，使其對“出入相補（以盈補虛）”有了更深刻、更多樣的體驗。

四、數學思想的滲透——問題引領，抽象提升

單元統整教學不僅讓學生獲取了系統的知識鏈，更重要的是讓學生在掌握知識與技能的同時，體驗數學思想，發展數學思維，最終形成數學學習能力。在“平面圖形的面積”單元教學中，我通過問題驅動、學生主動、課堂生動三方面關注學生的學習過程，循序漸進地提升學生的思維品質。

（一）在問題驅動中啟動學生的思維

數學的思維特征之一就是問題性，通過從實際生活中提出問題、建立聯系、個性表達，到最終的讓學生經歷知識形成的過程，學生在觀察、猜測、驗證、推理、概括的過程中，積累數學活動經驗。思維因問題而發動，因問題而深入，并以問題解決為最終目的。

在“平行四邊形的面積”一課中，我通過三個核心問題逐步推進：如何求出平行四邊形的面積？如何將平行四邊形轉化成已知圖形？為什么要沿著高剪開？在“三角形的面積”一課中，問題鏈體現在：如何求三角形的面積？如何將三角形轉化成已知圖形？兩個完全一樣的三角形合拼一個平行四邊形，一個三角形可以剪拼轉化嗎？而在“梯形的面積”中，其核心問題為：如何運用合拼和剪拼求梯形的面積？通過問題鏈的形式將核心問題進行呈現，凸顯了思維的嚴密性。

（二）在學生主動探究中激發學生的思維

在單元統整的過程中，要讓學生主動參與其中，就要對練習設計進行統整，既要關注每一節課的分層，進行有梯度的練習，又要關注課時之間的聯系和針對性;既要鞏固學生所學，又要培養學生解決問題的能力。比如，教師可結合《幾何原本》的相關命題，基于平面圖形單元的設計練習，既可鞏固知識，又能培養思維。富有層次的、縱橫聯系的多樣化練習，可以促進學生對數學知識和方法的深入理解，切實提高學生分析問題和解決問題的能力，讓學生的思維走向深入。

（三）在課堂互動中提升學生的思維

在傳統課堂中，教師在學生還不知道研究對象的基本特征時就開始“講解例題，大量練習”，學生缺少對知識、方法及數學思想感悟、內化的過程，導致淺層次學習，課堂不夠生動。在本單元統整的過程中，我將數學史融入教學，用數學思想串聯起整個數學教學單元，將數學文化素材嵌入各個課時的教學中，發揮數學文化的教學作用。

將數學史融入小學數學單元統整教學，須立足全局制定教學目標，結合內容確定統整主線，前延后續設計教學過程，一以貫之地融入數學文化，層次分明地設計練習題組，循序漸進地提升思維品質。在單元整體教學的視角下，融入數學史教學，教師應既注重對課程標準和教材的精準剖析，又凸顯在教學方法上的扶放結合;既重視學生知識和技能的培養，又關注學生的思維習慣、學習能力、學科德育的同步發展，從而真正地提升學生的核心素養。

參考文獻：

[1]張貴平.小學數學課堂融入數學史的實踐研究[J].試題與研究，2019（24）.

（責任編輯：奚春皓）