指向數學大概念的問題設計

夏繁軍 常麗 艷尤飛

摘要：指向數學大概念理解或感悟的教學應該是問題驅動式的，這樣的教學具有學習評價伴隨性的特征。大概念是更加抽象、上位的概念，因此，需要更加開放、綜合的問題來教學和評價。而大概念又是在具體知識、技能基礎上的抽象概括，因此，開放、綜合的問題也要能夠細化、分解。在實踐中，提取數學大概念后，主要通過多元化的方式設計（選取）指向數學大概念理解或感悟的問題，具體包括：開放探源，設計單元或課時基本問題;綜合應用，設計單元探究問題;步步為營，設計課時引導性問題;目標分解，設計課時診斷性問題;以生為本，捕捉課堂生成性問題。

關鍵詞：數學大概念;問題設計;大概念教學;大概念評價

卡爾·波普爾認為：“知識的增長永遠始于問題，終于問題——越來越深化的問題，越來越能啟發大量新問題的問題。”學習的過程本質上是解決問題的過程，也是學習如何解決問題的過程。無論是教師提出問題，還是學生發現問題，問題都是促使學生學習進程發生和發展的不竭動力。問題有啟發性，學生能在解決問題的過程中不斷理解知識的本質，明確思考的邏輯。問題還有導向性，能夠引導學生有目的地組織有效的方法策略，利于學生建構學習內容之間的聯結。

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）在“教學建議”中指出：“基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質，創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，引發學生思考與交流，形成和發展數學學科核心素養。”數學核心素養是抽象概括出來的、比較上位的、具有廣泛聯系整合作用的、能夠廣泛遷移應用的數學概念和觀點，是一種數學大概念。因此，指向數學大概念理解或感悟的教學，也應該是問題驅動式的，或者說是啟發引導式、探究發現式的。這樣的教學具有學習評價伴隨性的特征：教師提出的問題，既促進學生的學習，又起到評價學生學習情況的作用。也就是說，教學和評價很大程度上是一體的。

大概念是更加抽象、上位的概念，需要更加開放、綜合的問題來教學和評價。而大概念又是在具體知識、技能基礎上的抽象概括，開放、綜合的問題也要能夠細化、分解。此外，大概念貫穿于多個內容，因此，還需要持續性教學和評價。在實踐中，提取數學大概念后，我們主要通過以下方式設計（選取）指向數學大概念理解或感悟的問題。值得注意的是，這些問題有時是交叉的，就像連續光譜一樣不好區分。

一、開放探源，設計單元或課時基本問題

基本問題是指在學科或課程中處于核心位置、能促進學生深入思考和探究、能激發知識的聯系和遷移的總結性問題或單元（多個相關聯的內容所形成的整體）的主題性問題。威金斯和麥克泰格將基本問題比作大概念教學的航標：“最好的問題是指向和突出大概念的。它們就像一條過道，通過它們，學習者可以探索內容中或許仍未被理解的關鍵概念、主題、理論、問題，在借助啟發性問題主動探索內容的過程中加深自己的理解。”在他們的單元整體設計模板中，基本問題和大概念是相配套的。珀金斯則直接稱基本問題為“大問題”。

如果說傳統的問題傾向于“閉合性”，也就是對固定答案的尋求，那么，基本問題恰恰相反，傾向于“開放性”。因此，基本問題能引發與大概念相關的持續性思考，不斷激活具體經驗，達成深度理解。比如，語法是怎么產生的？為什么會有語法？漢語的語法和英語的語法有什么區別？數學是發明，還是發現？某個數學概念為什么這么定義？由此定義能夠得到什么？……有時，基本問題甚至會帶有一些“挑釁性”，通過連續的追問打破學生原有的觀點，引導學生深入思考，建立復雜的認知結構。此外，基本問題也可以是一個話題（主題），主要是引導學生往“大處”想。

基本問題具有本源性與整合性，是單元教學的“魂”，往往會在單元教學開始時提出，牽引學生進行單元學習。單元教學結束時，可再讓學生根據本單元的學習回答基本問題。原來謎底在這兒！原來基本問題的答案是它！這些應該是學生學完一個單元后的體會。如果沒有這樣的感覺，那就說明教師的教學有待改進。

例如，《函數》單元教學，基本問題可以是：你如何理解函數是描述兩個變量之間關系最基本的數學語言（工具），或者函數是一個量隨另一個量變化而變化的模型？什么是函數的性質？如何研究函數的性質？為什么要研究函數的性質？函數發展歷史是怎樣的？你怎么看待函數？……還可以在學生學完函數的概念和表示、函數的性質、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等內容后，讓他們再回答這些問題。

又如，《概率》單元教學，可以提出這樣的基本問題：現有5個簽，其中2個簽有獎，5個同學先后來抽簽，每人抽一個，那么中獎機會均等嗎？這個問題學生熟悉，答案在給定條件下不唯一，能引起學生的爭論，直指大概念“隨機性”“事件的關系與運算”。教學樣本空間、隨機性、事件的關系與運算等內容時，都可以用。

此外，大概念的層級性決定了基本問題的層級性。例如，《三角函數》一章中基本問題和大概念存在對應關系（如表1所示）。

二、綜合應用，設計單元探究問題

基本問題和探究問題都具有復雜性。但是，相對而言，基本問題偏向本源，因開放思辨而比較“虛”——答案不確定;探究問題偏向應用，因綜合實踐而比較“實”——完成比較難。因此，基本問題可以用于單元教學的開頭和結尾，而探究問題主要用于單元教學的結尾。課標附錄2中給出的“教學與評價案例”大多是比較典型的探究問題。這些探究問題通常是對課時學習內容的綜合應用，可以促進學生的深度學習，讓學生持續理解大概念。

例如，《統計》單元教學后，教師讓學生分組選擇一個感興趣的問題，給出一份完整的統計分析案例。比如，對人們線上、線下生活消費數額與年齡的關系，剎車距離與車速的關系，學校近三年男生和女生平均身高、體重情況（學校醫務室有數據可用）等，利用統計的方法進行分析，然后作出合理的決策。課外，學生嘗試探究;課上，師生交流遇到的問題。在完成這個探究問題（任務）的過程中，學生學會把調查到的社會現象數據化，設計調查問卷，抽樣調查，分析整理數據，分析變量之間的相關性分析。

再如，“指數函數”（《基本初等函數Ⅰ》單元）以及“極限”（《導數》單元）教學后，教師讓學生在知道復利計算公式[y=a（1+r）x，x∈N*]，以及本息和隨存款期數呈指數型增長的基礎上，研究相同的本金和存款總時間、總利率下不同復利分期帶來的不同本息和（分期的利率等于總利率除以期數）。進而引導學生發現：隨著復利分期的增加，本息和也在增加，但是增加得越來越緩慢，并且好像趨向一個常數。然后，教師讓學生做一個極端的假設，即本金為1，總利率為100%，研究本息和隨復利分期的變化趨勢;并讓學生借助計算器或計算機完成計算，引導他們發現：當n趨向于+∞，（1+1/n）n趨向于定值2.71828…。由此，介紹自然對數底數的由來，同時讓學生感悟“在一定的局限條件下，凡事多有極限，不會無限增長，不會‘永動”的大概念。

三、步步為營，設計課時引導性問題

學生對基本問題的思考很難一步到位，而且常會覺得無從下手。對此，在具體的課時教學中，教師要準確把握教學內容，精準分析學情，設計層層遞進的引導性問題（串），啟發學生抽絲剝繭，有邏輯地思考，不斷理解與感悟、逐步揭示數學大概念。

例如，面面平行的性質定理研究的是兩個平面平行的條件下，直線與平面、直線與直線的位置關系的不變性，思想方法是從一般到特殊。這是個大概念。對此，在課時教學中，提出如下引導性問題串：

問題：類比線面平行的研究，我們研究面面平行的性質定理，首先要弄清楚：面面平行的性質定理研究的是面面平行的條件下，誰與誰的位置關系的規律性或不變性？

追問1：先看兩個平面平行時，一個平面內的任一條直線與另一個平面的位置關系。如圖1，已知α∥β，lCα ，判斷l與β的位置關系。

追問2：再看兩個平面平行時，分別在兩個平面內的兩條直線的位置關系。如圖2，已知α∥β，lCα，mCβ ，判斷l與m的位置關系。

追問3：平面β內與l平行的直線有多少條？

追問4：如何在平面β內找出一條與l平行的直線？

追問5：類比線面平行性質定理的發現，在平面β內取一點P，過點P如何作直線l的平行線？

追問6：任作一個平面與α、β相交于兩條直線，這兩條直線是否平行？

整個研究過程貫徹數學大概念“從一般到特殊、從整體到局部的方法”。對于追問4，在學生想不到過l作平面γ與平面β相交，從而找到直線m的情況下，追問5可以為學生建構面面平行的性質定理搭建“腳手架”：當學生看到直線與直線外一點時，容易聯系線面平行的性質定理，作平面γ與平面β相交。

四、目標分解，設計課時診斷性問題

引導性問題既可以用于教學，也可以用于評價。診斷性問題主要用于評價（即課堂檢測，也可以看作是教學的一部分，因為還是服務于教學的），可以采用定性與定量（如口頭訪談與書面測試）相結合的方式，實現了解學生的學習情況（對大概念的理解或感悟），指導教師精準教學（以學定教、因材施教），提高教學效率的目的。具體設計診斷性問題時，要特別注意依據抽象、上位的教學目標進行細化分解，從而提升評價的有效性和可行性。

例如，課標對“函數的單調性”的學習要求是：“借助函數圖像，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義。”僅依據此，很難編寫診斷性問題。

對此，初步細化分解時，可以聚焦大概念，考慮到底想要學生掌握什么，用自己的話稍加詳細地轉述。仔細分析上述目標要求，從知識結果上看，是要學生理解單調性的定義，會用定義證明函數的單調性，會用單調性解決一些數學問題;從方法過程上看，是讓學生掌握抽象概括的方法和運算求解的技能。但是，這時還是較難編寫具體的診斷性問題。

對此，進一步細化分解時，就要考慮操作性，如怎么才算理解函數的單調性、怎么才算簡單應用函數的單調性，將目標要求變成一個個外顯的、有層次的操作行為。比如，可以通過具體化行為動詞和核心概念，以及適當添加行為條件，把“理解函數的單調性”由淺到深地分解為：（1）能從學過的函數中舉出具有單調性的例子;（2）能用自己的話概括描述函數單調性的含義;（3）能對照函數圖像求出函數的單調區間;（4）能在教師的啟發下抽象出函數單調性的符號表示，結合具體問題體會到函數單調性定義的要點;（5）能用定義證明一些簡單函數的單調性。

其中，第1個目標和第2個目標本身就可以當作診斷性問題。對于第3個目標，教材和課后練習中都有相關的題目可以作為診斷性問題。對于第5個目標，教材中有相關的例題可以作為診斷性問題。第4個目標中，對概念要點的理解很關鍵：學生自己常常認識不到;而且有時，教師給學生寫出“幾點注意”，學生也不理解為什么。因此，教師要設計好診斷性問題，讓學生在問題情境中認識單調性定義的要點。具體地，可以設計如表2所示的診斷性問題。

五、以生為本，捕捉課堂生成性問題

課堂是一個充滿生機和活力的地方，學生經常提出一些我們始料未及的問題。這些問題是學生的疑點，有時也是我們進行數學大概念教學和評價的契機。

例如，學習“平面向量基本定理”時，學生提問：“基底是什么？”對此，教師反問：“對于‘基底，大家如何理解？生活中有沒有類似的例子？”在學生的沉默思考中，教師提示：“同學們學過繪畫嗎？”一些學生恍然大悟：“底色，三基色！”順勢，教師解釋：“五彩繽紛的顏色可以通過紅、綠、藍三色按照不同的比例合成產生，同樣，絕大多數單色光也可以分解成紅、綠、藍三種色光。這是色度學最基本的原理，即‘三基色原理。三種基色是相互獨立的，任何一種基色都不能由其他兩種基色合成。基底{e1，e2}就是平面向量中的基色。”進而，教師引導學生從數學到其他領域展開關于“基底”的聯想：

平面坐標系內一點P由兩個坐標（x，y）決定;等差數列{an}由公差和首項決定;圓由圓心和半徑決定……

漢字復雜多樣，但是基本筆畫只有幾種;音樂美麗動聽，但是基本音調只有幾個……

小到個人，大到國家，都有自己的基底。一個人的基底就是這個人的德、智、體、美、勞;一個國家的基底可以從政治體制、經濟實力、軍事力量、外交政策、科技水平這幾個角度反映出來，更能從國民的一言一行中反映出來。

基底思想是一個大概念，體現簡化和轉化的意識。對學生疑問的反饋，既能幫助學生深度理解概念，也能對學生進行思想品德教育。

再如，指數函數應用的復利計算問題：“有些銀行存款是按照復利的方式計算利息的，即把前一期的利息與本金加在一起作為本金，再計算下一期的利息。假設最開始的本金為a元，每期的利率為r，存x期后本息和為f（x）元。至少要經過多少期，本息和才能不小于本金的2倍？”求解的最后，教師指出：銀行業經常使用“70原則”，因為ln 2≈0.69315，并且當r比較小時ln（1+r）≈r，所以大約要經過70/100r期（假設年利率為5%，則為14年），本息和才能倍增。這時，學生提問：為什么當r比較小時ln（1+r）≈r？這是解決實際問題經常使用的近似方法，并且對學生理解對數函數、冪函數之間的關系以及對數函數的運算這些大概念很有幫助。因此，教師從函數圖像平移到函數y=ln（1+x）在原點處的切線是y=x進行分析，讓學生看到近似的合理性。

參考文獻：

[1] 卡爾·波普爾.猜想與反駁——科學知識的增長[M].傅季重，紀樹立，周昌忠，等譯.上海：上海譯文出版社，2001.

[2] 李剛，呂立杰.國外圍繞大概念進行課程設計模式探析及其啟示[J].比較教育研究，2018（9）.

[3] 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計（第二版）[M].閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯.上海：華東師范大學出版社，2017.

[4] 戴維·珀金斯.為未知而教，為未來而學[M].楊彥捷，譯.杭州：浙江人民出版社，2015.

[5] 夏繁軍，張鶴.“整章—單元—課時”的教學設計及反思——以人教B版第十一章第3單元“空間中的平行關系”為例[J].中學數學教學參考，2021（1）.

[6] 夏繁軍.話說“基底”[J].中小學數學（高中版），2013（10）.

[7] 唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的內涵與特征[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）.

[8] 段志貴，張雯，沈桂如.“設問誘思”：數學課堂教學的有效策略[J].教育研究與評論（中學教育教學），2021（8）.

[9] 李祎，陳柳娟.教學不是一種“告訴”行為[J].教育研究與評論，2021（1）.

*本文系北京市教育科學規劃2021年度一般課題“大概念和學習進階視角下高中數學單元教學實施策略研究”（編號：CDDB21315）的階段性研究成果。