構(gòu)建模型法巧解高考計(jì)算題

郭婉婷

摘要：千變?nèi)f化的物理習(xí)題都是根據(jù)一定的物理模型，結(jié)合某些物理關(guān)系，給出一定的條件，提出需要求的物理量的。而我們解題的過程，就是將題目隱含的物理模型還原、求結(jié)果的過程。構(gòu)建物理模型法在解題中具有決定性的作用，從而達(dá)到快速解題的目的。

關(guān)鍵詞：解題方法;構(gòu)建物理模型法;磁聚焦和磁發(fā)散

在高考場上，做選擇題只能平均每個(gè)題用時(shí)90秒，做計(jì)算題也要每個(gè)題用時(shí)盡量不要超過8分鐘，要想能盡最大限度的節(jié)省時(shí)間解出一個(gè)題目，那么我們碰到一個(gè)題目，要能盡快建起物理模型，找到規(guī)律，就能達(dá)到又快又準(zhǔn)地解出答案，得到高分的目的，才能在考試中取得勝利。下面我以2021年湖南卷第13題為例，很多學(xué)生得到的分?jǐn)?shù)與所花的時(shí)間不成正比。因此，對于如何建構(gòu)物理模型，從而快速巧解此題，得到高分。我撰寫此文以饗讀者。

例題：（2021年湖南省高考卷第13題）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、帶電粒子流（每個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q）以初速度v垂直進(jìn)入磁場，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xoy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。

（1）如圖（a），寬度為 2r1 的帶電粒子流沿 x 軸正方向射入圓心為A（0，r1）、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小;

（2）如圖（a），虛線框?yàn)檫呴L等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（0，-r2）。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）;

（3）如圖（b），虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

此題模型構(gòu)建：是指速率相同的同種帶電粒子，在經(jīng)過圓形勻強(qiáng)磁場運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑與磁場區(qū)域半徑相等時(shí)所引起的一類會(huì)聚與發(fā)散現(xiàn)象。

1、磁發(fā)散：圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，帶電粒子從圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁場，當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑與圓形磁場區(qū)域半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于入射點(diǎn)磁場區(qū)域圓的切線的方向成平行線射出磁場。

2、磁聚焦：若帶電粒子以平行的速度射入磁場，這些帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)將會(huì)聚通過平行速度方向的圓形區(qū)域切線與圓的切點(diǎn)。

【考點(diǎn)】帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)，牛頓第二定律

【解析】【分析】（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用圓形磁場的半徑可以求出粒子軌道半徑的大小，結(jié)合牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小;

（2）畫出粒子經(jīng)過O點(diǎn)后從下方圓形區(qū)域的最大軌跡，利用軌道半徑的大小結(jié)合牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向;利用左手定則可以判別磁場的方向，利用運(yùn)動(dòng)軌跡結(jié)合幾何關(guān)系可以求出磁場面積的大小;

（3）畫出粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合軌跡半徑及牛頓第二定律可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小;利用陰影面積為四分之一圓面積和三角形面積之差，利用幾何關(guān)系可以求出勻強(qiáng)磁場面積的大小。

【答案】 （1）解：粒子垂直 y軸 進(jìn)入圓形磁場，在坐標(biāo)原點(diǎn)O匯聚，滿足磁聚焦的條件，即粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑等于圓形磁場的半徑r1，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，解得

（2）解：粒子從O點(diǎn)進(jìn)入下方虛線區(qū)域，若要從聚焦的O點(diǎn)飛入然后平行x軸飛出，為磁發(fā)散的過程，即粒子在下方圓形磁場運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑等于磁場半徑，粒子軌跡最大的邊界如圖所示，圖中圓形磁場即為最小的勻強(qiáng)磁場區(qū)域

磁場半徑為r2，根據(jù)可知磁感應(yīng)強(qiáng)度為

根據(jù)左手定則可知磁場的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶铮瑘A形磁場的面積為

（3）解：粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)，3和4為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓，1和2為粒子運(yùn)動(dòng)的磁場的圓周

根據(jù)可知I和III中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

圖中箭頭部分的實(shí)線為粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，可知磁場的最小面積為葉子形狀，取I區(qū)域如圖

圖中陰影部分面積的一半為四分之一圓周與三角形SAOB之差，所以陰影部分的面積為

類似地可知IV區(qū)域的陰影部分面積為

根據(jù)對稱性可知II中的勻強(qiáng)磁場面積為

通過這道高考計(jì)算題的解答過程的探討，我們大家發(fā)現(xiàn)碰到一個(gè)有難度的題，如果運(yùn)用常規(guī)解法，那正中命題者的初衷，他就是想要通過此題來消耗考生的時(shí)間，從而影響其它題的做答，以致達(dá)到拉開考生差距，起到選拔性考試的目的，我們?yōu)榱嗽诟呖紙錾夏苋〉脡旱剐缘慕^對勝利，那么我們平時(shí)學(xué)習(xí)過程中一定要達(dá)到兩個(gè)“力求做到”，第一個(gè)力求做到知識(shí)體系化，題目模型化，解題技巧化;第二個(gè)力求做到見題有思路，解題有模板，速算有大招。為了要達(dá)到這種境界，那并非一日之功，必須要善于向人家學(xué)習(xí)，廣泛涉獵各種資料，搜集各種解題規(guī)律，加強(qiáng)訓(xùn)練，把別人的東西變成自己的東西。靈活地把物理原理和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行融合，只有這樣，那我們學(xué)習(xí)物理就會(huì)變得越來越輕松，解題就像吃大餐一樣是一種享受，不再是一種痛苦。最后祝愿大家平時(shí)學(xué)習(xí)勤加思考，總結(jié)解題訣巧，構(gòu)建解題的物理模型，高考場上取得優(yōu)異成績。