“單元—課時”教學(xué)視角下的問題串教學(xué)設(shè)計與反思

【摘?要】研究者以課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置的“主題—單元”為依據(jù)，通過類比數(shù)的運算，以學(xué)生熟悉的物理學(xué)中功的實例情境為載體，用問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)量積的概念，了解數(shù)量積幾何意義，探究運算性質(zhì)，并提煉出其中蘊含的數(shù)形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想。教師在讓學(xué)生掌握“四基”“四能”的過程中培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上，對教學(xué)設(shè)計和實施課程標(biāo)準(zhǔn)中應(yīng)注意的問題進行反思。

【關(guān)鍵詞】向量;數(shù)量積;問題串;核心素養(yǎng)

【作者簡介】黃太強，高級教師，蕪湖市骨干教師，蕪湖市優(yōu)秀教師，蕪湖市“黃太強名班主任工作室”主持人，主要研究方向為解題研究、信息技術(shù)與新課程整合、學(xué)科德育滲透。

【基金項目】安徽省蕪湖市2020年教育科學(xué)研究課題“核心素養(yǎng)視域下基于航空班探討高中數(shù)學(xué)分層教學(xué)”（JK20059）

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》）指出，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達成不是一蹴而就的，而是具有階段性、連續(xù)性等特點。教師不僅要關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo)，明晰這些目標(biāo)對實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻[1]。因此，教學(xué)設(shè)計應(yīng)在單元教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)上再進行課時教學(xué)設(shè)計，以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性，防止碎片化教學(xué)。問題串一般由一個主干問題提出思考，這個主干問題聚焦于需要解決的問題，這樣的問題串層層遞進，由淺入深，能為學(xué)生搭建思維的“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生體會其中蘊含的思想方法，觸及研究本質(zhì)，促進學(xué)習(xí)遷移[2]。“問題”是引起思維活動的驅(qū)動力，也是思維外顯的一種直接手段，“串”表明一組問題之間是有邏輯的，可以揭示教學(xué)內(nèi)容之間內(nèi)在的邏輯線索。筆者將2019年人教版（A版）高中數(shù)學(xué)必修第二冊教科書中第六章第2單元“平面向量的運算”的教學(xué)設(shè)計以問題串的方式呈現(xiàn)出來，有效地激活學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)學(xué)生求解問題的欲望，促使學(xué)生積極主動地體驗知識的發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、教學(xué)分析

（一）內(nèi)容解析

平面向量的運算包括向量的線性運算和向量的數(shù)量積。而向量的線性運算又包括向量加法、向量減法、向量數(shù)乘以及它們的混合運算，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生研究并掌握平面向量運算的幾何意義、運算性質(zhì)及運算律。

教科書從向量的物理背景和數(shù)的運算中得到啟發(fā)，引出向量的運算。向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，能夠?qū)D形的性質(zhì)與代數(shù)的運算相互轉(zhuǎn)化，進而解決幾何對象的長度、夾角及位置關(guān)系等問題。本單元初步建立向量運算體系，類比數(shù)的運算，得到平面向量的運算，以及平面向量運算的幾何意義、運算律。類比平面向量的運算體系可以在選擇性必修課程中建立空間向量的運算體系，將平面向量、空間向量及其運算一般化，從而得到高等數(shù)學(xué)中的向量空間的概念。向量運算的過程是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象核心素養(yǎng)的重要載體。

（二）課時教學(xué)目標(biāo)

（1）通過物理學(xué)中功的實例，抽象出向量數(shù)量積的定義，經(jīng)歷從物理背景分析，抽象概括出概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括、類比遷移的能力。

（2）通過投影及投影向量的學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。

（3）通過不同方式的研究，發(fā)現(xiàn)向量數(shù)量積性質(zhì)的過程，讓學(xué)生體會從一般到特殊、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。

（三）學(xué)情分析

本單元內(nèi)容與物理學(xué)科聯(lián)系緊密，因此可以從物理、幾何、代數(shù)三個角度展開教學(xué)。從物理角度而言，學(xué)生可以借助位移的合成、力的合成、功直觀理解向量運算的概念;從幾何角度而言，學(xué)生可以借助有向線段建立向量的直觀形象，但由于他們對向量的運算理解不透徹，因此無法靈活運用幾何的一些基本定理證明運算性質(zhì);從代數(shù)角度而言，學(xué)生通過類比數(shù)的運算學(xué)習(xí)向量的運算律，這種類比能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點，但學(xué)生受實數(shù)乘法運算性質(zhì)的“負(fù)遷移”影響，對于向量的數(shù)量積運算可能容易出錯。

（四）教學(xué)重難點

教學(xué)重點：向量數(shù)量積的定義，向量數(shù)量積的性質(zhì)。

教學(xué)難點：投影變換，投影向量。

二、教學(xué)設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1?前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的線性運算，類比數(shù)的運算，你認(rèn)為我們接下來還可以研究向量的哪種運算？

教師在提出以上問題后，學(xué)生一般會回答“向量的乘法”，但如果有學(xué)生提出“向量的數(shù)乘運算”就是“向量的乘法”，教師可以幫助學(xué)生進一步理解此處的“向量的乘法”指的是向量間的運算，旨在培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想和主動探究的意識明晰運算對象仍然是兩個向量。

追問?根據(jù)前面的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你能否概括出我們學(xué)習(xí)向量運算的內(nèi)容和過程？

在師生討論的基礎(chǔ)上，教師板書：物理背景—定義運算法則—討論運算性質(zhì)—運算的簡單應(yīng)用，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運算的一般思路。

問題2?在你學(xué)過的物理知識中，除了位移的合成、力的合成，還有沒有關(guān)于兩個矢量間的運算？

教師組織并引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中“向量的夾角”的概念。

追問2?向量加法的三角形法則要求兩向量首尾相接，向量加法的平行四邊形法則要求兩向量同起點。那么確定“向量的夾角”在向量的位置上有何要求？

教師引導(dǎo)學(xué)生回看教科書，并找出確定“向量的夾角”時的位置要求：同起點。

【設(shè)計意圖】將實數(shù)的運算與平面向量的運算進行類比，教會學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的方法，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力。在不斷的正誤辨析中找出“向量夾角”的位置要求，培育學(xué)生敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神。

（二）模仿結(jié)構(gòu)，抽象概念

問題3?仿照物理學(xué)中功的概念，你能給出向量乘法的定義嗎？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生類比物理學(xué)中功的概念，自行抽象出數(shù)量積的定義，發(fā)展學(xué)生的理性思維，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達概念、規(guī)則，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理的核心素養(yǎng)。

（三）探究內(nèi)涵，理解辨析

問題4?在學(xué)習(xí)物理的功的內(nèi)容時，我們知道，當(dāng)力F作用在物體上時，只有力F沿位移S方向的分力才會做功。我們能否仿照作出向量a在向量b上的“分向量”？

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生類比物理學(xué)中分力做功，探究投影和投影向量的定義，有利于讓學(xué)生理解引入投影向量的合理性。

圖3至圖6列舉出兩向量的夾角的不同情形。圖3對應(yīng)的是兩向量的夾角是銳角，圖4對應(yīng)的是兩向量的夾角是鈍角，圖5對應(yīng)的是兩向量垂直，圖6對應(yīng)的是兩向量共線。

【設(shè)計意圖】教師讓學(xué)生體會在研究兩向量夾角有關(guān)的問題時，常常要根據(jù)夾角的不同類型進行分類討論，培養(yǎng)學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想。

【設(shè)計意圖】學(xué)生經(jīng)過合作討論得出結(jié)論的過程，就是掌握研究圖形與圖形，圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法的過程。以上教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生學(xué)會借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從而形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會幾何直觀的作用和意義。

（四）遷移應(yīng)用，性質(zhì)初探

問題6?向量集數(shù)與形于一身，你認(rèn)為可以從哪些角度研究數(shù)量積的性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】將之前研究向量線性運算性質(zhì)的方法進行遷移應(yīng)用，讓學(xué)生體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法，并初步建立向量的數(shù)量積運算與長度、夾角、垂直等幾何問題之間的聯(lián)系。

追問?以上運算結(jié)果的應(yīng)用價值是什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度分析，合作完成下列表格（見表1）。

【設(shè)計意圖】有邏輯的問題串能夠幫助學(xué)生了解知識的來龍去脈，經(jīng)歷知識的生成和構(gòu)建過程，能體現(xiàn)知識領(lǐng)域之間和方法之間的關(guān)聯(lián)，具有可發(fā)展性。教師通過幫助學(xué)生在頭腦中形成清晰、穩(wěn)定、系列的知識鏈條，突出核心概念的思維構(gòu)建過程和技能操作過程，體現(xiàn)思想方法的領(lǐng)悟和分析過程，達成教學(xué)目的。

（五）小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)

問題7?（1）你能說出我們是如何研究向量的數(shù)量積運算嗎？

（2）你認(rèn)為我們可以利用投影向量解決哪些問題？

（3）向量的數(shù)量積性質(zhì)要研究的問題是什么？我們?nèi)绾窝芯窟@些性質(zhì)？

通過問題引導(dǎo)學(xué)生進行知識的結(jié)構(gòu)化梳理，學(xué)生形成完善的向量數(shù)量積運算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過對學(xué)習(xí)過程的提煉概括，提升小結(jié)的思想性，學(xué)生的思維在課堂末尾仍處于高階認(rèn)知層次，讓學(xué)生進一步明確本節(jié)課所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，有效地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

為讓學(xué)生進一步掌握和應(yīng)用所學(xué)知識，教師指導(dǎo)學(xué)生完成以下目標(biāo)檢測題。

【設(shè)計意圖】考查學(xué)生運用數(shù)量積性質(zhì)求解問題的能力。

三、教學(xué)反思

（一）類比情境，序列設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化學(xué)習(xí)活動

不是所有問題都能激發(fā)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的心向，也不是隨便地把問題提出來，就是創(chuàng)設(shè)了問題情境。教師必須在深入分析新知識與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識之間的關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出學(xué)生力所能及但又富有挑戰(zhàn)性的問題[3]。本節(jié)課的引入是通過類比數(shù)的運算，提出“你認(rèn)為我們接下來還可以研究向量的哪種運算？”具有統(tǒng)攝性、貫通性的問題，起到先行組織者的作用。隨后的一系列問題“在你學(xué)過的物理知識中，除了位移的合成、力的合成，還有沒有關(guān)于兩個矢量間運算的概念？”“仿照物理學(xué)中功的概念，你能給出向量乘法的定義嗎？”使學(xué)生的思維逐步引向數(shù)量積的本質(zhì)，讓學(xué)生感受向量運算是成體系的，并能讓學(xué)生體會類比聯(lián)想、遷移應(yīng)用是研究數(shù)學(xué)的基本方法。

（二）提升素養(yǎng)，積極實踐，努力適應(yīng)新教材變化

“平面向量及其應(yīng)用”為必修課程主題三“幾何與代數(shù)”中的內(nèi)容，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合。新教材中將“向量的數(shù)量積”和“向量的線性運算”整合為“平面向量的運算”，這樣的設(shè)計有利于建立向量運算體系，強化學(xué)生對向量運算通性通法的研究。本節(jié)內(nèi)容在教材中的最大編寫變化是“投影”和“投影向量”。

在新課程理念下，教師要以學(xué)生為主體，改變以往單調(diào)枯燥的教學(xué)方式，通過對核心內(nèi)容的精細(xì)化設(shè)計，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。數(shù)學(xué)思維就是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動，是提高學(xué)生主觀能動的過程，一般表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，所以數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的思維載體，也是數(shù)學(xué)思維活動的核心動力。如果問題串的設(shè)計能從學(xué)生的實際出發(fā)，設(shè)定合理的難度和適當(dāng)?shù)乃季S強度，就能有效促進學(xué)生求異思維和發(fā)散性思維的發(fā)展。值得注意的是，問題串的精細(xì)化設(shè)計，不是要面面俱到，也不是設(shè)置層層關(guān)卡，而是強調(diào)知識構(gòu)建，提倡自主生成，圍繞核心概念、基本思想方法進行的一體化設(shè)計。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]應(yīng)佳成.有邏輯地設(shè)計問題串，讓學(xué)習(xí)真實發(fā)生：以“分式”單元教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2021（7）：17-20.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)7）：《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（7）：5-11.

（責(zé)任編輯：陸順演）