系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)“三問”教學(xué)模式探究

【摘 要】系統(tǒng)思維要求學(xué)生將所認(rèn)識的對象作為一個完整的系統(tǒng)，從整體與部分的區(qū)別和聯(lián)系進(jìn)行思考。系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“三問”教學(xué)模式指教師要擅于引導(dǎo)學(xué)生提出和思考“是什么”“為什么”和“怎么樣”這三個問題，其具有多序性和統(tǒng)一性的特點。文章以“分層抽樣”為例，通過兩次數(shù)學(xué)實驗，引發(fā)學(xué)生自主提出和思考“三問”并尋求答案，最終做到對分層抽樣知識的有效學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);系統(tǒng)思維;“三問”教學(xué)模式;分層抽樣

【作者簡介】黃邵華，南寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)教研組組長，高級教師，南寧市優(yōu)秀教師、教學(xué)骨干、技術(shù)標(biāo)兵，獲廣西區(qū)優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員稱號等，主要研究方向為高中數(shù)學(xué)教學(xué)、高中數(shù)學(xué)競賽教學(xué)。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《新課程標(biāo)準(zhǔn)》）中指出，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”），提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）[1]。相對于以往的課程標(biāo)準(zhǔn)，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》更加重視對學(xué)生基本活動經(jīng)驗的獲取以及對問題從形成到解決的模式的培養(yǎng)。基于此，筆者提出了系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)“三問”教學(xué)模式。其是以立德樹人為根本任務(wù)，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，以數(shù)學(xué)問題的提出為導(dǎo)向，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)性思考，逐步獲取數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的一種教學(xué)模式。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是引導(dǎo)學(xué)生從原有經(jīng)驗出發(fā)，生長建構(gòu)起新的經(jīng)驗的過程。系統(tǒng)思維是基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的一種思維模式，其要求學(xué)生將所認(rèn)識的對象作為一個完整的系統(tǒng)，從全局的觀點出發(fā)，從整體與部分、整體與環(huán)境的相互作用過程來認(rèn)識事物，從而把握整體中的組成要素以及組成要素之間的相互聯(lián)系和相互作用。

高中數(shù)學(xué)相對初中數(shù)學(xué)明顯的差異是知識的板塊和內(nèi)容增多，各部分知識之間的聯(lián)系增強(qiáng)，對知識理解和運(yùn)用的綜合性要求更高。因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向，注重知識板塊、章節(jié)內(nèi)部及離散知識點之間的關(guān)聯(lián)教學(xué)，讓學(xué)生充分理解和辨析知識的內(nèi)涵和外延。

一、“三問”教學(xué)模式的概念

所謂“三問”，即“是什么”“為什么”和“怎么樣”。“三問”教學(xué)模式要求教師不論是在新授課、習(xí)題課或是其他授課類型，都要擅于引導(dǎo)學(xué)生提出和揣摩這三個問題。其中，“是什么”追尋的是知識的同一性問題，即所要探究的問題具有什么樣的模式化的結(jié)構(gòu)特征;“為什么”追尋的是知識的本原性問題，即分析探究知識生成過程的邏輯順序，尋求思考過程的原理;“怎么樣”追尋的是知識的操作性問題，即嘗試探究找到問題的解決方法，尋求建立這類問題的常用求解模型（如圖1）。

“三問”教學(xué)模式具有兩個明顯的特點：多序性和統(tǒng)一性。多序性指三個問題排序有多種排列可能，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中根據(jù)已有知識和思維方式，會產(chǎn)生不同的發(fā)問順序，可能是先思考“是什么”，再思考“為什么”和“怎么樣”，也可能是先有“怎么樣”的想法，再去解答“為什么”和“是什么”。統(tǒng)一性指教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，要求學(xué)生不能只思考其中一個問題，而應(yīng)該將三個問題進(jìn)行整體思考和領(lǐng)悟，深刻理解問題的表象和本質(zhì)，以及具體的解決辦法。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在已有認(rèn)知信息與未知認(rèn)知信息的沖突中發(fā)現(xiàn)問題，使學(xué)生懂得用所學(xué)數(shù)學(xué)語言提出并準(zhǔn)確表述問題，利用已學(xué)知識邏輯嚴(yán)密地分析問題。同時，學(xué)生能在解決問題的過程中理解該問題在知識體系中的意義和地位，對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)性把握，有效關(guān)聯(lián)相關(guān)信息，形成知識網(wǎng)絡(luò)。

本文以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向，以人教版高中數(shù)學(xué)必修3“分層抽樣”一課為例，通過“為什么→是什么→怎么樣”的設(shè)問順序，探究系統(tǒng)思維導(dǎo)向下的“三問”教學(xué)模式在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用。

二、系統(tǒng)把握知識框架，理解課程價值及意義

在本節(jié)課伊始，教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了之前學(xué)習(xí)的兩種抽樣方法：簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，讓學(xué)生回顧這兩種抽樣方法作為“抽樣方法”這個整體知識板塊中的元素的區(qū)別和聯(lián)系，并通過列表使其清晰、詳細(xì)地展示出來。

根據(jù)統(tǒng)計學(xué)“收集數(shù)據(jù)—整理數(shù)據(jù)—分析數(shù)據(jù)—推斷與決策”的整體思維路徑和處理路徑，分層抽樣是屬于收集數(shù)據(jù)中的內(nèi)容，是之后學(xué)習(xí)統(tǒng)計學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生在學(xué)習(xí)分層抽樣之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣這兩種抽樣方法的概念、操作方法和適用范圍，但對于總體具有明顯層次差異的情況還不能很好地解決。分層抽樣是對高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計學(xué)知識中抽樣方法的完善和補(bǔ)充，同時也為下一節(jié)“用樣本估計總體”的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課作為高中統(tǒng)計學(xué)知識的一個節(jié)點，知識內(nèi)容起著承上啟下的作用。因此，教師可通過這節(jié)課很好地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會以系統(tǒng)思維為導(dǎo)向發(fā)現(xiàn)和提出問題，讓學(xué)生經(jīng)歷對“為什么”“是什么”和“怎么樣”這三個問題的分析和解決過程，使學(xué)生既能深刻理解分層抽樣的概念，又能充分感受高中統(tǒng)計學(xué)知識的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，以及本節(jié)課內(nèi)容在統(tǒng)計學(xué)知識體系中的作用和地位。

三、創(chuàng)設(shè)情境、發(fā)現(xiàn)問題，提出“為什么”

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)。在本節(jié)課中，教師通過數(shù)學(xué)實驗這個實際情境出現(xiàn)的矛盾結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么”會出現(xiàn)這樣的結(jié)果，使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，感受本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的原理和來龍去脈。

教師首先創(chuàng)設(shè)情境問題：某學(xué)校高三（1）班共有50名學(xué)生，其中男生30名、女生20名，現(xiàn)想從這50名學(xué)生中隨機(jī)抽取5名，并通過計算這5人的平均身高來估算全班學(xué)生的平均身高，見表1。該如何進(jìn)行抽樣？（表1中身高單位：cm）

在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生提取已有知識體系中的信息，很容易想到用簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。教師引導(dǎo)學(xué)生利用準(zhǔn)備好的實驗道具進(jìn)行小組合作探究：分別用簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣估算出全班學(xué)生的平均身高（教師提前將全班學(xué)生分成8組，課堂上安排其中4組采用簡單隨機(jī)抽樣，另外4組采用系統(tǒng)抽樣進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗）。

接下來，教師通過Excel電子表格繪制的折線圖與實際平均值做對比，作出如圖2所示圖表。

由圖2可以發(fā)現(xiàn)有些小組（如第1組、第3組和第5組）對平均身高的估算值偏離實際平均身高比較大，有些小組的估算值相對準(zhǔn)確（如第4組和第7組）。最后，教師讓每一組學(xué)生代表表述實驗數(shù)據(jù)的結(jié)果并分析出現(xiàn)該結(jié)果的原因。如第3組學(xué)生代表說：“我們組的估算平均值明顯高于實際平均值，是因為我們組在簡單隨機(jī)抽樣時抽到的5人中有4人是男生，只有1位女生，而男生身高一般比女生高，所以實驗數(shù)值就偏大了。”其他偏差較大的小組的表述基本也是男女人數(shù)差異較大。

著名心理學(xué)家魯賓斯坦的問題思維理論指出，思維的核心是創(chuàng)新，思維起源于問題，是由問題情境產(chǎn)生的，而且是以解決情境問題為目的。本節(jié)課創(chuàng)設(shè)的數(shù)學(xué)實驗的情境問題既簡單又貼近學(xué)生的日常生活，一方面能讓學(xué)生快速理解問題的實際背景，給予學(xué)生更多的時間思考解決問題的辦法，另一方面能夠引起學(xué)生足夠的興趣和注意。教師在提出情境問題后，在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生自然而然地利用已有知識和方法求解問題。學(xué)生通過對求解結(jié)果的分析，產(chǎn)生矛盾沖突，自然順暢地提出并回答問題：“為什么簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的結(jié)果可能會與實際結(jié)果產(chǎn)生較大的差異？”教師引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)：因為樣本中男生和女生的身高總體差異較大，所以如果在抽樣過程中抽到過多的男生或過多的女生，估算值自然就會不準(zhǔn)確，這樣的抽樣分析結(jié)果是不科學(xué)的。

四、分析背景、尋找特征，提出“是什么”

認(rèn)知心理學(xué)家西蒙指出，人們在解決數(shù)學(xué)問題時，大多數(shù)是通過模式識別來解決的。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時，往往要建立適當(dāng)?shù)哪Ｊ交Y(jié)構(gòu)，這種模式化結(jié)構(gòu)能夠讓學(xué)生在將來的學(xué)習(xí)中對已有信息進(jìn)行快速識別和應(yīng)用。在本節(jié)課中，教師通過前面的實驗探究讓學(xué)生找到了問題產(chǎn)生的原因，而已學(xué)的簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣都有其特定的抽樣背景模式，在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生便會進(jìn)一步思考這類新問題內(nèi)在的模式化的共性。即從特殊到一般，從具體實驗情境出發(fā)，嘗試發(fā)現(xiàn)其普遍性特征，思考什么樣的問題在已掌握的技能操作方式下會出現(xiàn)這樣的結(jié)果。

教師進(jìn)一步提問：“我們之前學(xué)習(xí)了簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，但顯然這兩種抽樣方法對于剛才的實驗都是不太科學(xué)的，同學(xué)們可否通過以上實驗總結(jié)一下，什么類型的問題不適合用這兩種抽樣方法？”學(xué)生通過前面實驗的過程，可以很自然地發(fā)現(xiàn)并回答教師的問題，即前面實驗的數(shù)據(jù)可以分為男生身高和女生身高兩個部分，兩個部分差異比較明顯，因此可以認(rèn)為如果總體可以分為差異明顯的幾個部分時，這類問題就不適用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。

教師在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和分析問題后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自主分析問題，讓學(xué)生能夠從這個數(shù)學(xué)實驗的具體背景中，由一個問題的結(jié)構(gòu)特征抽象提煉出一類問題的結(jié)構(gòu)特征，強(qiáng)化學(xué)生理解“是什么”的問題，在學(xué)生頭腦中形成問題的表象特征記憶，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

五、實踐操作、提煉方法，解決“怎么樣”

學(xué)生通過實驗結(jié)果的思維沖突，對產(chǎn)生這樣的結(jié)果的原因充滿好奇。在系統(tǒng)思維導(dǎo)向下，學(xué)生會聯(lián)想到簡單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣的問題背景和具體操作過程，自然而然地，學(xué)生會提出問題：“當(dāng)遇到這樣的抽樣背景時，抽樣過程該如何操作呢？”

教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：“該如何改進(jìn)抽樣的方法，才能使抽樣的數(shù)據(jù)更加科學(xué)合理？”學(xué)生經(jīng)過思考、交流、討論，認(rèn)為由于全班學(xué)生中，男生和女生的比例是3∶2，因此在抽取樣本時，男生身高和女生身高也應(yīng)該按3∶2的比例進(jìn)行抽取。

為了驗證這種抽樣方法的科學(xué)性，教師讓各組學(xué)生進(jìn)行實驗，并估算全班學(xué)生的平均身高。學(xué)生在抽樣并進(jìn)行估算后，教師通過Excel電子表格繪制的折線圖與實際平均值做對比，作出如圖3所示的圖表。

由圖3可以發(fā)現(xiàn)，采用按比例抽樣的方法估算出來的平均值比另兩種抽樣方法更接近于實際平均值，這樣的抽樣方法實際上就是分層抽樣。

在上述實驗過程中，教師先通過第一次實驗繪制的折線圖，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)誤差的存在并分析產(chǎn)生的原因，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新改革抽樣方法的欲望，再通過第二次實驗中，按比例抽樣后繪制的折線圖呈現(xiàn)的明顯差異，讓學(xué)生在視覺沖擊下發(fā)現(xiàn)新抽樣方法的優(yōu)越性。教師通過信息技術(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生對新概念的認(rèn)知過程更具直觀性，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

在接下來的探究中，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶和總結(jié)分層抽樣的方法，從具體問題中抽象概括出分層抽樣的一般操作步驟（如圖4）。

教師在充分肯定了學(xué)生的集體努力和智慧后，總結(jié)了分層抽樣的概念：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時（是什么），為了使樣本更客觀地反映總體的情況（為什么），將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本（怎么樣），這樣的抽樣方法叫做分層抽樣。

至此，學(xué)生明晰了分層抽樣的具體流程，在面對特定的抽樣背景時能夠明白“怎么樣”操作，進(jìn)而科學(xué)合理地解決問題。如此，既培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，又發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

六、小結(jié)

教師通過兩個數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生親自動手進(jìn)行實驗探究，自然而然地發(fā)現(xiàn)、提出、分析并解決了“為什么”“是什么”“怎么樣”這三個問題。每個問題都能讓學(xué)生直觀而充分地感受分層抽樣與簡單隨機(jī)抽樣及系統(tǒng)抽樣的區(qū)別與聯(lián)系，幫助學(xué)生系統(tǒng)性地理解三種抽樣方法的適用情況與操作方法，讓學(xué)生對分層抽樣的內(nèi)涵和外延有了更充分的理解。本節(jié)課的設(shè)計主線清晰，層層深入，充分發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體地位，注重對知識本體在同一性、本原性和操作性上的學(xué)習(xí)，同時注重對知識體系的整體把握，發(fā)展了學(xué)生在數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等方面的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（注：本課例榮獲廣西南寧市優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎。）

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯：羅小熒）