初中數學一元二次方程概念教學中“問題結構化”的嘗試

羅玉封

【摘要】本文以人教版教材九年級第二十二章《一元二次方程》中有關一元二次方程及相關概念的教學內容為例，按照《數學課程標準》的要求實施本章的概念教學的同時，嘗試將概念理解按布魯姆“教育目標分類法”的六個層次進行“問題結構化”：衍生概念、導入概念、同化概念、鞏固概念、深化概念、延申概念，讓學生在學習過程中體驗、感受、理解這些知識的來源、生成和本質，從而提高學生提出問題、分析問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】初中數學;問題結構化;概念教學;一元二次方程;問題情景

《數學課程標準》指出，數與代數的學習不僅要使學生掌握必要的知識和技能，而且要使學生在學習過程中體驗、感受、理解這些知識的來源、現實背景和本質，形成數感和符號感，認識數學與生活的密切聯系，了解數學的價值，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力。因此，數與代數的學習內容應當是現實的、有趣的、富有挑戰性的。教師應該通過實際情景或問題情景使學生了解數與代數的意義，讓學生經歷探索和發現的過程，在問題情景下感受和體驗有關的知識。一元二次方程是初中“數與代數”部分的重要概念之一，在中考命題中有著不可或缺的地位。它是方程及一元一次方程內容的再發展，同時，也是后續學習二次函數的前提與基礎，在初中“數與代數”部分的教學內容里擔當著承上啟下的作用。

根據布魯姆“教育目標分類法”及學生認知規律，本節概念教學過程分為六個步驟：衍生概念、導入概念、同化概念、鞏固概念、深化概念、延申概念，并進行“問題結構化”，助力學生對概念教學理解的深度、廣度和高度。

一、衍生概念，類比嘗試

一元二次方程是初中學段“數與代數”部分中的重要內容，也是歷屆中考的熱門考點之一。熟練掌握一元二次方程及相關概念，對于整個方程這一知識版塊的理解和認識會得到進一步的鞏固和加深，同時也為后續有關函數的內容的學習尤其是二次函數的學習會起到重要的基石作用。

數學概念就是反映思考對象空間形式和數量關系本質屬性的思維形式，一元二次方程與先前所學習的方程和一元一次方程的有關知識聯系密切，將三者的主要內容放在一起進行對比學習，將三者之間的區別與聯系展現給學生，從而使得學生對方程的概念能從一元一次到一元二次形成認知上的類比遷移。一元二次方程是在對方程已有認識的基礎上的發展，根據這一特點設計衍生概念的問題情景：

我們了解方程的概念嗎？

我們了解方程的解的概念嗎？

我們了解的概念是從哪里得到的？

例1：

1.含有_____的等式叫做方程。

2.只含有___個未知數，且含有未知數的項的次數都是_____，這樣的方程叫做一元一次方程。

3.使得方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的_____。

通過復習回顧方程及一元一次方程的有關概念，為衍生出一元二次方程及相關概念奠定基礎。同時，用對比教學的形式上，采用列表格的形式來凸顯本課的教學內容實現概念間的衍生觀。

例2：

以上概念的描述對于學生而言比較抽象。而且，還有系數等概念還需要具體地加以說明。這兩個概念是建立在初一上學期學習“一元一次方程及一元一次方程的解”的基礎上對方程學習的再發展，目的是希望在課本教材的基礎上進行豐富和優化，讓學生經歷探索和發現的過程，在問題情景下感受和體驗一元二次方程概念。因此，在實際教學過程中，教師抓住了這些概念的內涵與外延，結合實際問題情景，給予學生體驗感知發現的機會。這樣，學生才能快速把握一元二次方程及相關概念和系統掌握一元二次方程的相關知識。

二、導入概念，設置操作與問題情境

人教版教材在第二十二章《一元二次方程》的引言中提出了一個關于制作無蓋方盒的問題，以此為現實背景引出本課的有關一元二次方程的概念。在此基礎上設置了一個制作無蓋小紙盒比賽為背景的實際操作情景，并考慮到本課的重點和可操作性，因此將落腳點放在列方程這一環節上，對問題中的等量關系尋找給出了提示，并在學生列出方程后，提出問題讓學生對所列方程和一元一次方程進行比較，思考其不同點。

例3：班級即將舉行制作無蓋方盒比賽，每位參賽選手將拿到一塊長方形紙皮，長10cm，寬5cm，在它的四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為36cm2，那么各位選手應在紙皮各角切去多大的正方形？

分析：設切去的正方形邊長為xcm，則盒底的長為_____cm，寬為_____cm，根據_____×_____=長方形面積，列出方程得：__________，整理、化簡得：___________。

例4：根據問題1的內容列出的方程有什么特點？與之前學的一元一次方程有什么不同？____________________

分析：任何一個概念都不是孤立的，一些概念之間往往有著十分緊密的聯系，對那些相近或相似關系的概念，因為它們有著諸多的相似，所以用類比的方法進行教學，產生類比構建的良好思維習慣。類比的方法不是嚴格的數學證明方法，它是根據事物間的共同特性，由一事物研究另一事物的思維方法，可以作為概念教學的情境創設方法。同時，讓學生在動手操作過程中體驗、感受、理解這些知識的來源、生成和本質，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力。

解決了上述問題后，導入本課的一元二次方程的概念，以填空的形式讓學生自主完成：

概念1：等號兩邊都是_____，只含有_____未知數，并且未知數的最高次數是_____的方程叫做一元二次方程。

當學生得到了這個新的概念后，筆者設計導入概念的問題情景：

一元二次方程概念核心要素有幾個？

一元二次方程概念理解的關鍵是什么？

一元二次方程概念一般形式中哪個知識點是我們最容易遺忘也最容易出考題？

一般形式中如果a=0會怎樣呢？

然后，學生要抓住概念的關鍵詞——1個未知數，未知數的最高次數是2，整式方程，一般形式：ax2+bx+c=0（a ≠0），一次項、一次項系數、常數項等概念，關鍵是整式方程。特別解釋，a≠0是最容易遺忘也最容易出考題，讓學生更深入地去感受和理解概念。

三、同化概念，題組練習

在概念的同化階段，主要采用題組練習的方式進行，題組的設計由淺入深，讓學生同化概念的同時轉化為對知識的應用與操作技能的提升。

例5：下列方程中，是一元二次方程的是（ ）

A.? 2x2-=0 ? ? ?B.? y2+x=1

C.? x2+1=0 ? ? ? ? ?D. （x+1）2+5=x2

例6：將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項及常數項：

（1）5x2-1=4x? ? （2）4x2=81? ? ? （3）4x（x+2）=25

練習3 填空

（1）關于x的一元二次方程（m2-9）x2+（m-3）x+5=0，m=_____時是一元二次方程;m=_____時是一元一次方程。

（2）m=_____時，（m+1）x|2m|+5mx-1=0是關于x的一元二次方程。

經過上述的題組練習，讓學生進一步加深對一元二次方程的認知和同化。特別是二次項系數a≠0這一要求，這是學生在平時比較容易忽略的知識點。

四、鞏固概念，具體入抽象

當然，在這一環節的教學中，筆者也遇到了一些困惑和問題。在本次教學中，課本對于二元一次方程是整式這一內容沒有加以說明，有的學生也容易忽視這一方面，這樣便會在面對形如本文練習1中所提到的2x2-=0誤判其為一元二次方程。值得說明的是，在解釋該方程不是一元二次方程時，筆者一開始是想通過說明方程中所含有x的項 ，其實可以寫成x-1，由于其次數是-1而不是1來說明，即讓學生掌握“整式”這一關鍵點，學生在此處容易犯錯。在本文練習1中所提到的（x+1）2+5=x2也容易讓學生誤認為是一元二次方程。在這一練習講解時再次提及a≠0，有必要的話加大題組的題量或在課后作業中進一步鞏固。

簡而言之，筆者認為，教師應該要設想學生在接受新知和利用新知解決問題時所可能出現的狀況，有了這方面的心理準備，那么不論是在課前掃清學習新知的障礙，還是在學生學習過程中遇到挫折后再掃清障礙，都可以做到有的放矢，掌控自如。

五、反思操作，深化概念

一元二次方程的解的概念，教材是利用一個表格讓學生自主探究進而給出的。但是，經筆者思考并在教學實踐中發現，如果完全按照課本教材進行講解，學生的合作交流的程度不夠，且因學生的個體差異，導致有的學生很快完成探究，而有些學生卻不知所以然，使得課堂教學進度不一，效果較差。因此，針對這一情況，筆者采用類比遷移的方法由已經熟悉的一元一次方程的解類比得到一元二次方程的解：“使得方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，叫做方程的解”，這一概念在一元二次方程的解中同樣適用。這樣，學生能進行知識的類比遷移，對新知識的吸收更快，而且筆者設計了以下練習用以鞏固學生對方程的解的概念進行深化認知。

例7：下面哪些數是方程x2-3x+2=0的解？為什么？

-1，0，1，2，3

例8：已知x=-1是方程x2+mx+1=0的一個根，求m的值。

例9：一個長方形的長比寬多1cm，面積是132cm2，長方形的長和寬各是多少？

第一、二道練習的設計目的主要是鞏固一元二次方程的解的概念，第三道練習的設計目的是為了進一步說明一元二次方程是刻畫現實世界的重要數學模型，與課堂引入的例子進行呼應，同時也為后續關于一元二次方程的解法的學習設置一個鋪墊。

當學生完成練習后，采用深化概念的問題情景引導學生思考總結本課所學內容，說出感受和收獲。這樣，學生通過這節課的學習不僅掌握了一元二次方程的概念，而且能快速地判斷哪些是一元二次方程的解。

深化概念的問題情景：

一元二次方程的概念與一元二次方程的解的概念是什么？

兩個概念的意義是什么，兩個概念的作用是什么？

一元二次方程的概念與一元二次方程的解的概念怎樣獲得，你下次會用類似的方法解決問題嗎？

六、延伸概念，實施課例后的思考

一元二次方程是刻畫現實世界的數學模型之一，它來源生活實際，體現出數學的建模思想。在概念教學過程中，對這一概念導入也是通過實際問題的提出而進行的，在生活中還有很多例子只用一元一次方程是沒法解決的，必須利用一元二次方程相關問題設置，讓學生在思維上產生認知沖突。故教學時，教師應讓學生體會學習一元二次方程的價值，讓學生初步建立數學模型的思想，初步學習如何將實際問題轉化為數學問題轉化思想;并設置問題情景讓學生產生聯想和串通，將概念向更深更高更廣的層次延申，延申概念的問題情景：

解一元一次方程的過程有幾個步驟？

能不能將一元二次方程轉化為一元一次方程來解呢？

大家還記得因式分解的過程嗎，它能給你什么啟發？

最后，本節概念課教學通過結構化問題與問題情景的設置也培育學生的數學核心素養——數學抽象素養、數學運算素養、發現問題、分析問題、解決問題等多層次的數學能力。

參考文獻：

[1]教育部.數學課程標準[S].北京師范大學出版社，2011.

[2]（美）B·S·布魯姆等.布魯姆等教育目標分類學第一分冊：認知領域[M].華東師范大學出版社，1986.

[3]中學數學課程教材研究開發中心.數學九年級上冊教師教學用書[J].人民教育出版社，2009.

責任編輯? 鐘春雪