理法交融 思維升級

沈瑞華

［摘 要］“筆算多位數乘一位數”是銜接表內乘法和多位數乘法的重要內容。文章先對比分析四個版本的教材和學生的學習起點，重組教學路徑后進行課堂教學，歸納出計算教學的主要策略。

［關鍵詞］計算教學；筆算；多位數乘一位數

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）35-0055-03

“筆算多位數乘一位數”是人教版教材第五冊第六單元的內容，是在學生學習了表內乘法和兩位數乘一位數口算（不進位）的基礎上教學的。它是學習多位數乘兩位數、除數是兩位數的除法的基礎，是學生建立和理解位值概念重要的載體。對于三位數乘一位數的筆算教學，很多教師都認為筆算教學就是理解算理、掌握算法，認為三位數乘一位數就是讓學生掌握一位數分別與三位數每一位上的數相乘的計算技能。這樣的認識背后有沒有隱憂？計算教學僅僅是掌握計算程序？在計算教學中如何培養學生靈活的思維能力？

一、隱憂：三位數乘一位數的學習起點

在教學“兩位數乘一位數”后，教學“三位數乘一位數”前，筆者對本校三年級（3）班和（4）班共90位學生進行了前測，結果見表1。

分析數據后發現，學生在計算不進位、進一次位或隔位進位的三位數乘一位數時，正確率都超過90%。這說明學生已經具備了從筆算兩位數乘一位數遷移到筆算三位數乘一位數的能力。在與學生的交流中發現，學生筆算錯誤集中在兩個方面。

1. 疊加進位易算錯

計算385×6時，385的每一位與6相乘都向前一位進位，而且乘法進位過程中又出現了兩位數加一位數的加法進位—— 48+3和18+5，這樣的乘法與加法的疊加進位，學生心算時感覺非常困難。

2.中間有0會誤乘

在計算末尾有0的三位數乘一位數時， 學生能把口算整十、整百數乘一位數的方法遷移過來，末尾的0不參與計算，前兩位乘好后再添末尾的0，相當于還是在計算兩位數乘一位數。但計算中間有0的三位數乘一位數時，學生會根據“從個位起，依次相乘”的運算程序，讓0也參與計算，誤把304×6的十位“0×6+2”的得數算成8。

計算三位數乘一位數的乘法時，學生會用哪些運算策略呢？表2是對三（3）班和三（4）班的學生的測試結果。

這兩道題的數據特點很明顯，都可以通過改變運算順序進行簡算。但在參與測試的90位學生中，只有1%至2.2%的學生用了簡算方法（300×4+25×4和400×4-2×4），97.8%以上的學生都是程序化地在用筆算方法計算。這說明，學生只會像計算機一樣，按部就班地從三位數的個位起，依次相乘。積的書寫也是從個位起，一位一位挨著去寫，不考慮位值。雖然能計算出正確得數，但教師不清楚學生是否已經理解了算理，這會不會給將來的教學埋下巨大的隱患？

懷著這種擔心與猜測，筆者訪談了四年級的數學老師，發現部分四年級學生在學習三位數乘兩位數的乘法時果然出現了問題：位值概念模糊，第二層積的位置反復寫錯。四年級學生出現這些問題，源頭就在于學習多位數乘一位數時，學生只記住了乘的順序，但不清楚乘的順序本質是什么。造成這些問題，也與教材的編排有一定的關系。

二、 分析：多位數乘一位數筆算教材編排對比

1. 對比四個版本的教材內容

對比四個版本的教材后，可以發現三個異同點：一是將三位數乘一位數作為例題的教材有2個版本，占50%；二是將三位數中間或末尾有0的乘法作為新課例題的教材有3個版本，占75%；三是教學筆算乘法采用固定程序“個位算起，依次相乘”的教材有3個版本，占75%。從四個版本的異同點來看，人教版、蘇教版、北師大版教材更側重于三位數乘一位數的程序教學，筆算方法唯一，即從個位算起，依次相乘，學生容易掌握，但挑戰性不大。浙教版教材注重三位數乘一位數的算理教學，筆算方法多樣，即乘的順序有多種。這樣的編排更有利于學生根據實際情況選擇合理的算法，但挑戰性較大。

2. 分析人教版教材關于多位數乘一位數筆算的編排

通過表格分析，可以得到兩個結論。一是教材默認學生能使用遷移的方法自己學會三位數乘一位數。但從實際教學來看，學生理解程度不夠，還是需要正式學習的過程。二是教材在學生掌握計算一般三位數乘一位數后，再安排新授課學習三位數中間有0和末尾有0的乘法，是有必要的，對學生理解位值原理有幫助。即使學生在筆算時掌握了“從個位起，依次相乘”的計算程序，并能熟練計算，也不能說明他們真的會算了，只有理解了任意順序的筆算，清楚位值原理才是真正懂了筆算本質。

三、重組：筆算教學學習路徑設計

根據以上分析，筆者對多位數乘一位數筆算單元的教學進行了重組（如表5）。

筆算兩位數乘一位數的教學，首先借助數學教具小棒理解兩位數乘一位數，可以看成幾個幾十和幾個幾來算，也就是用口算的方法學習筆算；可以從低位乘起，也可從高位乘起，也就是兩位數的每一位都要與一位數相乘，和運算的順序無關。接著，借助小棒依次理解滿十進一、疊加進位的算理。將中間或末尾有0的三位數乘一位數的教學提前，掙脫固定的計算程序的束縛，引導學生單純從算理的角度去思考，學生很容易就發現304×6既可以表示6個304，也可以看成6個300和6個4，用300×6+4×6來算。這樣十位的0完全沒有參與計算的必要，只用兩句口訣“三六十八，四六二十四”就輕松計算出結果。在書寫時注意位值原理，明確18表示18個百，即1800，1和8分別記在千位和百位上（如圖1）。

有了以上兩步的經驗，學生在學習一般的三位數乘一位數時，也能從“個位算起，依次相乘”的固定程序中走出來了。例如，計算385×6時可以將原式轉化成三層積：300×6+80×6+5×6（從高位算起或從低位算起均可），或轉化為兩層積：85×6+300×6（踢百法）、380×6+5×6（踢個法）或305×6+80×6（踢十法）。經過轉化，三位數乘一位數疊加進位的難點被輕松化解。而且，寫成兩層積或三層積的形式時，學生不再只是按順序計算，而會去關注位值，思考每部分的積表示的含義。

四、思考：實現從計算教學走向運算教學的策略

運算能力是數學核心素養的主要表現之一，可見運算能力的培養已經得到了極大的重視。那么運算能力的培養如何落地？

1.抓住本質促使理法交融

學習是由外在知識與內在知識結構之間的交互作用實現的，計算的學習亦是如此。比如將三位數乘一位數轉化成已經學過的兩位數乘一位數與整百數乘一位數的結合（踢百法），或者轉化成幾百、幾十和幾分別乘一位數（三層積），通過小棒、人民幣等素材幫助學生理解每種算法的算理，也就是多位數的每一位都和一位數相乘是算法的本質，與乘數的位值有關，而與運算的先后順序無關。在豎式上確定每層積的位置，也就是明確位值概念，將算理和算法合二為一，真正做到知“書”達“理”。在學習新知的過程中，學生還擁有了用轉化的思想來解決問題的能力。

筆算三位數乘一位數的新課結束后，筆者對實驗班和對照班進行了后測。測試題為：一套數學叢書的價格是67元，王老師買了5套，營業員用計算器計算時，按錯了一個數字，結果多收了10元。下面的判斷正確的是（? ? ? ）。

A.把6按成8? ? ? B.把7按成9? ? ? ?C.把5按成7

3個選項，分別是多算了5個20、5個2、2個67。學生需要充分理解兩位數乘一位數的算理、明確位值概念，才能找到正確選項。實驗班與對照班對比，本題正確率分別是86.3%和25.2%。這說明實驗班的學生對筆算多位數乘一位數的算理理解得更深刻、更到位，這對他們后續學習的幫助是比較大的。

2.挑戰學習促使思維升級

使學生理解算理、掌握算法，是運算教學的基礎目標，而發展思維是高階目標。運算教學中的練習題，要避免機械操練，多設計一些富有挑戰性的學習任務，驅動學生學會分析、學會思考、學會概括、學會推理。

比如，對于兩位數乘一位數，可以設計比較開放的挑戰題（如圖2）。

找出其中一個解并不難，但要準確地找出所有解，光靠計算技能是不夠的，還要具備策略意識。首先考慮積的個位是2，由表內乘法得出的積的末尾有2的只有2、12、32、42、72這五個，所以對應的表內乘法分別是1×2、2×6、3×4、4×8、6×7、8×9這六對。再看得數，五百多的得數說明十位上的數乘一位數得四百多或五百多，那么一位數至少是5，只能是6、7、8、9這四種情況，馬上排除1×2、3×4這兩對。這樣，按一定的策略去思考，就能快速而準確地得到8種不同填法。

再如，對于三位數乘一位數，可以設計挑戰性練習：用1、3、5、8組成三位數乘一位數的算式，使積最大。如果只是一次次地去試算，那思維是低級又低效的。教師要引導學生分析：首先確定8和5的位置，有500×8和800×5兩種可能，它們的積相同；接著看后兩位，31×8大于31×5，所以確定把最大數8作為一位數，5、3、1依次放在三位數的百位、十位和個位上。

開放的挑戰性學習任務，能促進學生在運算中提升策略意識，提高邏輯推理能力。

總之，教師要根據課程標準的理念，從計算教學走向運算教學時講究“理”“法”相融。把計算教學作為載體，少一些機械操練，多一些思維卷入，在提升學生的計算技能的同時，培養學生的數學思維能力，促使學生在學習的過程中學會學習。

（責編 金 鈴）