數學建模培養的教學策略研究

謝盛富

摘? ?要：通過高中數學課程的學習，學生發現和感悟數學與現實之間的聯系，用數學模型解決實際問題，積累實踐經驗，認識數學建模在科學、社會、工程技術等諸多領域的作用，培養應用意識和實踐能力，形成創新意識，培養學科素養。

關鍵詞：應用意識;數學建模;實踐能力

高中學生數學應用能力，是學生數學理解和運用的高度體現，它包含數學知識、數學思維、個人能力與學習習慣等各方面的綜合素質。數學自身具備高度的抽象性、邏輯性，它對學生的邏輯推導、邏輯運算、空間思維等能力有相當高的要求，這也就是數學對學生思維的反向塑造能力，同時這種能力也可在其他學科上延伸，拓展學生建模思維能力的空間。

“授人以魚，不如授人以漁”，教師需要充分了解學生的學習特點與學習能力，在此基礎上制定科學合理的教學方法，有針對性地培養學生 [ 1 ] 。 對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，并用數學方法構建模型解決問題，提高學生應用數學模型與建立數學模型來解決實際問題的能力，這也是高考要求的重要內容。在高考考查時，通過對大數據進行整理、分析，從模型建立、檢驗模型等方面設置問題，強調用數學知識、思想方法解決問題，從而加強對數學模型解決實際問題的能力考查，使數學模型的研究領域與應用領域得到極大拓展。

1? 展現核心概念的產生過程

在相關數學知識概念教學時，教師可結合實際，向學生拋出問題，引導學生主動去思考，引導學生經歷概念故事成的整個過程是如何產生、提出者的經歷、所要定義和解決的問題、概念最終是如何形成和確定的，以及在相關領域的適用性。從不同方面、不同階段，向學生全面展示，學生在對概念的接受和吸收上，領悟與把握數學思維與知識在實際解決問題中的模型思想，以及這種建模思維在實際運用上的重要性。如在講述極限理論時，引入“繩子半之半不盡”的故事，讓學生融入其中，領悟數學建模對解決實際問題的可行性和研究價值。再如，在實際生活中菜市場中某類商品的供銷問題，通過相關的實際參數構建供需函數y=f（x），通過建立實際問題的數學模型，明確后續時間的商品供應需求。

2? 展現定理公式的推導過程

數學各類概念、定理和公式等，其形成的原理和提出過程思考的模式是完全不同的。這也涉及到數學研究的工具與方法，比如歸納法與演繹法、分析法與綜合法，以及因果分析法等。這些方法體現了數學的幾個特點：①高度的概括性和抽象性;②嚴密的邏輯性和結論的精確性;③放之四海而皆準的普遍性和可操作的應用性。從這些基本的方式方法中，體現出了比較重要的數學模型思維類型，比如變抽象為形象直觀的思維、正向和逆向思維、發散思維、定勢思維等，讓不同的概念對應不同的模型思維類型，從而讓學生更全面的掌握自我思維訓練的要點。數學課本中許多定理與公式都是高度簡化和抽象的，教師在向學生教授這些定理公式時，需要做好這些定理公式的背景準備，在正式講授與之相關的例題時，可介紹定理公式的提出者，講述他在提出該定理公式時，碰到的問題、演算的過程、如何獲得結論。在老師對定理公式講述中，學生能全方位感受到形成原理等思維是如何一步一步建立起來，并將這種思維成果化。對定理公式的歷史脈絡、思維流程的清晰認識，也會讓學生在形成原理、公式等的數學建模之路上強化自我思維能力的鍛煉[ 2 ] 。如在推導等差數列和等比數列的通項公式時，引導學生提煉、歸納出an+1=an+f（n）型、an+1=an·f（n）型，并賦予名稱“累加法”、“累積法”，建立了數學模型，為后續學習做好鋪墊。又如在推演錐體體積公式時，引入等密度物質在不同容器中的體積恒定性，讓學生在實踐中感受公式的推導。

3? 建立數學模型解決問題

教師在授課前，可根據課程學習進度，創設生活實際情境，擬編成學生可以解決的例題，這也能考核教師對相關理論的掌握水平。現實社會中各種要素是自然社會決定的，是人難以進行干預和控制的，如何將這種實際參數樣本整理為研究對象的原型，再將這個原型抽象化，轉化為數學語言。這就是數學核心素養中的模型思維。通過這樣的抽象和簡化過程，讓具體的事物用數學語言呈現在學生面前，就會加深學生對相關問題和研究對象的認知。例如，等額本息貸款和等額本金貸款，哪一種對貸款者有利？一副撲克牌是出現順子概率大，還是出現金花的概率大？三角形法則在力學上如何具體應用？通過這種實戰化的問題引導，讓學生充分融入實際問題思考中。為保障學習效果的充分性，教師也可將學生分成不同學習小組，針對例題進行討論，讓學習成果進一步擴大與完善。通過不同想法和思維的碰撞，讓學生相互吸收和反駁不同觀點，再形成自己的觀點和思維。

4? 從常見模型滲透數學建模

比如，長方體是立體幾何中的重要數學模型，許多問題可以放在長方體中求解。例如，（2021年廈門市3月份質檢第16題）已知三棱錐A-BCD的四個頂點A，B，C，D均在O球的球面上，AB=AC=AD，ΔBCD是邊長為4的等邊三角形，M，N分別是AB、BC，的中電，DM⊥MN，則AB=________，球O的表面積是__________。

從題干“AB=AC=AD”“DM⊥MN”“等邊三角形”可以獲知，三棱錐可以鑲嵌在正方體中，AB，AC，AD三者兩兩互相垂直，從而很容易破解此題。

又如，在A-BCD三棱錐中，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，求該棱錐外接球的體積。這道題題干關鍵信息是“三組的兩對棱相等”，這與“長方體相對面的對角線長相等”相吻合，從而構造長方體求解問題。

再如，在比較大小中，根據所給表達式的特征構造函數模型，再利用單調性比較大小。例如，（2021八省聯考適應性考試第8題）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則（? ? ?）

A. c

從題中關于a、b、c的三個等式觀察特征，尋求共同點，構造函數f（x）=，利用導數判斷出f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1+∞）上單調遞減，結合函數值相等，確定a，b，c的大小關系。

高中數學中還有很多這樣的數學模型，如由“兩未知數之和與之積”構造一元二次方程;構造斜率、截距、三角形和復數等模型來求解有關數學問題。

5? 數學建模對高中教學的重要意義

在開展一系列的數學建模活動過程中，從活動前期的準備、活動中的探究和合作、活動后的收獲等，經歷數學建模的全過程，真實地解決一個實際問題，積累做數學、學數學、用數學的經驗，關注過程，在彰顯不同個性的同時，尋求共性，培養團隊協作精神。在評價學生活動的過程中，可以通過多元評價，使不同學生的數學建模素養得到不同的發展;關注活動的過程，關注學生的差異和個性，活動前后的心理變化;提出的問題是否有“新意”，求解過程是否有“創意”，探究過程是否有深度和廣度，結果是否有特色，興趣動力是否增強等等。

任何建模過程需經歷模型準備、假設、建立、求解、分析、檢驗等過程，最后還應具備模型應用與推廣等特點，使得建模更具實際意義。 高中數學知識儲備為數學建模提供了解題工具，數學知識的學習能力是需要不斷引導和訓練的，而高中學生學習緊張，更需要不斷強化學生的數學建模核心素養與思維能力，教師要在高中數學教學教研中，不斷開拓思路，為學生的數學學習能力夯實基礎而創設新方案、新情境，提高數學應用意識，有效滲透學生的數學建模素養勢在必行。

參考文獻：

[1] 楊小煊.基于“三教”理念下學生數學建模素養培育的教學研究[D].貴州：貴州師范大學，2019。

[2] 張曉婷.構建模型 回歸本真——高中數學核心素養之數學模型培養策略[J].新課程，2020（15）：124。

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