重視數學應用，提升數學建模能力

吳旭寶 劉明

【摘 要】新高考更加重視對數學建模核心素養的考查，試題具有“展現中國古代數學文化”“體現數學的應用價值”“感受數學之美”等特點。因此，在平時的教學中，應當重視數學應用題的教學，讓學生形成數學應用題的基本解題策略，并通過開展數學閱讀等途徑提高學生的數學建模能力。

【關鍵詞】核心素養;數學建模;考查特點;培養方式

【中圖分類號】G633.6 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2022）11-0040-04

【作者簡介】1.吳旭寶，江蘇省鹽城市田家炳中學（江蘇鹽城，224000）教師，一級教師;2.劉明，南京師范大學附屬中學（南京，210003）教師，正高級教師，江蘇省特級教師。

2020年全國各地陸續實施新課程、新高考。在新高考中，數學建模這一核心素養將如何考查？下面筆者結合自己對新課標、新高考試題的學習和研究，談一些初步的思考，供同行們參考。

一、新課標重視數學建模

1.新課標將數學建模納入高中數學的課程內容。

2017年版新課標與原來的課程標準相比，進行了較大幅度的修訂：在課程目標上，新增了學科核心素養（即六大核心素養），認為“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現”;在課程內容上，增設“數學的建模活動與數學探究活動”，形成了高中數學課程內容的四條主線——函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動;在教學建議部分，提出了“突出學科核心素養、整體把握教學內容”等建議;在學業評價方面，提出了“注重對學生數學學科核心素養的考查，處理好數學學科核心素養與知識技能的關系”等命題原則。[1]

2.新高考將數學建模作為學科素養的考查內容。

《國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》對高考命題工作提出了如下要求：“突出立德樹人導向，重點考查學生運用所學知識分析問題和解決問題的能力。創新試題形式，加強情境設計，注重聯系社會生活實際，增加綜合性、開放性、應用性、探究性試題。”[2]此外，教育部考試中心編寫的《中國高考評價體系說明》指出：“高考評價體系將考查的素質教育目標提煉為‘核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識’四層內容”;而“數學學科素養包括理性思維、數學應用、數學探究、數學文化四項內容”。[3]可見，“數學應用”在考試評價中具有重要的地位，應當給予足夠的重視。

二、新高考試題對數學應用的考查情況

2020年，山東、海南兩省進入新高考;2021年，全國又有8個省份進入新高考。新高考在數學應用的考查方面，有如下的特點。

2020年山東卷和海南卷，一共考查了6道應用題（單選題4道、填空題1道、解答題1道）。盡管2021年新課標Ⅰ卷的應用題題量較2020年有所減少，共考查3題道（1道單選題、1道填空題、1道應用題），但隨著評價改革的不斷推進，新高考試題中的應用題將會有一定程度的增加。

1.展現中國古代數學文化。

在歷年的高考試題中，經常會出現一些有關中國古代數學文化的試題，以此對學生進行中華優秀傳統文化的教育，新高考命題也是如此。

例1（2020年山東卷、海南卷試題）：日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間。把地球看成一個球（球心記為O），地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面。在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（ ?）。

A. 20° ? ? ?B. 40° ? ? C. 50° ? ? D. 90°

從考查的內容來看，本題以中國古代測定時間的儀器“日晷”為載體，考查了球體的相關計算，不僅涉及立體幾何中平面平行、線面垂直的性質，還涉及“緯度”這一地理知識（即直線與平面所成角的概念），對學生的空間想象能力有較高的要求，并且在一定程度上體現了學科綜合的要求。

此類試題的考查目的是以“立德樹人”為導向，讓學生了解中國歷史上的數學成就，了解中國歷代數學家對數學的貢獻，激勵學生繼承和弘揚中華優秀傳統文化，培養具有愛國情懷的社會主義事業的建設者和接班人。

2.體現數學的應用價值。

在新高考數學應用試題中，也有體現數學在社會實踐及科學研究中廣泛應用的試題。

例2（2020年山東卷、海南卷試題）：基本再生數R0與世代間隔T是新冠肺炎疫情的流行病學基本參數。基本再生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間。在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數模型：I（t）=ert描述累計感染病例數I（t）隨時間t（單位：天）的變化規律，指數增長率r與R0，T近似滿足R0=1+rT。有學者基于已有數據估計出R0=3.28，T=6。據此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為（ln2≈0.69）（ ?）。

A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天

本題以近兩年來的新冠肺炎疫情這一重大社會事件為實際背景，是一道考查指數型函數模型的數學應用題。這樣的試題，不僅讓學生充分感受到“數學處處可見”，提高對數學的認識，而且能夠引導學生關注生活、關注社會。

3.感受數學之美。

數學既是運算與推理的工具，也是一種表達和交流的語言，是人類文明的一個重要組成部分。因此，新高考試題將會出現更多的引導學生感受數學之美的試題。

例3（2019年全國高考Ⅰ卷試題）：古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是[5-12]（[5-12] ≈ 0.618，稱為“黃金分割比例”），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是[5-12]。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是（ ?）。

A.165 cm ? ?B.175 cm

C.185 cm ? ?D.190 cm

此題可以選擇兩種不同的解題思路，第一種思路運用生物學知識，利用腿長估算身高;第二種思路利用不等式，求出身高的取值范圍。本題中，命題者給出了與兩個黃金分割比不相吻合的條件，就是為了引導考生在難以由“等量關系”估算身高時，應當考慮運用“不等式”這一數學模型來解決問題。此外，本題很好地體現了新課程理念：重視學科綜合（涉及生物學知識），考查學科核心素養（考查了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養）。這樣的試題不僅發展了學生體驗美、感受美的能力，而且還能夠激發學生未來繼續學習數學、研究數學的興趣。

三、對數學應用能力培養的思考

1.在平時的教學中重視數學應用的教學。

數學應用是培養學生數學建模素養的重要途徑之一。從數學建模的特點來看，它是在對實際問題進行數學抽象的基礎上，用數學語言表達實際問題、用數學方法建立恰當的數學模型來解決實際問題的一種方法。

數學建模的一般過程為：在實際情境中，用數學的眼光發現問題、提出問題、分析問題、建立模型、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。由此可見，數學建模需要經歷閱讀理解、數學抽象、邏輯推理、建立模型、數學運算等過程，是一項綜合的、復雜的系統工程。上述能力非一朝一夕能夠形成的，教師需要在平時的教學中結合所學內容，選擇與學生能力相適切的數學應用題，讓學生去思考、研究、解決。

例如，在學習“分段函數”時，可以選取實際生活中與分段函數有關的例子（如出租車計價等）;在學習“指數函數”時，可以選取銀行存（貸）款問題;在學習“三角函數”時，可以選用反映周期現象的數學應用題（如潮汐現象等）;等等。在學習完幾種常見的初等函數模型之后，我們還可以設計一些讓學生選擇恰當的函數模型來解決實際問題的數學應用題。

2.讓學生掌握數學應用題的基本解題策略。

在解數學應用題時，可按照“理解實際問題—建立數學模型—求解數學模型—解決實際問題”的流程進行，其中建立數學模型是關鍵。

（1）認真審題，實現數學抽象

正確審題是建立數學模型的前提。這就需要讓學生在認真閱讀、正確理解題意的基礎上，借助畫圖、列表等手段，從應用題的文本信息中抽象出數學信息：有哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？這些量之間有什么樣的關系？

（2）恰當設元，建立數學模型

在審題之后，根據題目所給的條件與所要求的結論，對下列問題進行理性的思考：已知什么？要求什么？各個量之間有什么關系？本題想考查什么？建立怎樣的數學模型？如何設元？在思考這些問題的基礎上，設元、建立數學模型。其中最核心、最困難的環節是“尋找各個量之間的關系”。

（3）校驗模型，進行數學求解

在初步建立數學模型后，不應急于求解數學模型，而是應當對自己所建立的數學模型進行檢驗——檢查自己所建立的數學模型是否符合實際問題。若不符合實際問題，就要對其進行修正，直到滿足題意為止，然后再進行數學求解。

（4）回歸實際，給出正確答案

在求解數學模型后，還要結合應用題的實際意義，檢驗所求得的解是否滿足題意，并給出最終的答案，從而完成解題。

3.開展數學閱讀提高建模能力。

如前所述，數學建模問題經常會結合中國數學史上的重要數學發現、反映數學與生活密切聯系，以及體現數學美（數學文化）的相關內容來考查。因此，教師可以建議學生利用閑暇時間開展數學閱讀，比如，瀏覽中國歷代數學家的重要研究成果，閱讀我國古代的高水平的數學著作以及介紹國外數學家研究成果的數學科普讀物，還可以閱讀一些關于數學美學和數學文化的讀物。開展好數學閱讀活動，不僅可以幫助學生拓寬視野、提高解決數學應用題的能力，而且還能夠讓學生了解中外數學家對數學的貢獻，有利于他們葆愛國情懷、立報國之志。

以上是筆者依據新課標、新高考考試要求的變化情況，結合新高考試題對數學建模核心素養的考查特點，對數學建模核心素養的培養方式所做的分析和探討。綜上所述，筆者認為教師應時刻關注高考新變化和新方向，在日常的教學中挑選與學生能力相適應的數學應用題，引導學生形成自己的解題方法，提高學生的數學建模能力，達到培育數學學科核心素養的目的。

【參考文獻】

[1]劉明.新課標視域下高中數學教學的再審視——從2019年全國Ⅰ卷“維納斯女神像”考題說起[J].江蘇教育，2020（35）：24-29.

[2]國務院辦公廳關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見 [EB/OL].http：//http：//www.gov.cn/zhengce/content/2019-06/19/content_5401568.htm.

[3]祁平，任子朝，等.指明改革方向繪就培養藍圖——高考評價體系育人視角的解讀與應用[J].數學通報，2020（4）：1-6，23.

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