藝術處理素材，凸顯思維形成過程

李麗和

[摘 ?要] 以浙教版“因式分解”（第1課時）為例，藝術處理教材與作業本中的素材.通過案例提出關于課堂教學的兩個觀點：一要深刻理解教材，揭示知識的形成過程;二要合理改編素材，激活學生的數學思維.

[關鍵詞] 素材;思維過程;因式分解

在平時的課堂教學中，有些教師在備課時把大量功夫花在尋找各種類型的素材上，找到素材后又直接拿來應用，忽視了學生思維的形成過程，導致一節課后出現的問題超多，這樣的課堂必然會使學生對數學的理解停留在知識的表層. 本文章借助于校教研組的一次磨課活動，以浙教版“因式分解”（第1課時）的三個教學片段為例，談談筆者對處理素材的一些實踐與思考.

案例片段

片段1 ?概念的建構.

在浙教版“因式分解”（第1課時）的教學中，筆者發現有些教師上課時直接給出了教材中的表格（如表1所示），并按照教材中的提示語——“請觀察下列兩種代數式變形的例子，它們之間有什么聯系？”——引導學生歸納因式分解的概念. 這樣的課堂，表面上看因式分解的概念是學生歸納出來的;實質上看，學生的思維是被教師“牽著鼻子走的”，缺乏概念建構的必要性的教學. 作為教師，應該思考：為什么教材要設計這樣的表格？表格中的式子為什么是“三橫”？為什么要比較表格中兩豎式子的關系？

鑒于以上思考，筆者設計了以下的教學過程：

問題1：整式乘法有哪些類型？請各舉一個例子.

設計意圖 ?通過課堂研討得出表2. 對比表1與表2，不難發現，雖然都列出了關于整式乘法的三個式子，但是類型不同：表1只包含了“單項式乘多項式”“多項式乘多項式”，表2還包含了“單項式乘單項式”. 雖然當等式的右邊是“單項式乘單項式”的形式時并非因式分解，但從學習的必要性來說，回避是不可取的，所以筆者選擇先將其提出，歸納出因式分解的概念后，再請學生判斷如6a2b=2a·3ab的形式不屬于因式分解.

問題2：整式除法有哪些類型？

設計意圖 ?通過問題2引導學生回顧已經學過的整式除法的兩種類型：“單項式除以單項式”“多項式除以單項式”.

問題3：若繼續學習，整式除法還會有哪些類型？

設計意圖 ?在問題2的基礎上，學生不難得出整式除法的第三種類型為“多項式除以多項式”.

問題4：現在老師舉一個多項式除以多項式的式子，如（a2-4）÷（a-2），你能化簡嗎？

設計意圖 ?在問題4的解決過程中，學生能感受到化簡（a2-4）÷（a-2）需要把a2-4變形成（a+2）（a-2），此時筆者追問：“a2-4=（a+2）（a-2）還是整式的乘法嗎？”“顯然不是，它與整式的乘法是互逆變形的關系. ”學生探究后答道. 通過此環節，學生能深刻感受到學習因式分解的必要性.

問題5：剛剛同學們舉例的整式乘法的式子左右兩邊可以交換嗎？

設計意圖 ?《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學教學不是把現成的結論教給學生. 數學教學是數學活動的教學，要引導學生自己尋求知識產生的起因，探索它與其他事物的聯系，在探索過程中形成概念、尋求規律、獲得結論. ”通過以上環節自然就生成了表1，有效體現了以上的理念.

片段2 ?概念的辨析與鞏固.

為使學生對概念有透徹清晰的理解，在概念形成后，還需要深入剖析概念的實質，幫助學生弄清概念的內涵與外延. 將教材中的以下兩道題改編后可以作為概念的辨析與鞏固.

題1：下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解？

題2：把左右兩邊相等的代數式用線連起來.

在課堂教學中，以上兩道題不能直接拿來使用. 題1改編的理由是包含的類型不齊全，還需要加上諸如6a2b=2a·3ab的式子，這個式子在片段1中已經得出，它的右邊是“單項式乘單項式”的類型，不屬于因式分解，此處需要給予解釋. 另外，還需要加上諸如-4=+2·-2的式子，以此說明判定因式分解的前提是式子兩邊均要是整式. 題2 改編的理由是它考查的是整式的乘法，即使不學因式分解的概念也能完成，且左邊與右邊的代數式都能一對一連線，這樣的題目缺乏探究的味道.

鑒于以上思考，筆者將這兩道題改編如下：

題1（改編）：下列等式中，哪些從左到右的變形是因式分解？

題2（改編）：從A組和B組中各選一個代數式組成等式，使得等式從左到右的變形是因式分解，并把它寫出來.

改編后的題2與原題2比較有三大不同：一是原題2中的多項式都在左、整式積都在右，改編后的題2中左邊與右邊均含有多項式與整式積的形式，這樣改編的優勢在于能體現思維不斷優化的過程，要想把所有的因式分解找出來，先找乘積式比較方便，從而深化對因式分解概念的理解. 二是原題2是連線題，改編后的題2則要求學生寫出從左到右的變形是因式分解的等式，這樣的改編再次鞏固了因式分解的形式. ?三是原題2左右兩邊的代數式能一一對應，四組等式都是因式分解，改編后的題2則左右兩邊有一組等式不成立，只有三組等式是因式分解，這樣設計的目的是引導學生注意判斷等式是否是因式分解還應考慮等號兩邊是否真的相等，從而培養學生發現問題、解決問題的能力.

片段3 ?概念的應用.

因式分解在初中數學中應用很廣泛，它是代數式的一種恒等變形，是后續學習分式、二次根式、一元二次方程、二次函數等知識的基礎. 本節課是章首課，因式分解的許多應用需要等整章知識學完后才會涉及，所以筆者準備從以下兩道題的改編來體現因式分解的應用，其中題1來自于教材，題2來自于配套的作業本.

題1：用簡便方法計算下列各題，并說明你的算法.

這個問題來源于教材后的作業題，體現了因式分解在簡便計算中的作用，筆者把這個問題改編為：

題1（改編）：根據所給的a，b的值，求代數式a2-b2的值.

改編后的題1不僅體現了因式分解在簡便計算中的作用，還能體現在代數式求值中的作用. 另外，對于初一的學生而言，之前學習代數式求值的方法主要有兩種，一是直接代入求值，二是先化簡再求值，通過本題的學習，增加了代數式求值的第三種方法——先變形再求值. 這樣使得學生對代數式求值問題的解決方法有了系統體驗.

題2：用一張如圖甲的正方形紙片、三張如圖乙的長方形紙片、兩張如圖丙的正方形紙片拼成一個長方形（如圖丁所示）.

（1）用一個多項式表示圖丁的面積;

（2）用兩個整式的積表示圖丁的面積;

（3）根據（1）（2）所得的結果，寫一個表示因式分解的等式.

這個問題來源于配套教材的作業本，其實這樣的問題在許多教輔資料中均可見. 筆者認為這樣的問題設計缺乏探究味，不能體現學生對知識的主動建構過程，即使對因式分解概念模糊的學生也能完成，所以筆者把這個問題改編為：

題2（改編）：有六張如圖甲的正方形、五張如圖乙的長方形和一張如圖丙的正方形拼成了一個長方形，請畫出這個長方形.

改編后的題2與原題2最大的不同是：原題2是把學生的思維牽著走的，利用等積法建構等式是第（1）問和第（2）問設計好了的，只有第（3）問才體現了因式分解概念的淺層次應用;改編后的題2首先需要學生計算出拼成的長方形的面積是6x2+5xy+y2，再挖掘題目隱含的等量關系（拼接前后圖形面積不變），接下來思考代數式6x2+5xy+y2要分解成哪兩個因式的積，最后根據分解的代數式的特征畫出圖形. 這樣的問題設計才能真正體現學生對知識的主動建構過程，實現從形到數再從數到形的過程，體現數形結合思想.

教學反思

數學課堂應該是“簡約而不簡單，豐滿而不蕪雜”，簡約的是課堂的結構形式，豐滿的是課堂的思維內涵.

1. 深刻理解教材，揭示知識的形成過程

教材凝聚了眾多專家的智慧，是教師教學的工具，是聯系師生教與學的載體. 深刻理解教材是有效教學的前提. 而深刻理解教材的第一要義是理解數學，即了解數學概念的背景，把握概念的邏輯意義，理解內容所反映的思想方法，挖掘知識所蘊含的科學方法、理性思維過程、價值觀資源等;此外，還應仔細分析教材的編寫意圖，包括教材的結構體系、內容順序、例題設計、習題安排等，以便立足學情，有的放矢地進行教學設計.

在浙教版教材“因式分解”（第1課時）中，編者利用表1歸納出因式分解概念;在課堂教學中，有些教師便直接拿出表1來歸納概念，這種做法不可取. 教材是供閱讀使用的，有時只能以“結果”的形式呈現出來，作為教師要理解這種“結果”背后的緣由，站在整個教材的編寫體系中去設計問題. 以本課時為例，按照浙教版教材的編排順序，學生先是學習整式的加、減、乘、除（僅限于單項式除以單項式、多項式除以單項式），之后學習特殊形式的整式的乘法，接下來學習因式分解，這樣的編排可為特殊形式的整式的除法做準備，為后面學習分式化簡打下基礎. 鑒于以上考慮，筆者在整式乘法的基礎上提出了整式的除法，讓學生明白建立起因式分解與整式除法的聯系是合理的. 這樣做不僅符合學生的認知，更是把因式分解融入到了代數運算的體系中.

2. 合理改編素材，激活學生的數學思維

數學教學是數學活動的教學，這里的活動主要指數學思維活動，數學思維的深淺度是衡量數學教學有效性的試金石. 關鍵是要把握住思維的方向性和思維的層次性. 片段3的題2（改編后的），學生要根據題意自主建構代數式，經歷從形到數、從數到形的過程，就是一個思維方向性問題，也是一個思維層次性較強的問題.

布魯諾指出：“課堂教學是一種持續不斷提出問題和解決問題的過程，思維永遠從問題開始. ”可以說，問題才是數學的心臟. 課堂教學中選擇典型的例習題，并合理設置問題，著力引導學生多角度、全方位分析問題，充分挖掘問題的本質，能有效鍛煉學生的數學思維，促進深度學習，落實核心素養. 片段2和片段3中的四個問題有三個來源于教材，一個來源于配套作業本，改編后的問題顯然更能促進教學目標的達成，激活學生的數學思維.

在課堂教學中，數學知識的學習只是手段，通過學習培養學生的數學思維、數學方法和思維能力，才是數學課堂教學的意義所在.

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