由“一節課”引發的課題研究

吳建成?彭亞紅

【摘 要】為了改變當前數學課堂教學中數學史“高評價，低應用”的現狀，筆者圍繞“數學史及其教育價值是什么”“為什么要在數學課堂教學中融入數學史”“如何在數學教學中發揮數學史的教育價值”三個問題展開了實踐研究。在研究過程中，主要以行動研究為主要研究方法，以提高課堂教學實效、促進教師的專業成長為目標，通過文獻綜述、問卷調查、教材梳理、案例分析、課堂實踐等途徑引領教師在實踐中進行探索研究。

【關鍵詞】數學史 數學史教育價值 小學數學

一、由“一節課”引發的思考

在“用字母表示數”的新授課上，學習新知后，教師利用多媒體課件出示了“你知道嗎”：“人們認識用字母表示數的過程是很漫長的。早在3800年前，古埃及人用‘堆’表示特定的數。公元4世紀前后，古希臘學者丟番圖開始用希臘字母表示數和一些運算，成為用字母表示數的先驅。這之后又經歷了1200年，16世紀的法國數學家韋達才有意識地、系統地用字母表示數，因此，他被尊稱為‘現代數學之父’。”播放時，教師環視課堂，學生看著課件，眼神空洞、一臉茫然，顯然這段音頻和文字沒有觸動他們的“情”和“知”。在練習環節，仍然有部分學生質疑“4+x既可以表示一種關系，也可以表示一個結果”這一結論。在后續的解決問題的過程中，甚至有的學生不知道該設什么為x。

當問及教師為何在新知后出示這樣一段“數學史”時，該教師認為數學史在數學教學中有重要的作用，想借此豐富學生的數學文化知識，激發其數學學習的興趣。但是，效果卻與預想相距甚遠。為什么會出現這些問題呢？帶著疑問，筆者首先對“數學史及其教育價值是什么”“為什么要在數學課堂教學中融入數學史”這兩個問題進行了追問和探尋。

二、數學史及其教育價值是什么

（一）什么是數學史

為了更好地認識數學史，我們查閱了相關文獻。數學史專家李文林在其著作中將數學史定義為：研究數學的發生、發展過程及其規律的一門學科。它主要討論的是數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會政治、經濟和一般文化的聯系。結合學生的認知發展規律，筆者對小學階段的數學史有了自己的理解。小學階段涉及的數學史并非完全是學術的、一般性的有關數學學科發生、發展過程及其規律性的知識和歷史事實，而更多的是教師根據教學對象的不同、教學目標的要求“再創造”的數學史，即數學名人逸事、數學典故、數學名著以及數學文化等。

（二）什么是數學史的教育價值

數學史有哪些教育價值呢？帶著這個問題，筆者查閱了有關數學史教育價值的研究文獻。研究后發現，很多學者都從不同的角度論述了數學史的作用、功能及價值，研究比較零散，不夠系統。于是，筆者參照有關教育價值的研究將數學史的教育價值分為內在教育價值和外在教育價值。

數學史的內在教育價值指數學史在促進數學學科生存和發展中所起的作用與意義。如沈南山和黃翔指出：數學史具有明理、哲思、求真三重教育價值。姚志敏等則從激發學生數學學習興趣，活躍課堂氣氛;促進概念、公式、定理的學習;幫助學生掌握數學思想等方面論述了數學史的教育價值。

數學史的外在教育價值是數學史對外部事物即人類主體所具有的作用和意義，相對于內在教育價值而言，它是一種外顯的價值。如數學史的文化教育價值展現出了數學家們的價值觀，彰顯著他們的奉獻精神;數學史的德育教育價值突顯了他們的榜樣力量和責任感;數學史的美學教育價值使學生在體味數學美的同時，美化心靈，提升審美素養。

據此，筆者對數學史的教育價值進行了梳理概括，具體如圖1所示。

三、為什么要在數學課堂教學中融入數學史

凡事只有明確方向，才能有的放矢。因此，在追問“為什么要在數學課堂教學中融入數學史”時，筆者查閱了相關的政策背景并進行了進一步的調查分析。

（一）教育政策背景

2016年9月13日，《中國學生發展核心素養》總體框架正式發布。“總體框架”指出，學生發展核心素養，主要指學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。在數學學科領域，數學史作為最具權威的課程資源及數學文化的重要載體，對在數學學科教學中促進學生人文底蘊素養及科學精神的形成起著重要的作用。

（二）課程改革的要求

數學課程標準指出，數學文化作為教材的組成部分，應融入整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，提高學生學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。

（三）教育實踐中的問題

筆者通過對校內56名數學教師進行問卷調查后發現：100%的教師認為數學史在數學教學中有重要的作用;71%的教師認為會在課堂教學中設計數學史方面的知識，但在呈現方式上，89%的教師只是在導入新課或在新課結束后作為知識拓展呈現給學生;86%的教師對于如何將數學史與數學思想的教學進行有機結合存在困惑。由此可以看出，數學史在小學數學教學中的應用存在“高評價，低應用”的現象。

究其原因，一方面是“依考定教”的現象阻礙了數學史在課堂教學實踐中的應用;另一方面是教師對于數學史和數學史教育價值缺乏深層次的理解。正如中國數學史專家李文林先生所言：“數學史除了為歷史、為數學而歷史之外，還應該為教育而歷史。”數學史與數學教育的貌合神離，主要是因為大部分教師還沒有確立“為教育而歷史”的意識，沒有真正領悟教育史的真正教育價值，而更多的只是關注自己的課堂是否穿上了華麗時尚的“數學文化”外衣。

由此可以看出，無論是從國家教育政策還是教育改革的要求以及解決教育實踐中的問題來看，將數學史有效融入數學教學是非常必要而且重要的。據此，筆者確定了如何在數學教學中發揮數學史的教育價值，以提高數學課堂教學實效，培育核心素養，實現育人目標這個研究方向，并于2017年6月以“小學高年級教學中發揮數學史教育價值的研究”為題立項為北京市教育科學“十三五”規劃2017年度一般課題。

四、如何在數學教學中發揮數學史的教育價值

如何在數學教學中發揮數學史的教育價值？為了追尋這個問題的答案，筆者和學校的5名骨干教師以及6名青年教師組成研究團隊，開始了為期3年的教學研究。

我們首先從研究對象出發確定第一步研究的內容，即通過問卷調查的方式從學生和教師兩個視角全面了解數學史的教學現狀及存在問題，再聚焦教材，以人教版教材為例，調查分析數學史在小學數學教材中的編排現狀。在此基礎上從宏觀到微觀，用理論指導實踐，開始將數學史融入小學數學教學的策略探究、案例研究、校本教材開發、數學史專題教育實踐中。

（一）研究內容

（1）數學史融入小學高年級課堂的現狀分析。編制師生調查問卷，調查分析當前數學史在本校數學課堂中的應用現狀如何，存在哪些具體問題及影響因素。

（2）數學史在小學數學教材中的編排情況分析。以人教版教材為例，以課題研究團隊教師為引領，調查梳理數學史在小學數學教材中的編排現狀，全方位分析教材中數學史的教育價值。

（3）將數學史融入小學數學教學的原則及策略探究中。初步提出評價是否發揮數學史教育價值的三個原則：

①過程性原則，即教學設計中是否關注數學本身發展的歷程。

②一致性原則，即學生學習過程與數學本身發展過程是否一致。

③延展性原則，即數學史的應用是否引發學生深入研究數學的愿望和興趣。

（4）數學史融入小學數學教學的案例研究中。

（5）基于數學課程標準梳理適合小學高年級滲透數學史的相關史料，開發適合本校高年級學生的數學史校本教材。

（6）基于數學史校本教材及數學史典型案例，開展數學史專題教育實踐。

（二）研究路徑

（三）研究成果

1.數學史融入數學教學的策略研究

對于這方面的研究，不少專家和教師都提出了自己的見解。例如，汪曉勤教授按照數學史與數學知識的關聯程度，在整合和改進國外學者Fauvel、Jankvist以及Tzanakis & Arcavi研究成果的基礎上，將數學史融入數學教學的方式總結為四類：附加式、復制式、順應式和重構式。為了便于一線教師理解和實踐，我們在汪曉勤團隊研究成果的基礎上，聚焦數學基本思想方法的教學及其目標的達成來探究數學史融入數學教學的策略。

（1）附加式——借數學史創設問題情境，感受數學思想方法。

（2）復制式——探究數學名題，在練習中鞏固數學思想方法。

（3）順應式——古為今用編制數學問題，在探究中感悟數學思想方法。

（4）重構式——重構數學史，經歷數學思想方法的形成過程。

2.數學史融入數學教學的案例研究

（1）數學史融入數學教學的案例開發流程。

在將數學史融入數學教學的案例研究過程中，我們反復設計，不斷總結，逐步探索出數學史融入數學教學的課例開發流程，如圖3。

（2）典型案例介紹。

通過梳理“用字母表示數”的發展歷史可知，代數符號的發展經歷了漫長的過程。它打破了從“確定的數”到“不確定的數”之間的壁壘，實現了由算術向代數的重大跨越。代數符號的發展大致經歷了三個主要階段：文辭代數階段、縮寫代數階段和符號代數階段。用字母表示數的歷史發展順序為：表示特定的數—表示未知數—表示一類數。看似簡單的兩步，卻跨越了1200多年的歷史長河。

根據歷史相似性原理，在數學概念發展歷史中，數學家遇到的困難對學生來說也會是一個難題，那么我們便可以預料，對于學生而言，用字母表示“一類數”是最大的難點。因此在進行教學設計時，我們依據用字母表示數的歷史發展軌跡，設計了相應的活動和問題。這里的設計并非是要嚴格按照數學史來設計問題，而是結合學生的認知水平，對歷史進行重構和再創造，將概念歷史的“歷史形態”轉化為“教育形態”。 據此，在新課伊始，我們結合學生已有的運用字母的各種經驗（用字母來表示特定的意義和數值）進行回顧（如圖4），為新知構建做好鋪墊。

此外，在之前的教材中，缺少了讓學生充分體會到用字母表示未知數這一知識點的教學內容，且在之前的學習中學生習慣了用具體的數字，對于用字母表示數存在抵觸心理，因此在教學過程中需要教師積極引導學生體會到字母出現的必要性。據此，教師在教學設計時以“概念表示方法的由來及發展變化”為切入點，將例題做了調整，并補充了相關史料和實例，以豐富學生的感知。在調整后，學生對于用字母表示數的認知變成了一個循序漸進的動態過程：用字母表示特定的數—用字母表示未知的不確定的數—用字母表示可變的數—用字母表示數量關系——用字母表示一類數。

3.數學史校本教材開發

在數學史融入數學教學的實踐過程中，課題組教師還參照數學課程標準及人教版數學教材，為不同年級學生精心編寫了數學史校本教材——“中國傳統益智課程”，其中包含 24個數學史教育專題（見表1）。校本教材中采用多種方式呈現數學史及重要的數學思想方法，力求引導學生在研究數學知識的同時，感受數學的多元文化價值。

4.數學史專題教育實踐

數學史專題教育實踐指在小學數學教學中，以數學史為專題，有目的、有計劃地設計、組織的各類教學活動。在課題研究過程中，課題組在全校范圍內組織“數學月——數理論道”活動。在活動中，學生選擇合適的數學史內容，自編自演，錄制關于數學史的數學劇。活動中，師生更加自覺、積極地了解數學知識演繹發展的歷程，對數學知識的發展進程（即思維過程）進行深入的思考、揣摩和解讀，并努力把它外化為表情、動作、道具、角色、語言、環境、故事或游戲組成的數學劇情節、劇本進行推進。活動中，無論是表演者還是“觀眾”，都熱情高漲，既增強了數學情感，增加了互動參與，加深了學習體驗，還深化了“數學思考”，實現了“以史育人”的教育目標。

【參考文獻】

[1]李文林. 數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]沈南山，黃翔.明理、哲思、求真：數學史教育價值三重性[J].西南大學學報（社會科學版），2010（3）.

[3]姚志敏，張新，孟廣武.試論數學史的教育價值[J].聊城大學學報（自然科學版），2014（3）.

[4]楊光，李琳.淺析數學史在教學中的教育價值[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2014（12）.

[5]吳駿，汪曉勤.數學史融入數學教學的實踐：他山之石[J].數學通報，2014（2）.

注：本文系基于北京市“十四五”規劃課題“以數學為主導的多元學科整合課程的開發與實踐探究”。