探尋規律本質?促進深度理解

何海華

【摘 要】學生學習數學規律時，必須結合已有經驗，深入探索其本質，才能真正地理解。本文以“商的變化規律”為例，進行了前期的調查摸底，從學生的現狀出發來凝視問題，針對此類問題，從學習內容的安排、學生的心理特點和教學處理方式等方面進行了深度分析思考，研究有效的教與學策略。通過整合內容、猜想驗證、對比聯系、多元表征等多種策略引導學生探究商的變化規律，促進學生對規律的深度理解，發展學生的核心素養。

【關鍵詞】數學規律 深度理解 策略研究

一、問題凝視

蘇教版數學四年級上冊學習了“商不變的性質”后，練習冊中有這樣一道練習題：

根據5400÷18=300，直接寫出下面各題的答案。

540÷18=（? ?）? ? ? 5400÷36=（? ?）

270÷18=（? ?）? ? ? 5400÷72=（? ?）

筆者下學期開學初進行了調查測試：隨機選擇了2個班，共計83人，全部正確26人，占比31.3%;錯誤47人，占比56.6%;未完成10人，占比12%。這樣一道填空題，正確率才三成，甚至還包括直接列豎式計算的。錯誤答案則五花八門。從學生卷面痕跡來看，有部分學生沒想到用商的變化規律來思考，有些學生是運用規律來填空的，但由于對規律的理解不夠透徹，因此找不準其中的規律。此類題目，教師們也反饋，學生掌握不好，雖反復講評，效果仍舊不佳。

二、成因透視

（一）內容編排的問題

本內容涉及的知識點是商的變化規律。蘇教版數學四年級教材中，只有商不變的性質，沒有安排商的變化規律的例題，練習中卻時有出現。人教版數學教材中有編排，是把商不變的性質和變化的規律安排在一課時中學習的。商的變化規律需要學生從靜態思考走向動態思考，這也是學生思維從運算走向關系的一個轉折過程。它與后續學習的常見數量關系、分子分母的變化、比的前項后項變化、正反比例意義，乃至中學的正反比例函數都有著千絲萬縷的聯系。

（二）規律理解表面化

四年級學生正好處于具體形象思維向抽象邏輯思維的過渡時期。學生要通過一大堆靜態的數學算式來學習動態的變化規律，對于靜態思維的學生來說，存在一定困難。所以學生對這種動態變化規律的理解只能浮于表面。沒有對規律進行深入的探索與思考，不與學生的生活經驗對接，要在變與不變中真正理解商變化規律的本質，有一定的難度，學習很難真正地發生。

（三）教學處理簡單化

教學中，教師一般都是讓學生通過觀察一大堆的算式，比較歸納得出規律，并且在商不變的性質內容方面花費時間較多，即所謂的重點。而對于商的變化規律，教材上沒有例題，沒有單獨安排，即使補充了教學內容，往往也是一帶而過，覺得只要熟背三條規律就好。這種重結果輕過程的教學方式也直接導致學生對變與不變規律一知半解。還有個別教師認為這僅僅是一道習題，學生實在不會可以列豎式計算，只要算對就好。這是純粹的應試教育。本課的教學目標有探索發現規律、滲透函數思想、培養抽象概括能力等，如果采用簡單的灌輸式教學，學生的創新思維、核心素養的培養都是空話。

三、出路審視

（一）整合內容，突破難點

不安排商的變化規律的教學，顯然不合適。僅僅作為練習題一帶而過，講解不到位，學生學得也不扎實。把被除數、除數的變化引起商的變化的三個規律合并在一課時中教學，學習的內容太多，也不夠深入，學生學起來有一定難度。因此，筆者建議重新整合內容，統籌安排兩個課時，“商不變的性質”為第一課時，“商的變化規律”為第二課時。這樣的整合安排可以適當分散學習難點，豐富了學習內容，也有更多的時間讓學生去探索規律，讓研究更加深入。

（二）猜想驗證，合作探索

猜想—驗證是數學學習的重要方法，它能促進學生積極思考、自主探究，培養學生創新意識。教學中，教師要積極營造民主寬松的學習氛圍，引發學生的主動猜想。如果僅僅靠幾個算式，讓學生觀察比較來學習商的變化規律，這樣的探索是假研究，是填鴨式的被動學習。因此，上課開始就可以放手讓學生去猜想：上節課我們研究了商不變的性質，知道了“在被除數和除數同時乘或除以同一個數（零除外），商不變”的性質。那么，除法中的變與不變還有什么規律？如果除數不變，被除數和商有怎樣的變化規律？如果被除數不變，除數和商有怎樣的變化規律呢？你們的這些猜想是否都正確，怎么辦呢？請你想辦法來證明，組織小組合作學習，探索驗證方法，看看哪組的方法多。讓學生明確目標后，教師要引導學生大膽猜想，積極思維，合作探究，給予學生充分的時間和空間，讓他們自主地去發現規律、研究規律、歸納規律。

（三）多元表征，促進理解

中年級學生的抽象思維能力還處于初步發展階段，被動引導學生進行抽象推理，學生理解有困難，教學效果不佳。教學中只有充分激發學生的主觀能動性，調動他們的已有知識經驗，將已有知識與新的知識產生聯系，學生對規律的抽象推理才能水到渠成。初步猜想了商的變化規律，教師可以引導學生通過融入事例、圖形表征、計算舉例等方式去驗證自己的猜想。在多元化的表征驗證中，學生會逐步溝通已有知識基礎，聯結生活經驗，遷移同化新知，從而深入理解動態的變化規律。

（四）對比溝通，聯結成網

三條規律格式是差不多的，學生比較容易混淆，只有把散狀的三條規律串聯起來，把知識點的內在聯系找出來，學生的知識才能形成網絡。課的結尾部分，出示三條規律，引導學生比一比，找一找今天學的商的變化規律與商不變的性質之間的聯系。通過比較溝通，學生發現把這兩條連起來就是商不變的規律。這樣的教學使學生不僅關注規律，而且理清了三條規律背后的聯系，從而對商不變的規律理解得更深刻、掌握得更牢固。

四、教學片段重構

（一）設疑導入，猜想規律

師：同學們，我們已經學習了被除數和除數同時乘或除以同一個數（零除外），商不變的性質。如果被除數和除數不同時擴大（或縮小）相同的倍數，商會發生怎樣的變化呢？請你大膽猜一猜。

根據學生猜想整理板書如下情況：

（二）多元表征，理解規律

師：你們的這些猜想是否都成立？你們有什么辦法來證明？看看哪個小組辦法多？

學生合作探究，教師巡視。

1.驗證第一組猜想：除數不變，被除數和商的變化情況。

師：接下來我們來研究除數不變的情況，哪個小組先來展示？

生1：我們舉個購物的例子，一支水筆5元，我有10元，可以買2支，10÷5=2;如果我有20元，可以買4支，20÷5=4。所以我們認為第一個“除數不變，被除數乘幾（除以幾），商就乘幾（除以幾）”的猜想是正確的。第二個不成立。

生2：

生3：我們組是畫圖來驗證的。

8個正方形排成2行，每行4個，8÷2=4;如行數不變還是2行，正方形有16個，每行就是8個，16÷2=8。我們發現，被除數與商的變化是一致的。

生4：……

師：像這樣的例子很多，那在除數不變的情況下，能舉出被除數與商的變化不一致的例子嗎？看來同學們的第一個猜想是成立的。（板書，生齊讀！）

2.驗證第二組猜想：被除數不變，除數和商的變化情況。

師：如果被除數不變，又是哪個猜想成立呢？

生1：我們小組認為第4個是成立的。舉個例子，24個蘋果，如果平均分給2人，每人12個;如果分給4人，每人6個;如果分給8人，每人3個。分得人越多，每個人分到的個數就越少。

師：生活中這樣的例子還有很多。

生2：我們組是通過列式計算來證明的。

①36÷2=18

②36÷4=9

③36÷12=3

從算式①到算式②，除數2到4乘了2，商從18到9反而除以了2。

師：那第③個算式呢？

生2：從算式②到算式③，被除數沒變，除數乘3，商反而除以3。

師：“反而”這個詞用得好。這就說明了當被除數不變，除數和商的變化是相反的。

生3：我們組通過畫圖來證明第4個猜想成立，第3個不成立。

24÷2=12

24÷8=3

24÷4=6

長方形面積相當于被除數，假如長方形的面積24不變，長變小，寬就變大了。

師：看來通過長方形的面積公式也能證明這個規律。 猜想4也是成立的。

（三）對比溝通，深化規律

同時出示三條規律：

師：同學們，三條規律之間有什么聯系嗎？同桌說一說。

生：我認為今天學的第二條和第三條規律，合起來就是第一條商不變性質。

師：是嗎？誰能來具體說一說？

生1：根據今天的學習，如果被除數乘3，商也要乘3;而除數乘3的話，商要除以3，商先乘3再除以3正好抵消，保持不變。

生2：商先乘3再除以3就抵消了。

師：完全正確！商乘3再除以3正好抵消，所以商不變。你們打算怎樣記住這三條規律？

生：只要掌握第二、第三條，第一條自然就記住了。除數不變，被除數乘幾，商就乘幾。被除數不變，除數乘幾，商反而除以幾。當被除數和除數同時乘幾時，商先乘幾再除以幾，那就肯定抵消掉，商不變。

師：那我來考考大家，A÷B=12，如果A除以6，B乘2，商是多少？

生：被除數除以6，商要除以6;除數乘2，商反而除以2，所以12除以6再除以2商等于1。

師：同學們很厲害！看來只要掌握商的變化規律，不管題目如何變化，都能輕松應對，萬變不離其宗！

【參考文獻】

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