符號意識的梯次培養策略

繆玉婷

【摘 要】符號意識作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的核心素養之一，已成為當下中小學教師實施課程教學的重要目標。符號意識抽象、內斂、可變，但卻是揭示數學規律、表征數量關系的集中體現。本文從感知數學符號、理解數學符號、思辨數學符號、表征數學符號四個方面，就“用字母表示數”這一課例進行分析，在教學過程中展開有梯次的符號意識培養。

【關鍵詞】符號意識 梯次培養 貫通聯系 核心素養

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將“符號意識”歸為學生核心素養之一，意味著在義務教育階段，學生不僅要能理解符號的意義，還要具備能使用數學符號來進行數學表征和推理的能力，這就要求學生在小學階段能形成一定的符號意識。

“用字母表示數”一課，是學生第一次正式學習代數的知識，是讓符號意識得以形成的最佳時機。教學中教師要將內隱的符號意識有效外顯，使課堂變得有深度、有內涵，真正幫助學生培養符號意識，學會數學的表達，體會數學語言的簡潔性和概括性，讓符號意識在學生的思維中生根發芽。

一、關聯觀察，感知數學符號

小學生對數學符號還缺乏整體認識，對字母表示數的內涵本質理解不到位，尚未形成數學表達的自覺性認知，這些都應該在教師的教學中予以突破。

教學片段1：

師：結合擺三角形的過程，說一說你用了幾根小棒。

生：擺1個三角形用3根小棒，擺2個用了2×3=6根小棒，擺3個用了3×3=9根小棒，擺4個用了4×3=12根小棒。

師：擺10個、120個呢？

生：10×3=30根，120×3=360根。

師：這里小棒的根數和三角形的個數有什么關系？

生：小棒根數是三角形個數的3倍。

師：如果用式子表示，小棒根數=三角形個數×3。這里的三角形個數可以是幾？

生：可以是1，2，3，…。

師：是的，三角形的個數是一個會變化的、不能確定的數量。那這個變化的三角形個數，我們怎么把它表示得更簡單呢？

生：用x來表示。

師：你想到了字母，老師用字母a表示可以嗎？當我們用a表示了三角形的個數，那小棒的根數可以怎樣表示呢？

生1：n。

生2：a×3。

師：你是怎么想到a×3的？

生：因為小棒的根數是三角形的3倍。

師：你很會觀察，想到了它們的關系。是啊，小棒的根數=三角形的個數×3，當三角形的個數是a的時候，只要乘3就表示小棒的根數。

師：如果三角形個數用字母b表示，小棒根數怎樣表示？三角形個數是c呢？為什么三角形的個數可以用不同的字母表示，而乘3卻是固定不變的呢？

生1：因為三角形的個數不能確定，所以可以用任意一個字母表示。

生2：小棒根數總是三角形個數的3倍。

……

這樣的教學，把觀察活動關聯起來，讓學生初步感知了數學符號——教材例1的設計以規律為載體進行探索，突出數學學習從特殊到一般、從具體到抽象的過程：先從具體的1個、2個、3個三角形需要的小棒根數入手，再到抽象出可用字母來表示三角形個數，是本節課中學生對字母符號的第一次認知。筆者在授課時著重突出“三角形個數是個不能確定的數量”這一本質，再用數符號來表示就會非常煩瑣，迫切需要用一種更為簡單的方式來表征，為學生從數符號飛躍到字母符號的認識提供了理論依據和心理支撐。學習中，學生能認識到字母也是一種數學符號，可以表征不能確定的數量，并且比用數符號表征更為方便。

二、本質內化，理解數學符號

認知心理學把知識分為陳述性知識和程序性知識，這種知識的分類主要是為了研究知識的表征和知識習得的心理差異。字母表示數就具有典型的陳述性知識和程序性知識相結合的特點。所謂的陳述性知識可以理解為用字母式表示數量的這個結果;程序性知識可以理解為用字母表征數量之間內在關系的過程，也就是教師經常說的字母式的“雙重性”。

教學片段2：

師：同學們，這里有100根小棒，拿出1根，這個過程怎么用算式表示？

生：100-1。

師：可以求出什么？

生：還剩下99根。

師：放回去，重新拿出5根呢？

生：100-5=95根，表示剩下95根。

師：好的，下面睜大眼睛看清楚，（老師抓出一把小棒）幾根？

生：x根。

師：你怎么想到用字母表示的？

生：不知道有幾根。

師：是的，字母可以表示不確定的數量。用字母b表示可以嗎？從100根里拿出b根小棒的過程，怎樣列式呢？

生：100-b。

（教師PPT出示等式的左半邊字母式“100-b”）

師：這個算式表示從總量100根里拿出了b根的小棒這樣的關系。

師：這個式子的結果是多少呢？盒子里到底還剩幾根小棒呢？

生：c根，因為不知道有幾根。

師：嗯，你再次想到了用字母表示不確定的數，剛剛我們為什么用a×3來表示小棒根數，而不是再換個字母？

生：因為小棒根數和三角形個數之間有3倍的關系。

師：是啊，我們是用它們之間的數量關系來表示的。同樣的道理，如果換一個字母表示剩余的小棒，就不能將這種關系表達出來，所以盒子里剩多少呢，還是100-b（在盒子上貼上100-b的標簽）。所以，100-b的結果還是100-b。（PPT出示等式的右半邊“=100-b”）。

師：等號右邊這個100-b表示什么呢？

生：表示剩下了100-b根小棒。

師：那現在老師來考考你們（隱掉等式，指向問題中填入的答案100-b），這個100-b到底能表示幾種含義？

生：我覺得能表示兩種含義，即能表示從100根中拿出了b根小棒，又能表示剩下了100-b根小棒。

師：說得真好啊，是的，100-b既可以表示從100根中拿出b根小棒這樣的數量關系，又可以表示盒子里剩下了100-b根小棒這個數量。所以字母式既可以表示數量關系，又可以表示數量。

……

相較于感知數學符號，理解數學符號是學習中的難點。究其深層次的原因，是字母表示數的“雙重性”導致的——它既可以表示數量關系，又可以表示數量。學生具象化的思維根深蒂固，習慣用數來理解和解決問題，停留在算術的思維定式中，難以接受用一個含有字母的式子來表示數量。教學中要培養學生的符號意識，設計遞進式的活動將符號意識的本質外化出來，讓學生逐步理解用符號來表示數量關系和數量，為后續方程、函數等代數學習奠定基礎。首先，借用前面的“a×3既可表示關系又可表示小棒根數”，先種下符號思想的種子。其次，通過“究竟還剩幾根小棒”的問題，引導學生發現，含有字母的式子，既可以表示數量關系，又可以表示數量：盒子上貼標簽“100-b”，借視覺沖擊提升思維，揭示出100-b還可以表示數量的靜態結果;信息化手段則動態演示對等式100-b=100-b兩邊意義的不同理解，學生直觀看到內隱的字母式“雙重性”，最后主動概括出100-b可以表示的兩種含義，實現將抽象的內容具體化、內隱的符號外顯化，“看”到了學生理解數學符號的過程！

三、邏輯貫通，思辨數學符號

思辨能力，是學生眾多能力中較弱的一種學習能力，思辨首次認知的數學符號，更是難中之難。因為字母式增加了抽象性的難度，學生很容易把“看上去很像”當作“完全一樣”，其主要原因還是由于符號意識的建立不到位，符號要表達的數量關系模型建構不立體，沒有貫通知識邏輯。所以筆者在新課時設計了一個易錯點的辨析，通過首印效應建立學生正確的邏輯思維，厘清字母式的本質。

教學片段3：

借用一個游戲環節中的素材：a+a=2a和a×a=a2兩個式子，展開思辨活動。

師：同樣是2個a，一個式子等于2a，一個等于a2，它們有什么區別呢？

生：2a是兩個a相加，a2是兩個a相乘。

師：這是從數的角度解釋了它們含義的不同和算式的不同。其實，我們還可以從形的角度，來解釋它們的不同。

師：如果我們用a表示一根小棒的長度，2a可以表示？

生：兩根小棒的長度。

師：那a2又可以用什么形狀來表示呢？

生：可以表示正方形的面積。

師：所以從圖形來看，2a表示的是一個長度，a2表示一個面的大小。你瞧，數形結合可以更直觀地比較出2a與a2的區別。

考慮到邏輯貫通的難度，本環節教學采用數形結合的形式，以形助數，更容易幫助學生直觀地辨析易錯點，讓學生真正建立符號意識并運用數的運算經驗來理解字母式中包含的數量關系的含義。

四、整體建構，表征數學符號

教學片段4：

（1）小華家到學校的路程是（? ? ? ）米。

（2）小軍家到小麗家的路程是（? ? ? ?）米。

（3）從家到學校，小麗比小軍要多走（? ? ? ?）米。

師：如果老師告訴你小麗家到學校的距離比小軍家到學校的距離遠300米，其實在告訴你誰比誰大300？

生：y比x大300。

師：那么，小麗家到學校的距離除了用y米表示，還可以怎么表示呢？

生：x+300。

師：那么，小軍家到學校的距離除了用x米表示，還可以怎樣表示呢？

生：y-300。

師：同樣的距離，根據數量關系，可以有不同的表示方法，小小的字母真神奇呀。

朱立明老師在其研究中提出相關觀點：學生數學符號意識可以從四個層次進行分析。這四個層次分別是數學符號的感知與識別、數學符號的理解與運算、數學符號的聯想與推理、數學符號的抽象與表達。可見，數學符號的表征是符號意識的整體建構，是外顯的符號意識。

課中增加了拓展變式題：將小軍家到學校的距離表示成x米，小麗家到學校的距離表示成y米，利用這兩者之間的關系來表征兩個未知量之間的關系，將未知量看成已知量，平等地參與運算，這恰恰是方程中最常見的表征情況！學生在探尋x與y的關系中，用一個未知量來表示另一個未知量，為列方程解決問題設誰為x的問題做出孕伏。同時讓學生明晰，將數量關系從復雜的文字描述變為簡單的字母式，這是數學符號的優越性。

教師要立足學生的發展之本，重素養意識的培養。而符號意識的梯次培養，是一個長期的、漸進的過程。教師無論在公開課，還是在常態課，均應充分關注到數學符號的感知、理解、思辨與表征四個方面，助力學生深度構建符號意識。