培養逆向思維，探尋解題新途徑

段振富　徐杰

[摘? 要] 數學思維是數學教學最終指向，在實際教學中教師對學生思維培養應該分為兩個方向：既要重視正向思維發展，也要關注逆向思維培養.文章以一道中考試題為例談談如何利用逆向思維在解題過程中另辟蹊徑、出奇制勝，然后結合對教材中求根公式的推導，闡述教學過程中如何培養學生的逆向思維.

[關鍵詞] 數學教學;逆向思維;解決問題;中考數學

數學思維方式與思維習慣對解題的正確率與解題過程步驟的優化程度影響很大，鑒于數學知識內在的邏輯性，因此提升數學思維的發散性與邏輯性成了老生常談的話題. 按照思維方向的不同分為正向思維與逆向思維，常規的思維是正向的，其順應知識的形成方向，呈現為大眾認知的普遍性;而逆向思維屬于創造性思維的范疇，是在常規思考問題的方式上反過來尋找問題解決辦法的方式，又被稱為求異思維. 逆向思維是從正向思考方向的對立面或者其他路徑入手，通過逆向或者轉化的方式，找到解決問題的新途徑[1].

從哲學角度來看，“逆”與“正”是對立統一的，彼此相輔相成，逆向思維能夠在一定程度上對正向思維起到完整性的彌補，能夠改善正向思維中思維定式的局限性. 在正向思維的基礎上發展逆向思維，能夠讓學生學會從不同方位、不同角度、不同層次思考問題，增加思維的發散性，促進學生對知識的全面理解、牢固掌握、熟練運用，從而提升學生的思維全面性與創造性.

從心理學的角度來看，培養學生的逆向思維，在一定程度上可以調整學生的心理狀態、優化學生的思維模式、拓展學生的思維路徑，實現對學生心理過程的方向重建.不管是從學生解題能力提升、心理過程完善、哲學觀念形成的角度來看，還是從學生個體觀念成型、創新意識形成、考試適應性提升的角度來看，都應該在日常教學中重視培養學生的逆向思維能力.

下面，我們以2020年福建省中考數學卷第25題為例作說明.

已知直線l：y=-2x+10交y軸于點A，交x軸于點B，二次函數的圖像過A，B兩點，交x軸于另一點C，BC=4，且對于該二次函數圖像上的任意兩點P（x，y），P（x，y），當x>x≥5時，總有y>y.

（1）求二次函數的表達式;

（2）若直線l∶y=-mx+n（n≠10），求證：當m=2時，l∥l;

（3）略.

對于第（2）問，按常規思路，考生多數采用正向思維解答：因為直線l1與直線l2的斜率相等，所以這兩條直線就是平行的.這也符合教師日常的教學要求. 但對于本題，命題者意在考查“為什么斜率相等就是平行的”，所以考生直接“用結論去證明這個問題的答案”顯然是不對的. 那么，考生到底該如何去思考這道題呢？從結論入手，倒過來思考！目標是要證明直線平行，我們就很容易想到從幾何方向入手，由角相等可以推導兩條直線平行，再進一步倒著推導——找到角相等. 依據題意，我們可以先證明構造的兩個三角形相似，然后由相關性質就可以證明我們需要的結論.

由于要根據n的取值范圍進行分類討論，有一定難度，所以很多考生丟分嚴重. 當然，本題也可以利用三角函數（tanα）來解決，計算過程比上面應用相似三角形的辦法簡潔，在此不再贅述.

除了上面通過角度的關系來證明兩條直線平行，考生亦可構造平行四邊形來證明兩條直線平行.以下，我們簡敘思維過程：

考生由k=k直接得出l∥l時沒有完整地進行分類討論，或表示邊長時沒有使用絕對值（代數解法表述不規范），或忽略了條件“n≠10”. 根源在于思維不嚴謹，分類意識不夠，邏輯能力不強，逆向思維能力沒有得到培養和發展.這提醒我們，在日常教學中需要讓學生形成變通思維，即當正向思維受阻時迅速轉向逆向思維.

對學生逆向思維的培養不是僅通過一節專題課就可以實現的，而是需要教師在備課時通過先入為主的預設對學生進行逆向思維的培養，不斷把逆向思維融入具體的教學過程中，比如常見的定義（概念）、定理、公式的學習過程中，通過長期的積累和摸索發現能夠滲透逆向思維的地方. 具體而言，筆者總結了以下幾方面常見的逆向思維滲透的模型.

首先，在數學概念教學過程中，教師要總結歸納某些概念的雙向性，幫助學生在概念的理解上有全面的認識.例如，在“絕對值”的概念學習時，教師既要從正向提問“3的絕對值是多少”，也要從逆向提問“什么數的絕對值是3”. 在這樣的雙向思考下，學生才能對有理數的絕對值形成完整的理解.

其次，在數學定理的教學過程中，也要適當有意識地對學生的逆向思維進行針對性訓練. 例如，在學習了幾何圖形的性質定理后，教師可以引導學生思考將性質定理的題設和結論顛倒過來，探究能否得到這個圖形的判定定理.養成這樣的逆向思考的習慣后，學生自然能在面對一個新的圖形時，有意識、有方法地進行自主探究，在這個過程中學生的學習能力自然能夠得到提升.

再者，在數學公式的教學中，教師也可以有意識地進行公式的逆向觀察，培養學生獲取信息的能力. 例如，在“加權平均數”的教學中，為了決定錄取哪位應試者，教師通常會給出應試者各項考核項目的成績，要求學生計算成績的加權平均數，決定錄取結果.反過來，教師也可以給出應試者成績的加權平均數的計算過程，讓學生分析考官對哪些考核項目更加重視，應試者在哪些考核項目上體現出了優勢或劣勢，應試者應該注意培養哪方面的能力才能有更大的機會被錄取. 這樣的逆向觀察有助于學生加深對公式結構特點的認識，為創造性地利用數學公式解決問題打下基礎.

筆者結合一元二次方程求根公式的教學，展示如何結合公式的推導過程進行逆向思維的培養. 在教授公式法解一元二次方程時，通過對一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）進行配方，得到

x+2=. 根據平方的非負性，進行分類討論：①當Δ=b2-4ac>0時，推導出一元二次方程的求根公式x=，x=;②當Δ=b2-4ac=0時，x=x=-;③當Δ=b2-4ac<0時，方程無實數根. 進一步，在①②兩種情況下，推導出根與系數的關系：x+x=-，xx=.至此，學生就可以開始使用求根公式解一元二次方程了.

又如，教材最后根據求根公式，能夠推導出具有特殊結構的結果，即根與系數的關系：“兩根之和”與“兩根之積”. 誠然，這個結果在形式上非常簡單，便于記憶. 那么我們能否進一步引導學生根據兩根的結構特征，推導出兩根其他的運算形式與系數的關系呢？比如x-x，（x≠0），x+x，x-x等.

通過上述的例子，我們可以發現，教師在教學中要善于研究和利用公式的代數結構，才能充分發掘公式的內涵，在學習新公式的同時對以往所學知識適當進行聯系，實現觸類旁通的目的，在推導過程中也能培養學生數學運算的核心素養. 在不同的思維路徑下，學生還能更加深入地思考在推導求根公式的過程中為什么要分類討論，根的判別式的作用在哪里，相比推導出公式后就急于通過大量的解方程的練習鞏固公式的應用，這樣的逆向思維對于學生建立完備的數學知識體系顯然是大有裨益的.

總體來說，不管從學生解題能力提升、心理成長的角度來看，還是從學生哲學觀念養成、創新意識發展的角度來看，培養學生的逆向思維都是初中數學教師的應有之舉. 結合近幾年在這個領域的嘗試和摸索，筆者總結出了一些培養學生逆向思維的經驗，在此與同行分享：

（1）從思維結構上來說，逆向思維與正向思維是對立統一的，是相輔相成、緊密相關的一個整體. 在我們日常教學過程中有很多環節都蘊含著滲透逆向思維的意識，比如因式分解與整式乘法的關系本身就是互逆的，以及勾股定理和勾股定理的逆定理亦是如此，許多幾何的性質定理和判定定理同樣互為逆命題，如角平分線、線段垂直平分線、平行四邊形等. 在這些內容的教學過程中我們都應該抓住時機，培養學生的逆向思維.

（2）逆向思維是在應用的過程中培養起來的. 數學中有很多的運算形式是互逆的，如乘方與開方、乘法與除法、加法與減法. 它們之間彼此依存，又可相互轉化，共同反映某種變化中的數量關系. 在同一級運算中，又可以相互轉化[2]，如減法法則可以轉化為加法法則. 很多法則在應用的過程中也是采用逆用的方式來解決問題的，如同底數冪乘法法則、冪的乘方法則，有很多題目都需要公式逆用的思路來解決問題[3].

（3）逆向思維在初中數學學習中最常見的運用是反證法. 反證法從待證命題結論的反面入手，即假定結論的反面是正確的，然后結合已知條件，經過邏輯推理引出一個新的結論. 而這個新結論或與題設相矛盾或與已學過的定理、公理相矛盾，從而得出原命題結論的反面不正確，所以原結論正確. 當題目有“至少”“至多”等字樣或以否定形式出現時，一般采用的就是反證法. 最近幾年全國各地中考試卷中反證法出現的頻率有增加的趨勢.

總之，逆向思維的培養不能靠短時間的突擊訓練而完成，如果教學中教師有逆向思維培養預設的意識，經過一段時間的訓練，讓學生在潛移默化中形成雙向思維模式構建的心理能力，這對提升學生的創新思維能力以及提供新的解題途徑有很大的幫助.

參考文獻：

[1] 彭石山. 逆向思維在解題中的應用[J].? 中學數學教學參考，2021（24）：33-36.

[2] 沈曉生. 引導初中數學深度學習的逆向思維能力培養策略[J]. 中學數學，2021（16）：36-37+49.

[3] 李福興. 探討逆向思維及其在數學分析中的應用[J]. 賀州學院學報，2008（03）：118-121.