數學課堂教學“四三三”立體式優化策略

段志貴 張雯 鄒翔如 胡夢迪

【摘要】數學課堂教學的優化體現在對課堂教學“怎樣評價”“優化什么”和“怎樣優化”等問題的解決過程之中。文章提出數學課堂教學的優化要立體式推進，以“評價·修正·構建”為導向，以評價課堂教學四個基本點為前提，以修正目標制訂、內容篩選和方法選擇三條主線為引領，以構建“情境—認知”系統、“問題—動力”系統、“師生—文化”系統三個子系統為重點，著力建設促進學生全面發展的生態課堂。

【關鍵詞】數學課堂教學;優化策略;生態課堂

長期以來，受應試教育的影響，中小學數學課堂教學存在許多問題。諸如，有的課堂對學生主體關注不夠，有的課堂過度情境化，有的課堂重點不突出、結構臃腫、效益低下，還有的課堂評價方法單一，不能有效地激發和調動學生的學習興趣。更為突出的問題是一部分教師想上好課，但又不知道如何優化課堂教學，找不到優化課堂教學的路徑。針對中小學數學教師普遍存在的課堂教學“怎樣評價”“優化什么”和“怎樣優化”等問題，筆者和課題組成員進行了持續20多年的研究與實踐，旨在探索一條指導廣大中小學數學教師進行課堂教學優化的行之有效的策略。

一、主張：探索課堂教學優化新模式

所謂課堂教學的優化，是指對現有課堂教學進行的改進和加工，使之更切合學生學習的需要、教師教學的需要及教學質量提高的需要。深入研究課堂教學的優化策略，就是要系統地研究課堂教學的學理基礎、存在問題以及創造性解決教學問題的具體策略和方法。為此，我們借鑒日本課例研究PDCA循環理論[1]、美國威金斯等的UbD理論[2]設計課堂教學優化過程，以崔允漷的有效教學基本框架[3]和裴娣娜的目標、內容、進程、方式、反思“五要素說”[4]為分析課堂和優化教學的理論依據，著力解決廣大中小學數學教師在課堂教學評價與優化過程中存在的不會評價、不懂優化和不清楚怎樣優化的問題，提出數學課堂教學的優化要以構建數學生態課堂為目標，以“評價·修正·構建”為導向，采用“四三三”立體式優化策略不斷改進和完善課堂教學。其中，四個基本點的評價是課堂教學優化的原動力，三條主線的修正是課堂教學優化的推動力，三個子系統的構建是課堂教學優化的驅動力。“四三三”立體式優化策略的操作流程構成了一個正四面體實踐模型（如圖1）。

二、起步：從改進課堂教學評價入手

優化課堂教學的起點是學會課堂教學評價。許多專家在好課標準上都有自己的主張[5-8]，雖然專家們的側重點各有不同，但這些主張的共同指向是：學為主體的生本理念（學生觀）、內生動力的知識生長（學習觀）、教學相長的師生互動（教學觀）以及平等和諧的課堂生態（課堂觀）。據此，我們將這些共同指向提煉為日常教研評課或個人反思的四個維度，亦可稱為數學課堂教學評價立足的“四個基本點”，即以促進學生發展為出發點，以關注知識生長為著力點，以實現教學相長為著眼點，以構建生態課堂為歸宿點[9]。

（一）立足課堂教學評價的出發點，看是否促進了學生整體的全面發展

核心素養理念下的教育，本質上就是要發展學生的綜合素質。在教學目標上，要從注重知識教學為主轉變為以學生發展為本;在教學內容上，要根據學生的需要建構知識;在學習方式上，要努力做到以學生自主學習為主。許多教師在課堂中雖然也設計了學生自主探究的活動，但沒有啟發學生為什么要學習這一內容，怎么去思考知識的發生、發展，相關概念或知識點之間存在什么關聯等，只是單一地訓練學生的解題能力或計算能力，而忽略了他們提出的疑惑等，無法激起學生進一步學習研究的興趣。以初中數學“合并同類項”一課為例，如果教師對于為什么要學習“合并同類項”這一節課，為什么要定義同類項這個概念，合并同類項和乘法分配律之間有什么聯系和差別等問題熟視無睹，課堂上只是訓練學生的計算能力、解題能力，那么學生沒有體會到學習這節課的必要性，也就不能真正全方位地提高學習興趣和數學核心素養。

此外，評價課堂教學是否做到了助力學生全面發展，體現在教師能否關注到學生學科知識的學習理解，促進學生的身體健康及全面發展;是否啟發學生體會到學習內容的價值與意義，激發他們的學習興趣，提高學習的積極性、主導性和創造性。

（二）立足課堂教學評價的著眼點，看是否激發了學生學習的內在動力

一節好課，學生肯定是主角。沒有學生內在動力的真正激發和調動，就不會是真正好的課堂。對學生的學的評價，要集中在學生是不是學得主動，能夠積極思考和活學活用上。教師教的評價，亦服從于學生學的評價，重點看是否能促進學生的理解，是否有利于學生的自主學習。有的教師課堂上能夠科學地傳授知識，講解相關概念、公式等，然而常常以教為中心，使得學生學習被動，缺乏自主學習、建構知識的過程。對學生學的評價，則要指向幫助學生更好地了解自我學習成果，一般包括自評、他評兩類。有的教師課堂提問只停留在機械型、識記型的層面，學生缺少思維的發散性，對自己學習成果的判斷只來自教師“對”或“不對”的回答，難以從中獲得更大的進步。

數學課堂教學首先應該給出學習這節課知識的必要性，激發學生學習興趣，再從學生的最近發展區出發，設計具有一定思維含量，能引發疑問的問題，最好是開放性問題，讓學生在自主探究與相互討論中，逐漸發現問題，生長思維。

（三）立足課堂教學評價的著力點，看是否形成了教學相長的有效互動

課堂上，教師與學生是主人公，無論是學生的學習狀態，還是教師的教學狀態都應受到關注。學生的學習狀態一般包括五個方面：參與狀態、交往狀態、思維狀態、情緒狀態、生成狀態。教師的教學狀態則要從四個方面考慮：數學素養、教學設計、師生交往、課堂注意。師生共同的狀態在于交往。交往即是互動，它能夠較深刻地反映出課堂教的是否適切，學的是否深入，教學活動是否有效。在教學中，有些學生對教師的提問雖然都能積極回應，師生、生生之間相處也融洽，但學生完全按照教師的指示行動，缺少與同學的交流，也缺少自己獨立的思考，更不用說對教師提出質疑。因此，這樣的課堂無法形成教學相長的有效互動。真正有效的課堂教學，教師要選擇恰當的問題啟發學生思考，時刻注意他們的反應。這一過程也是教師學習的過程。例如在初中“銳角函數”一課中，教師給出了三角函數的概念，但是學生對于為什么要定義銳角三角函數，明明用線段比定義的概念為什么稱之為函數等問題感到困惑并提出疑問，這時教師應高度重視學生的問題并積極和學生一起探究。教師要跳出課前預設的限制，重視課堂知識學習的理解性與發展性，注重學生學習過程中的知識生成，把學生的學習愿望和興趣真正激發和調動起來。

（四）立足課堂教學評價的歸宿點，看是否建構了平等和諧的課堂生態

課堂生態中的“生”，生命之意;“態”即形態、樣子[10]。課堂生態是指課堂生命（學生及教師）及其生存空間或環境的狀態[11]。數學教學的目的不僅是數學知識的傳授，還應著眼于學生多方面素質和能力的提高。相對于學科知識的獲得，數學教學活動所具有的文化氛圍及其融合的情感因素，能夠促進學生的科學理性發展，這對于一個人的成長具有十分重要的意義。因此，讓學生在課堂上自然生長，也是對人性的一種解放[12]。同時，平等和諧、相互尊敬的課堂生態，本質上就是追求自然、真實的課堂。

對課堂教學的客觀評價，一方面，要建立師生間的平等關系，促進課堂和諧氛圍的養成。在教學中，教師應主動將課堂的主導權交給學生，讓學生發揮自身的學習主體地位，激發他們學習的主觀能動性。另一方面，要注重各種教學元素（諸如興趣、歷史、文化等）的融合，尊重學生天性，發展學生個性，創設自然和諧的課堂生態。比如在“勾股定理”的教學中，教師可以引入數學史和名家證明、組織小組合作交流、介紹人文情懷與價值追求等，讓學生的好奇心、理性精神、探究意識、意志品質等在知識的學習過程中充分得到解放和生長。

三、指向：修正課堂教學優化主線

教學設計一般指的是依據課標要求以及學生特點，科學合理地選擇教學方法、組織教學內容、安排教學程序。課堂教學相關的因素很多，有教師、學生、教學目標、教學方法、教學內容、教學環境、技術手段等，它們都在一定程度上影響著教學的安排和組織。基于循證研究的手法，我們采用德爾菲法咨詢了有關專家，并與一線教師進行交流，總結梳理出課堂教學優化的主線主要包括目標編制、內容篩選和方法選擇。

（一）優化課堂教學要讓目標編制更貼近學生需要

教學目標是教學所要達到的具體標準，教學目標的明確與否直接關系到整堂課教學的成敗。誠如布魯納所說，任何學科可按照某種正確的形式教給任何兒童。目標設計不要拘泥于某個知識點，要強調單元整體教學，引入大概念，指向問題解決。為此，教師要認真研究課程標準要求，洞悉各章節之間的內在聯系，明確該課程總的教學任務和目標，將每一節課的局部跟整體聯系起來。教學目標的分解不應拘泥于知識點的理解與掌握，而要放眼在知識背后的能力培養和素養提升上。對數學課堂而言，教師要結合教學內容教會學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，培養他們的數學素養，提高他們的數學應用能力。

以高中“弧度制”教學為例，在之前的學習中，學生已掌握了用角度制來衡量角的大小，熟悉了角度制的應用。根據這個認知現狀，教師首先要確定“弧度制”的教學目標，并指向大概念“除了用角度制度量角的大小，還有其他的度量方法嗎？”引導學生通過回憶角度制的弧長公式，觀察發現當角度一定時，弧長與半徑的比值保持不變;然后再從一系列的探究活動中，讓學生理解用弧長與半徑的比值可以衡量角的大小，從而掌握角度、弧長以及半徑三者之間的數量關系。在具體目標的制訂上，教師還要注意學生情感、心理上的發展，并明確可觀察、測量、評價的方法，不簡單、籠統地用“了解”“理解”“運用”刻畫，要說清楚，“理解”到什么程度，“運用”到什么水平。要依據因材施教的原則，研究每一節課的具體教學內容和學生應掌握的程度，研究學生學習規律，分析各種可能出現的情況，使制定的目標要求既具體又可適度調控。

（二）優化課堂教學要讓內容篩選更切合目標需要

教學內容是教學的根本，應值得教師特別關注。教學內容可以是教材某章某節內容，但不能限定于教材。教材提供了一種教學藍本，只是一種教學路徑。為完成內容，教師可以依據教材進行組織，也可以根據目標要求和自我教學特點，有選擇地加以利用，正所謂“不是教教材，而是用教材去教”。一般來說，一節課教學內容的優化設計，要考慮教學任務與該內容在整個數學知識體系中的地位與作用，以促使學生形成完整的知識結構;應抓住有助于促進學生能力和素養提升的最主要、最突出的部分加以拓展延伸，并安排教學活動。

具體地說，選擇教學內容時，一要考慮課程標準和教材，仔細研讀相關資料的內容，找準知識的本質;二要考慮學生的學習實際，讓他們從原有的知識基礎或者生活經驗出發，帶著思考，生成新知識;三要考慮知識的內在邏輯，數學是系統化、結構化的整體，每個知識點都處在相互聯系的網絡當中，教師應揭示這些聯系，既可以讓學生以舊探新，更好地理解知識，又能讓學生形成知識結構，提高思維能力。

同樣，我們以“弧度制”一課為例。本節課的重難點在于理解弧度制的概念與意義，弄清1弧度的含義，角度與弧度的換算等。因此，教師應從學生熟悉的角度制出發，根據角度制的弧長公式引導學生探究“弧長、半徑都是十進制的實數，那么角度是否也可以用一個十進制的實數度量呢？”，進而通過研究圓的問題模型，找到“角度一定，弧長與半徑比值一定”的關系，得到弧度制的概念。此外，教師還可以類比量繩、角度制度量角的方法，讓學生真正弄清楚弧度制如何度量角的大小，并推導出弧長公式與扇形面積公式。這樣學生不僅能掌握結論性的知識，也能從過程中體會到引入弧度制的價值與意義。

（三）優化課堂教學要讓方法選擇更適切教學需要

確定了教學目標和教學內容，還要選擇適切的教學法。同樣的教學內容在不同教師的執教下差異很大，其原因除了教師的知識水平和教學態度，還有教學方法的因素。有的內容是基礎性知識，只需要簡單識記或一般理解就行，適宜采用整體性、結構性教學方法進行系統講授或圖示講解;有的內容需要應用、分析，則可以采用引導式講解，或問題教學法;有的內容要求較高，理解和掌握有難度，則適宜采用發現式、探究式教學法。教學方法的使用不是孤立的，應該被寓于特定的問題或情境之中;也不是單一的，應該與其他方法綜合在一起。多種方法的交錯使用不僅能及時檢查學生的知識掌握，也能在一定程度上照顧到不同基礎的學生，實現差異化教學。

在教學中，教師應把課堂還給學生，讓學生自主參與數學學習活動，真正成為學習的主人。就“弧度制”一課的教學而言，可選用以引導探究為主的方法，如發現法、探究法等，并輔之以講授法、討論法，在學生自主探究的基礎上，引導他們發現角度一定時，弧長與半徑比值的關系，進而給出形式化的弧度制定義，促進他們對弧度制的理解。

四、重構：建設課堂教學生態系統

現代教育強調以人為本。生態課堂貫穿這一理念，尊重規律，關注學生的現實需要和未來發展，盡顯教育的本來面貌。與傳統的課堂不同，生態課堂強調課堂教學要以學生為中心，尊重每一個學生個體的感受和需求，實現課堂教學與學生發展的內在統一。建設生態課堂是優化課堂教學的目標。基于典型課例的分析，我們先后采用問卷調查、訪談以及其他實證研究方法，確定課堂教學優化的主導要素，提出課堂教學的優化設計要以目標編制、內容篩選和方法選擇為三條主線。基于課堂教學優化目標，提出構建數學生態課堂三個子系統，即“情境—認知”系統、“問題—動力”系統以及“師生—文化”系統，如圖2所示。真正優質的課堂，理應是這三個系統都非常健全，也只有這三個系統相輔相成，才能建成真正的智慧型生態課堂。

（一）建構課堂教學“情境—認知”系統

從知識傳授的視角看，任何課堂教學都不能沒有知識講解，所以數學課堂教學“情境—認知”系統的構建成為生態課堂構建的必備要素。學生的認知特點表明，數學教學從具體出發能夠使學生更容易學習。在教學中，特別是新授課，幾乎都會有教學情境，這些情境有的是與學生經驗相聯系的生活實際問題，有的是在之前的知識上生成的數學問題[13]。但無論是哪種類型，情境創設的目的都是讓學生能夠親身體驗、感知數學的認知過程。有效的數學情境是一節數學好課的重要基礎，能夠影響學生學習的積極性和求知欲，將他們引入學習的佳境。

優化課堂教學，重要的是要形成知識教學的“序”，即知識教學的邏輯系統。為此，我們提出了構建數學課堂教學“引—墊—現—練”的邏輯架構。比如，在高中“弧度制”的教學中，教師通過創設生活情境，展示摩天輪旋轉形成角的實例，提出“怎樣度量角”的問題，既與上節課的問題聯系在一起，又能激起學生的探究欲，這是“引”。在概念發現環節，教師首先創設數學情境，利用圓的問題模型，引導學生探究并得出角、弧長、半徑的關系，這是在“墊”。后續通過相關內容的分析，生成弧度制的概念，這就是“現”。在拓展延伸的環節，教師再次運用問題情境讓學生思考或有指向的訓練，幫助學生利用類比的方法，真正弄清弧度制如何度量角，這便是“練”。

建構“情境—認知”系統，就是要突出和加強課堂教學主線的設計，不但要重視學生對結論的掌握情況，更要注意過程，注重揭示數學知識的內涵，引導學生掌握所學內容的數學知識及其蘊含的數學思想方法。在這條主線上，要注重教學難點的突破，要讓學生在原有的知識基礎上，在暴露知識的發生過程中，明確教學難點的本質特征。通過由表及里的深入剖析，讓學生明了難點內容（結論）是在什么條件下產生的，是怎樣產生的，它與相關的數學知識有何聯系與區別，它應用于什么范圍等。

（二）完善課堂教學“問題—動力”系統

從人才培養目標看，教育不應拘泥于知識傳授，而應該加強能力的培養，而“問題”的牽引是能力培養的重要路徑。因此，“問題—動力”系統也是生態課堂的重要組成要素。然而，問題驅動不是在引入環節設計一個問題那么簡單，也不是教師滿堂提問，問題應該是有效的、必要的，能夠激起學生思考，促進他們思維發展的。“問題—動力”系統的構建要著重于抓住核心問題的設計，教師首先在自己的頭腦中建立起知識的結構，思考“為什么引入”的問題，再從學生的最近發展區出發，設計包含一定思維含量，能引發學生疑問的問題，最好是開放性問題，讓學生在問題解決的過程中，生成知識。

問題設計一般包括情境性問題、分析性問題、鞏固性問題以及總結性問題四類[14]。在高中“函數的概念”的教學中，教師可以采用以下四個步驟具體組織實施。

1創設情境性問題，誘導學生產生疑惑

教師可以先帶領學生復習初中的函數概念，再根據這一概念，提出一個能讓學生產生思維矛盾的問題：如果無論[WTBX]x取怎樣的值，y一直是一個常數，x、y究竟是不是函數關系呢？由此激發學生進一步探究函數概念的好奇心。利用數學問題，引發學生思考，不僅使其自主進入數學學習活動中，也讓其初步感知函數概念，為接下來的問題解決與概念提煉做好鋪墊。

2設計分析性問題，誘導學生生成概念

教師可以通過設計學生容易解決的實際問題，諸如人口數據表、自由落體隨時間變化下落的距離、工資情況圖示等，引導學生利用集合語言闡述上述問題的共同特點，使學生經由思考、討論，理解和掌握函數概念的本質。同時，教師還可以進一步給出用圖象語言和文字語言描述的問題，幫助學生從對應的角度，比較完整地生成函數概念。

3利用鞏固性問題，誘導學生加深理解

函數概念的得出并不是教學的終點，此時學生對知識的理解還不深刻，教師應該繼續利用幾個鞏固性問題引領學生辨析[15]，諸如何為定義域？何為對應關系[WTBX]f ？何為值域？何為“每一”？何為“唯一”？引導學生體會到函數定義域的必要性;認清為什么要引入集合對應關系;認識到值域是集合[WTBX]A在對應關系的作用下生成的，可以看作集合B的一個子集;理解定義中這兩個詞語蘊含的抽象性與嚴謹性。

4提出總結性問題，誘導學生提煉本質

教師可以設計以下總結性問題[16]，諸如，本節課學習了哪些內容？能舉例說明什么是函數嗎？課上是怎樣得到函數概念的？還有什么問題嗎？等等，引領學生理解函數概念的本質，淡化函數概念的形式;關注函數概念的形成過程，進一步感悟數學抽象的基本思想;初窺函數知識體系的全貌，激發繼續學習的欲望。

因此，“問題—動力”系統的構建要注意以下問題：一要注意問題的啟發性，多設置能抓住教學內容的內在矛盾及其變化發展的思考題，為學生提供思考的機會;二要注意問題要有趣味性，要讓學生在興趣的驅動下生疑，在解惑的過程中掌握知識;三要注意提問的預見性，事先預想學生在解決問題時可能出現的狀況，據此設計教學方案;四要注意問題的難度性，問題應在學生的最近發展區，要保證學生經歷思維發現的過程，而不會感到高不可攀。此外，也要注意問題提出的語言、形式、層次性等，盡量用開放性的問題代替封閉性的問題，用生成的問題代替預設的問題，讓學生在自主探究中理解知識。

（三）優化課堂教學“師生—文化”系統

從健全人格的要求看，數學課堂應該充滿人文素養，要努力建立師生平等、合作交流的優質課堂。因此，“師生—文化”系統的構建也是生態課堂建設不可或缺的一項內容。生態課堂中的每一個因素都是重要的，教師和學生都要各自扮演好自身的角色，甚至連教學的環境都要被凸顯出來[17]。優化課堂教學，建設生態課堂，就要努力在課堂建立起濃厚的人文情懷，讓課堂充滿師生間尊重與關愛、討論與評價、引導與激勵的氛圍，主要有以下三個方面。

1要讓課堂在對話交流中融合尊重與關愛之情

在課堂上，教師應關注每一名學生的發展。每一名學生都有成長的愿望，都應該被尊重，無論他們的成績好或壞，性格是否受到大眾歡迎，都應該得到關照。建設生態課堂，就要努力營造和諧愉悅的課堂教學氛圍，著力培養學生良好的學習興趣，重視情感因素的教育價值，加強課堂師生、生生之間的情感溝通。要把師生情感的和諧與融洽作為其追求的一種心理環境，從理性與情感統一的高度來駕馭和實施教學活動。在具體教學過程中，教師應以幽默智慧的教學語言激活學生的學習力、思考力，讓學生輕松掌握每一節課的精髓。

2要讓課堂在互動交往中體現討論與聆聽之意

教師與學生最主要、最重要的交流就是課堂上的師生互動。師生互動一般包括三個維度：教師目標導向行為、學生影響學習行為和教師反饋與評價行為。在數學課堂上，教師展示、提問、講解、質疑，學生表達自己的想法、回答問題、提出問題，教師再次反饋評價或者追問。在這樣的互動過程中，學生與教師之間發生了即時的交流，不僅學生能受到啟發，碰撞出靈感的火花，教師也能從中發現課前預設的不足，進而改進教學。這種對話，實質上也是對學生數學語言的鍛煉。通過對話，學生不僅學會表達自己的見解、聆聽并學習他人的經驗，還能活躍思維、拓展思路，激發數學學習的熱情。

3要讓課堂在教育引導中體現喚醒與激勵之法

與初中不同，高中數學知識靈活度更高，難度不斷加大，一部分基礎薄弱的學生可能學得費勁，這就需要教師在課堂上注意收集學生的課堂表現，通過提問等方式，及時了解學生的理解與掌握情況，對教學內容靈活地做出適當調整。教師在課堂上準備的習題也要難易適度，使學生能夠循序漸進地完成教學目標，體驗到學會的成就感，建立對本門課程的自信心。高中數學教師也要注意教學語言的錘煉，力求精確生動，可以穿插一些相關的生活趣事，生動活潑地將數學知識與生活的聯系呈現在學生的面前。

綜上所述，課堂教學的優化從改進課堂教學評價起步，以目標、內容和教學方法的修正為指向，以重構課堂生態系統為努力方向。這一優化策略是融合課堂教學評價、優化主線和優化目標的系統工程，凸顯了生本思想、滲透先進理念、適切教學需要的基本方略。多年來的實踐證明，這是實現數學課堂教學優化的一條基本路徑，沿著這一優化路徑，將能有效地提升教師素養，促進教師專業成長。

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