結構化：讓學生的數學學習走向深度

王洪濤

[摘 ?要] 小學生的數學學習，不應看成是知識“點”的堆砌、排列，而應當看成是一個層次化、結構化、邏輯化、整體化的學習過程。在小學數學教學中，教師應當立足于“高觀點”視角，對數學知識進行梳理和整合;應當促進學生數學學習的正向遷移，引導學生認知心理的同化與順應;應當引領學生對認知結構進行重構，促進學生認知結構的勾連與突破。結構化學習，能讓學生的數學思維認知從低階走向高階，讓學生的數學學習走向深度。

[關鍵詞] 結構化學習;深度學習;小學數學

美國著名數學教育家斯蒂恩說得好，“數學應被看成是一種結構性科學”。所謂“結構”，是指“一個系統、一個整體、一個集合”（皮亞杰定義，轉引自《結構主義》）。小學生的數學學習，同樣不應看成是知識“點”的堆砌、排列，而應當看成是一個層次化、結構化、邏輯化、整體化的學習過程。在小學數學教學中，教師應當站在“高觀點”視角，去看待數學學科知識。在此基礎上，對數學知識進行梳理和整合，引導學生認知心理的同化與順應，幫助學生進行數學知識勾連，從而尋求對學生數學認知的突破。結構化學習，能讓學生的數學思維認知從低階走向高階，讓學生的數學學習走向深度。在這個過程中，自然能提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

[?] 一、立足“高觀點”：數學知識的“梳理與整合”

“高觀點”是現代著名數學教育家克萊因的觀點。在克萊因看來，理解初等數學問題，一定要觀點高，因為只有觀點高了，知識才能顯得明了而簡單。克萊因認為，一個稱職的數學教師應當掌握數學基本概念、思想和方法，了解數學基本知識的演化過程。同時克萊因認為，許多初等數學知識只有在非初等的理論結構中，才能獲得更為深刻的理解。立足高觀點，就是要求學生形成“數學的眼光”和“數學的大腦”，以便學生從數學的視角來看待諸多事物。

立足“高觀點”，教師要對數學知識進行“梳理和整合”。梳理和整合需要從兩個方面入手：其一是溯源，也就是從數學知識的發生、發展視角來研究數學，這是一種縱向梳理，縱向梳理有助于學生掌握數學知識的本質，感悟數學知識的思想、方法，領悟數學知識蘊含的文化與精神;其二是求聯，也就是從數學知識之間的關系視角來研究數學，這是一種橫向整合，橫向整合有助于學生把握數學知識的關聯，建構數學知識結構，完善自身的認知結構。比如“小數除法”，從整體上說，是建立在“整數除法”基礎之上的。深入分析小數除法我們就會發現，“小數除法”這部分內容主要包括“除數是整數的小數除法”“除數是整數，需要補0的小數除法”以及“除數是小數的小數除法”“小數四則混合運算”。其中，“轉化”是貫穿始終的數學思想。立足“高觀點”，我們在教學中對相關數學知識進行梳理和整合，形成了這樣兩個教學板塊：其一是“除數是整數的小數除法（包含需要補0 的情況）”，其二是“除數是小數的小數除法”。通過整合，將一個個孤立的、碎片化的數學知識集結起來，進而連點成線、連線成面、勾面成體。

立足“高觀點”，對數學知識進行梳理和整合，能讓學生形成數學核心觀念與認知。結構化地研究數學課程，能對學生的數學學習發揮一種“四兩撥千斤”的功效。立足“高觀點”，能引導學生進行一種整體性、結構性、系統性學習，使學生對數學知識能形成整體性把握，進而助推學生建立一種完善的認知結構。

[?] 二、促進“正遷移”：認知心理的“同化與順應”

學生學習數學知識過程可以分為兩個階段：其一是“教結構”“學結構”階段，其二是“用結構”階段。“學結構—用結構”是結構化教學的核心策略。在這個過程中，教師要有效地引導學生，促進學生數學學習“正遷移”，對相關內容發生積極的心理同化與順應。“同化與順應”是學生學習數學知識重要的心理機制。通過“同化與順應”，學生的認知心理從“不平衡”走向“平衡”，又從“平衡”走向新的“不平衡”。學生的數學認知心理就是在這樣的“平衡—不平衡”過程中螺旋上升式發展。

促進學生數學學習的“正遷移”，還要堅持“結構性”與“靈活性”并重、“生成性”與“延伸性”并存的策略。比如“運算律”教學結構就是“猜想—驗證”，教師對這部分內容實施結構化教學時，可以“交換律”作為種子課，引導學生從具體問題中提出相應的猜想。比如“28個男生跳繩，17個女生跳繩，一共有多少個學生跳繩？”這樣的問題，學生可能這樣列式“28+17”，也可能這樣列式“17+28”，進而提出交換律猜想。對于“a+b=b+a”這樣的形式猜想，有學生理所當然地認為正確。面對學生這樣的想法，教師不應呵斥學生，而應當引導學生舉例驗證，從而讓學生樹立科學的態度、實證的態度、實事求是的態度。由此，有學生舉出不同的整數加法交換律的例子，有學生舉出一位小數加法交換律的例子，還有學生舉出同分母分數相加減的交換律的例子，等等。在此基礎上，學生還將猜想的觸角延伸：減法有沒有交換律？乘法、除法呢？學生認知心理一次次失衡，又通過“猜想—驗證”一次次走向平衡。在此基礎上，引導學生積極主動地遷移，從而讓學生自主建構“結合律”“分配律”等相關內容。通過“學結構—用結構”，進一步鞏固了學生對“猜想—驗證”等數學學習方法的認知。顯然，結構化教學視野下的“教”是為了后續的“少教”，甚至“不教”。在結構化教學中，教師應堅持“學生已會的內容堅決不教”“學生能夠自主學會的要少教”“學生難以學會的要精教”。具體而言，在“運算律”教學中，教師要著力引導學生學習“交換律”，重點引導學生掌握“猜想—驗證”的學習方法，這是一種科學、有效的學習方法，對于學生數學學習的可持續性發展具有重要作用。

[?] 三、引領“重建構”：認知結構的“勾連與突破”

美國著名結構主義教育心理學家布魯納深刻地指出，“學習任何學科知識，歸根結底就是掌握該學科的基本知識結構”。實施結構化教學，不僅要注重對數學知識的“梳理與整合”，注重促進學生認知心理的“同化與順應”，還要對學生的認知結構進行“重建構（重構）”，從而讓學生的認知結構得以勾連和突破。作為教師，要從數學教學內容和學生的具體學情出發，通過溝通、關聯，突破學生的原有認知結構。在這個過程中，教師既要瞻前顧后，又要左顧右盼;既要謀劃全局，又要抓實重點。結構化教學，能讓學生的數學學習事半功倍。

小學數學學科內容包括“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”這幾個板塊，這些板塊內容之間聯系是非常緊密的。因此，在小學數學教學中，教師一方面要對數學知識進行“溯源”，幫助學生厘清數學知識的來龍去脈、前世今生，這是一種縱向維度的結構化方法;另一方面，要從數學知識的“關系視角”來研究數學，幫助學生理清數學知識間千絲萬縷的聯系，這是一種橫向維度的結構化方法。通過縱橫交錯的勾連，引領學生對數學知識重組、重構、重塑，從而幫助學生實現對自我認知結構的勾連與突破。以“數與代數”版塊中的“量與計量”知識教學為例，在小學階段，“量與度量”貫穿于低中高年級各個學段，其中主要內容有長度、面積、體積、角度、時間、質量等。如果我們采用“就知識點論知識點”的方式進行教學，學生的數學學習就會“見木不見林”。而如果對這部分知識進行梳理、重構，我們就會發現，貫穿“量與計量”教學始終的有三個內容：其一是“度量要有統一的度量單位”;其二是“度量的本質是看度量對象中包含有多少個度量單位”;其三是“認識到度量單位本身也可能是度量對象”。為讓學生更好地掌握以上三個內容，教師在實踐中可以實施結構化教學。在教學每一個度量單位時，教師要讓學生充分經歷“度量”的過程。具體而言，就是要讓學生創造“度量單位”，創造“度量工具”。經歷這樣的兩個創造過程，學生就能深刻認識到度量的本質，即“度量就是看度量對象中包含有多少個度量單位”，一言以蔽之就是兩個字——“包含”。通過這樣的結構化教學，就能幫助學生建構、鞏固、夯實認知結構。

結構化教學，要求教師在教學中樹立“結構化教學觀”。實踐中，教師要縱橫拓展，對數學知識進行網狀勾連，從而促進學生結構化思維、認知的形成;要立足課堂，注重數學知識形成過程，充分調動學生的已有知識經驗，不斷完善學生的認知結構。結構化教學，不僅要求教師從數學學科學理層面來把握，而且要立足于學生的具體學情，從學生的具體學情層面探明學生的認知結構。結構化教學，提升了學生的數學學習效率，讓他們的數學學習更深入、更全面、更清晰、更合理。