從學(xué)生本位出發(fā)，深度理解分?jǐn)?shù)概念

錢(qián)彥霖

【摘 要】分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，從自然數(shù)到分?jǐn)?shù)，這是數(shù)概念的一次重大拓展。分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生，是人類(lèi)對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的一個(gè)飛躍。學(xué)生對(duì)它的理解以及掌握的程度，關(guān)系到其數(shù)感、模型思想等方面的構(gòu)建。教師在教學(xué)中只有從學(xué)生本位出發(fā)，才能幫助學(xué)生深度理解分?jǐn)?shù)的概念。

【關(guān)鍵詞】概念教學(xué) 認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù) 一個(gè)整體

在整個(gè)小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)，主要包括“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”這三類(lèi)。在一、二年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)的基礎(chǔ)上，教材在三年級(jí)階段將學(xué)生拉向了“分?jǐn)?shù)”這一概念，這是學(xué)生對(duì)數(shù)的第一次拓展，也是其認(rèn)識(shí)上的一次新突破。接著，教材又順勢(shì)將學(xué)生的思維提高了一個(gè)度，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)。而就“分?jǐn)?shù)”這一知識(shí)點(diǎn)，教材從三個(gè)層次進(jìn)行編排（見(jiàn)下表）：

三年級(jí)上冊(cè) 三年級(jí)下冊(cè) 五年級(jí)下冊(cè)

認(rèn)識(shí)幾分之一 認(rèn)識(shí)幾分之一 分?jǐn)?shù)的意義

認(rèn)識(shí)幾分之幾 “求一個(gè)數(shù)的幾分之一是多少”的實(shí)際問(wèn)題 分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加、減法 認(rèn)識(shí)幾分之幾 簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題

“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問(wèn)題 真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)

假分?jǐn)?shù)化整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)

分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

約分

通分

分?jǐn)?shù)這一概念是十分抽象的，在教材里出現(xiàn)了三次，而這一知識(shí)點(diǎn)也對(duì)學(xué)生提出了不同層次的要求。在認(rèn)識(shí)一個(gè)物體的幾分之一時(shí)，因?yàn)閭€(gè)數(shù)只有“1”，所以，大部分同學(xué)都能輕易掌握;而當(dāng)認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一時(shí)，因?yàn)閭€(gè)數(shù)由“1”變成了若干個(gè)，部分同學(xué)無(wú)法突破已有認(rèn)知，所以理解起來(lái)開(kāi)始有難度;學(xué)生如果對(duì)第二次的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)不夠，還會(huì)影響第三次真正認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的含義以及后續(xù)的一系列知識(shí)。那么，面對(duì)分?jǐn)?shù)這一概念，如何從學(xué)生本位出發(fā)幫助他們真正理解呢？

一、以學(xué)生為本，喚醒概念萌芽點(diǎn)

學(xué)生第一次接觸分?jǐn)?shù)是在三年級(jí)上學(xué)期，教材（見(jiàn)圖1）的設(shè)計(jì)是從分一分三種物品出發(fā)，從具體數(shù)量入手，有層次地將4個(gè)蘋(píng)果、2瓶礦泉水和1個(gè)蛋糕進(jìn)行平均分。學(xué)生通過(guò)思考發(fā)現(xiàn)1個(gè)蛋糕平均分成兩份時(shí)，無(wú)法用一個(gè)整數(shù)來(lái)表示分得的結(jié)果。這時(shí)，就產(chǎn)生了引進(jìn)新數(shù)——分?jǐn)?shù)的需要。教師將學(xué)生心中的“半個(gè)”與分?jǐn)?shù)“”聯(lián)系在一起，再進(jìn)一步通過(guò)習(xí)題練習(xí)使學(xué)生理解和感悟分?jǐn)?shù)的意義，即把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

本節(jié)課是學(xué)生第二次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)（見(jiàn)圖2），教材中點(diǎn)明“一盤(pán)桃”，其實(shí)已經(jīng)巧妙暗示了“一個(gè)整體”，而“平均分給2只小猴”，也需要學(xué)生在猴子個(gè)數(shù)和份數(shù)之間建立起聯(lián)系。但是，中低年級(jí)的學(xué)生面對(duì)有深層含義的分?jǐn)?shù)概念時(shí)，往往容易被圖中實(shí)際數(shù)量所影響，無(wú)法表示出含有正確含義的分?jǐn)?shù)。所以，在教學(xué)這一部分內(nèi)容時(shí)，為了讓學(xué)生更清楚地體會(huì)舊知和新知的區(qū)別，更扎實(shí)地認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體的幾分之一”，在導(dǎo)入部分，筆者是這樣設(shè)計(jì)的：

師：在動(dòng)物王國(guó)里，猴媽媽給小猴子們采了一個(gè)又大又甜的水蜜桃，要是把這個(gè)桃子分給2只小猴，你覺(jué)得怎么分才比較公平呢？

生：把它們切開(kāi)，一人一半。

師：對(duì)于這種分法，我們把它稱(chēng)為平均分。（電腦演示）

師：如果把一個(gè)桃平均分成2份，每份是這個(gè)桃的幾分之幾？

生：每份是這個(gè)桃的二分之一。

師：這樣的數(shù)，我們就叫它分?jǐn)?shù)。它是我們的老朋友，誰(shuí)能來(lái)說(shuō)一說(shuō)它是由哪幾個(gè)部分組成的。

生：分子、分母、分?jǐn)?shù)線。

師：在這個(gè)分?jǐn)?shù)中，分母是幾？分子又是幾呢？你能結(jié)合這幅圖說(shuō)一說(shuō)它們分別表示了什么含義。

生：分母2表示把一個(gè)桃平均分成2份，分子1表示其中的1份。

師：互相說(shuō)一說(shuō)，把一個(gè)桃平均分成2份，每份是這個(gè)桃的二分之一。

師：左邊這份是這個(gè)桃的二分之一，右邊這份呢？

生：也是它的二分之一。

師：不一會(huì)兒，小猴子們就把這個(gè)桃子給吃完了，它們?nèi)氯轮€不夠吃，于是，猴媽媽給它們又準(zhǔn)備了一盤(pán)桃（PPT出示遮住具體個(gè)數(shù)的一盤(pán)桃），那把一盤(pán)桃平均分成2份，每份是這盤(pán)桃的幾分之幾呢？

生：把一盤(pán)桃平均分成2份，每份是這盤(pán)桃的二分之一。

師：剛才，我們把一個(gè)桃和一盤(pán)桃都平均分成了2份，最后分得的結(jié)果都是二分之一。這兩個(gè)二分之一的含義一樣嗎？它們有什么相同點(diǎn)，又有什么不同點(diǎn)呢？

生：不同點(diǎn)在于一個(gè)桃和一盤(pán)桃，相同點(diǎn)是它們都是平均分成了2份，分得的結(jié)果都是二分之一。

師：不管是一個(gè)桃還是一盤(pán)桃，只要把它們平均分成2份，每份就是它的二分之一。

上述設(shè)計(jì)基于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，遵循知識(shí)發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生從一個(gè)桃過(guò)渡到無(wú)具體數(shù)量的一盤(pán)桃，在喚醒分?jǐn)?shù)概念的同時(shí)，離“一個(gè)整體”更進(jìn)一步。教師在鞏固分?jǐn)?shù)各部分名稱(chēng)和意義的基礎(chǔ)上鏈接新知，為學(xué)生接下來(lái)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、以學(xué)生為本，展露概念生長(zhǎng)枝

分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義是表示部分和整體的關(guān)系。而本節(jié)課教學(xué)的難點(diǎn)正在于學(xué)生容易受到物體總數(shù)和每份數(shù)量的干擾，難以用整體的眼光正確地用分?jǐn)?shù)表示這種關(guān)系。基于學(xué)生的真實(shí)學(xué)情，筆者在教學(xué)過(guò)程中順勢(shì)而為，充分暴露思維沖突點(diǎn)，然后在回憶、比較、辨析中逐步突破難點(diǎn)，建構(gòu)新知。

師：那猴媽媽到底帶來(lái)了幾個(gè)桃子呢？（PPT出示一盤(pán)桃子）仔細(xì)瞧。

生：6個(gè)。

師：把6個(gè)桃平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾呢？

（學(xué)生分一分）

師：為了看得更清楚，老師用虛線把它們隔開(kāi)。想一想小猴子得到了這兩份當(dāng)中的幾份。

生：1份。

師：我們把每只小猴得到的部分用斜線來(lái)表示。上面3個(gè)桃子是一份，下面3個(gè)桃子也是一份。那這一份是這盤(pán)桃的幾分之幾呢？

生1：二分之一（把一盤(pán)桃平均分為2份，每份就是它的二分之一）。

生2：六分之三（因?yàn)橐粋€(gè)盤(pán)里有6個(gè)桃子，一份桃子有3個(gè)，所以，我認(rèn)為其中的一份是這盤(pán)桃的六分之三）。

師：我們從分?jǐn)?shù)的含義仔細(xì)想想分母應(yīng)該表示什么。

生：份數(shù)。

師：所以在這兒，分母要寫(xiě)2。小猴分得其中的幾份？

生：1份。

師：分子就寫(xiě)1。我們是把6個(gè)桃子看作了一個(gè)整體，平均分成了2份，每份就是這盤(pán)桃的二分之一。那如果從分?jǐn)?shù)的含義來(lái)思考，怎樣分才能用六分之三來(lái)表示呢？

生：六分之三表示平均分成6份，取其中的3份。

師：二分之一是指把這6個(gè)桃平均分成2份，取其中的1份;如果要用六分之三來(lái)表示，我們就得把這六個(gè)桃平均分成6份，取其中的3份。

師：所以，你們覺(jué)得用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示比較合適？

生：二分之一。

如何用份數(shù)和總數(shù)的關(guān)系表示分得的結(jié)果，這一直是學(xué)生在課堂上容易產(chǎn)生歧義的地方。就例題而言，學(xué)生不約而同地給出了兩種答案：“六分之三”和“二分之一”。如果只是關(guān)注分得的結(jié)果，那么一盤(pán)桃的二分之一和六分之三其實(shí)都表示3個(gè)，但如果要聯(lián)系實(shí)際分法以及分得的結(jié)果，那么，寫(xiě)二分之一更為合適。教學(xué)過(guò)程中，筆者始終以“分?jǐn)?shù)的含義”為抓手，引導(dǎo)學(xué)生判斷哪個(gè)更合適，再逆向思考哪種分法用六分之三表示更合適，從而使學(xué)生跨越知識(shí)的“梗”，突破實(shí)際數(shù)量與份數(shù)之間的矛盾，重新建構(gòu)新的認(rèn)知，學(xué)生也在這樣的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了思維的生長(zhǎng)。

三、以學(xué)生為本，完善概念認(rèn)知田

分?jǐn)?shù)這一概念要在學(xué)生的認(rèn)知田里建構(gòu)起來(lái)有一定難度，但萬(wàn)變不離其宗，教師只要抓住分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特點(diǎn)，就能讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確表示分?jǐn)?shù)的方法。所以，在設(shè)計(jì)的時(shí)候，教師要充分考慮學(xué)生的思維能力，有層次地進(jìn)行設(shè)計(jì)，進(jìn)一步完善分?jǐn)?shù)的含義。

師：正當(dāng)猴媽媽準(zhǔn)備分桃給2只小猴時(shí)，又跑來(lái)了一只小猴，這下又該怎么分？

生：把6個(gè)桃平均分成3份。

師：這時(shí)，每只小猴分得這盤(pán)桃的幾分之幾？為什么現(xiàn)在每份變成三分之一了呢？

生：平均分成了3份，其中的一份就是三分之一。

師（追問(wèn)）：那這一份呢？這一份呢？

生：也是它的三分之一。

師：如果把這盤(pán)桃平均分成6份，你能直接分一分嗎？

師：現(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)比較一下這三盤(pán)桃，同樣都是6個(gè)桃子，觀察一下平均分的份數(shù)和分得的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平均分的份數(shù)不一樣，表示的分?jǐn)?shù)也不一樣。

師：看！平均分成2份，最后分得的結(jié)果就是它的二分之一;平均分成3份，最后分得的結(jié)果是它的三分之一;平均分成6份，最后分得的結(jié)果是它的六分之一。你發(fā)現(xiàn)了什么呢？

師：把一個(gè)整體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。

在整節(jié)課的教學(xué)中，教師在思辨中引領(lǐng)學(xué)生重新認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體”的概念，經(jīng)歷多重對(duì)比，進(jìn)一步加深其對(duì)分?jǐn)?shù)概念的印象，引領(lǐng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)“把一些物體看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一”的結(jié)論。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程可謂層層推進(jìn)，不斷深入，在一個(gè)接一個(gè)的挑戰(zhàn)中、一次又一次的辨析交流中凸顯本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)含義的自主建構(gòu)，完善了學(xué)生的概念認(rèn)知田。

學(xué)生是接受知識(shí)的載體，教師是傳授知識(shí)的主導(dǎo)者。有效的概念教學(xué)應(yīng)將概念的邏輯聯(lián)系與學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平有機(jī)結(jié)合起來(lái)，制定或選擇恰當(dāng)、有效的教學(xué)策略。所以，在教學(xué)過(guò)程中，教師要樹(shù)立以學(xué)生為本的教學(xué)理念。相信學(xué)生一定能掌握復(fù)雜深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念，也只有在對(duì)比中思考、在思辨中成長(zhǎng)，學(xué)生才能在知識(shí)的世界里一步一步走得更為扎實(shí)！