大問題、“再認識”與大觀念

摘 要：無論是數學課程改革的深入發展，或是日常的數學教學活動，都應很好地發揮問題的引領作用。由此引向做好數學教學的兩個關鍵：“再認識”與大觀念的滲透和指導。“再認識”即數學的認識大多應有不斷深化和優化的過程，應貫穿全部的數學教學活動；大觀念則對學生的深度學習具有重要影響，應在教學中予以滲透。

關鍵詞：大問題；大觀念；課程改革；再認識；字母的引入

一、從數學課程標準的修訂，看問題意識的重要性

就數學教育的新近發展而言，最重要的一件事，顯然是經過再次修訂的數學課程標準，即《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022版課標》）的頒發與實施。以下是蘇明強教授關于這一工作的簡要總結：“‘四基和‘四能保持不變，體現了課程標準的繼承，核心素養貫穿課程標準的始終，體現了課程標準的發展。”修訂工作強調繼承與發展當然沒錯，這很好地體現了相關人士的“目標意識”。但是，如果我們既未對先前的工作作出認真的總結與反思，特別是未弄清存在的問題與不足并有針對性地作出更深入的研究和改進，而只是不加分析地全盤繼承，又未能很好地弄清我們為什么應以核心素養作為修訂工作的主要指導思想，而只是滿足于新舊思想的簡單組合，乃至詞語的簡單轉換，如將先前的核心概念直接改為核心素養，并滿足于“三會”這樣一個新概念的創造，實質上仍然局限于已有的概念框架，更未能從理論角度作出深入分析和審視，那么，所說的“繼承和發展”顯然就不能被看成真正的進步。而且如果我們認定經過這樣的加工就可構建起一個“以‘三會為核心，層層遞進的課程目標”，一個“基于核心素養的數學課程目標體系”，這就會產生很大的疑問了。

例如，我們應當認真思考的一個問題是：“四基”中所謂的基本活動經驗是否對于數學學習具有特別的重要性，乃至其是否與數學基礎知識、數學基本技能、基本數學思想具有同樣的重要性？再者，我們應如何去看待“數學的眼光”“數學的語言”與“數學的思維”之間的重要聯系，乃至將三者看成數學教育的終極目標，也即是否所有學生，不管他們將來會從事什么工作，都應很好地做到所說的“三會”？

就總體而言，這清楚地表明了增強問題意識的重要性，特別是，我們應通過對已有工作的總結和反思發現存在的問題與不足之處，并有針對性地開展研究，積極地進行教學實踐，才能取得真正的進步。我們在此還應特別關注數學教育的各個大問題。例如，除去已提及的數學教育目標，我們顯然也應高度重視課程內容的取舍與安排。以下就從后一角度對數學課程標準的修訂工作作出進一步的分析評論。

具體地說，《2022版課標》的一個重要變化，是將原來歸屬于小學數學的負數（負數只出現在第三學段 “綜合與實踐” 的一個主題活動中）和方程等內容重新移回了初中。就現實而言，初中生的課業負擔應當比小學生重得多，在這種情況下，我們又將負數等內容重新移回初中，這豈不進一步加重了中學生的課業負擔！

當然，面對上述質疑，我們或許可以提出這樣一個辯護：這些內容原本就屬于中學，現從中學“下放”到了小學，只是作為新一輪數學課程改革的一個具體措施。但在筆者看來，這也就更清楚地表明了對相關做法的合理性作出深入分析的重要性。因為，我們在這方面已經歷了多次反復：只要一講改革，就會將負數、方程等內容下放到小學，并聲稱這是“數學教育現代化的必然要求”；然而，隨著時間的推移，特別是課程改革的起伏，又往往出現相反的變化……當然，將負數、方程等內容移回初中不應被看成純粹的“倒退”。但是，除去簡單地作出決定以外，我們顯然還應清楚地說明作出這一決定的原因，特別是說明，所說的“下放”與“回歸”究竟各有什么優點與不足，什么又是我們在當前作出再次“回歸”這一決定的主要原因。應當強調的是，這不僅直接關系到廣大一線教師在課程改革中的主體地位，即能否擺脫“無奈地接受”這樣一種完全被動的狀態，而且與我們能否徹底改變這樣一個長期存在的弊病密切相關，即我們如何能夠有效地防止與糾正課程改革中常見的“鐘擺現象”，這樣來回搖擺而不知所以，會讓我們不斷重復過去的錯誤，卻看不到真正的進步！

在此還可對課程內容的組織方式作簡要分析，弄清我們究竟應對代數（算術）和幾何的相關內容采取混合編排，還是單獨編排的方式。當然，更廣義地說，這還涉及“統計與概率”和“綜合與實踐”的相關內容。

具體地說，盡管《2022版課標》在這方面沒有作出很大變動，而是沿用了新一輪課程改革以來一直采用的混合編排的方式，但由于事實上存在兩種不同的編排方式，即所謂的“合”或“分”，因此，為了切實提高自身在這一方面的自覺性，我們顯然也應深入地去思考現在所采取的方式究竟有什么優點，又有什么局限性或不足之處。

由此我們還可清楚地認識到：課程標準的實施不應唯一地采取“由上至下”的運作模式，特別是，不應要求一線教師無條件地接受，乃至不培訓、不實施，恰恰相反，我們應當更加尊重教師在課程改革中的主體地位，從而在培訓中對課程標準修訂作出介紹的同時，就不僅應當清楚地說明相關做法的依據，也應坦率地指明存在的問題與可能的局限性，還應通過提出適當的問題促使廣大教師密切聯系自己的教學實踐，積極地開展研究，這樣不僅能對課程標準的進一步修訂及相關理論思想的檢驗發揮積極的作用，也能更有效地促進教師的專業成長。

上面的主張顯然在很多方面也是同樣適用的。例如，除“強調發揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養”外，我們也應認真思考“情境設計”是否也有一定的局限性，在教學中應如何防止與克服，或者說，應當如何更好地處理“情境設計”與“去情境”之間的關系？再則，我們在當前應當特別重視這樣一個問題，即如何處理“做數學”與“學數學（特別是，促進學生思維發展）”之間的關系？后者在不同的階段可以說具有不同的內容或重點：就小學而言，這主要是指我們應當如何處理好“動手”與“動腦”之間的關系；就中學而言，則主要涉及對“題海戰術”的深入批判，以及認識片面強調“數學應用”的局限性。由于對整體性教學與結構化教學的突出強調正是《2022版課標》的又一重要特征，所以，我們對這樣一個問題應予以特別的重視：強調整體性教學是意味著我們必須引入一種新的教學模式或教材編寫模式，還是應當更加重視整體性觀念的指導與滲透？整體性觀念的主要涵義是什么？我們在教學實踐中如何才能很好地對其進行指導與滲透？

上面所提到的問題，有不少可以說存在已久，但始終沒有得到很好的解決，從而也就更清楚地表明了深入開展研究的重要性。在筆者看來，這就是“課程改革進入了深水區”的一個重要標志，特別是，我們當前面臨的一些大問題涉及的主要不是具體的方法或技能，而是更深層次的認識或觀念，從而對此往往也就很難作出絕對的“對”或“錯”的判斷；進而，人們更可能因此而產生這樣的錯誤認識：這些問題過于“高大上”，與日常教學工作沒有什么直接聯系，無論抓與不抓都不會有什么差別。恰恰相反，正因為這些問題所涉及的都是深層次觀念，因此，如果缺乏自覺性的話，我們就很可能在不知不覺中陷入認識的誤區，也就會對實際工作產生潛在而又十分消極的影響。相信讀者由以下兩節的討論可對此有更清楚的認識，因為，它們所涉及的都是深層次的觀念或認識，也就是所謂的“再認識”對于數學學習和教學究竟有怎樣的重要性？什么又可被看成數學中引入字母的主要作用，如何更好地認識并正確把握其中的大觀念？

二、數學教學和學習中的“再認識”

俞正強老師在《如何把握小學數學中的“再認識”》一文中提出的一個主要論點是：“小學數學中的‘再認識只有小數、分數和平均數這樣三個情況。”這一說法有一定道理，因為，如果對教材標題進行檢索的話，直接以“……的再認識”為標題的內容就只有這樣三處。但在筆者看來，這恰又十分清楚地表明了深入認識“再認識”在數學學習和教學中重要地位的重要性。

具體地說，現今數學教育領域中對于“再認識”的強調集中體現了這樣的認識：數學的認識在大多數情況下都不是一次就可得到并完成的，而是有一個逐步發展的過程，后者又不應被歸結為知識、技能或活動經驗的簡單積累，而主要是一個不斷深化和優化的過程，特別是，相對于由少到多、由簡單到復雜而言，我們應更加重視化多為少、化復雜為簡單，后者主要就是“再認識”的結果，包括比較與分析、總結與反思、優化與綜合等。

顯然，依據以上認識我們也就可以立即看出上述引言和如下論述的局限性：“為什么小學數學的‘再認識只有小數、分數和平均數？因為有的概念一次便認識到位了，而小數、分數、平均數的內涵比較豐富，對其的認識一節課無法完成。”事實上，即使人們在很多方面的最初認識并沒有明顯的錯誤，大多數數學概念的認識仍有一個不斷發展和深化的過程，也即完全離不開所謂的“再認識”。

例如，學生對于數的認識，顯然就有一個不斷發展與深化的過程，而這又不只是指其外延的不斷擴展（引入了更多的“新數”），還包括我們對于數及其運算的內涵或特征、性質的進一步認識。例如，隨著學習的深入，我們顯然就應將學生的注意力由對各個具體數量關系的認識引向對更深層次規律（如加法的交換律等）的認識，由局部性認識過渡到整體性乃至結構性認識（如數系的開放性與一致性），特別是集中于層次的分析與區分（例如，相對于加法而言，乘法在運算上就應被看成具有更高的層次。另外，也要看到加法與減法、乘法與除法之間的互逆關系等）。

在此我們還應特別強調拓寬視野的重要性，因為，這會促使人們從新的、不同的角度或通過對照、比較等方法，更深入地進行分析和思考，從而也就十分有益于人們認識的深化，特別是，由局部性認識過渡到整體性認識。

總之，我們應當明確肯定“再認識”對于數學學習的特殊重要性，并將這一思想很好地貫穿于全部的教學活動，而不應只是在某些特定的場合才想到這樣一點；我們還應努力提升學生對于“再認識”的自覺性，將此看成學會學習的一個十分重要的涵義。

當然，作為這方面的具體工作，我們應十分重視針對教學內容、學生實際情況和教學情境的分析研究，并注意防止與糾正各種簡單化的認識。下文就聯系以下論點對此作出具體的分析：小數、分數與平均數的再認識“代表了人類認識世界的三種基本樣式：由表及里，有了認識的深刻性；由一及二，有了認識的完整性；由正到反，有了認識的全面性。”

筆者以為，“小數的再認識”的一個更重要的意義，是我們應超越“小數代表了一種新的數”這一初步的認識，從更寬廣的視角去分析思考，特別是，應幫助學生很好地認識數系的發展性與整體性。具體地說，正與自然數計數單位十、百、千、萬等的引入類似，小數計數單位十分之一、百分之一、千分之一或0.1、0.01、0.001等的引入，顯然也可被看成直接反映了實際度量工作的需要（精確的定量描述），兩者的唯一區別則是我們在此已將關注點由“很大很大的量”轉移到了“很小很小的量”。再者，通過小數的引入我們可以幫助學生很好地認識數系的開放性及這樣一個重要的事實：正是實際的需要在這方面發揮了主要的作用。

進而，我們顯然也可從同一角度去理解以下的事實，即在小數以后為什么又要引入分數，乃至更多的“新數”？值得指出的是，這可被看成通過拓寬視野促進認識發展與深化的一個很好的實例。例如，無論就小數或分數的引入而言，我們都應當認真地去思考：新引入的數與已有的數之間存在什么樣的關系？

但是，所說的由一至多（二）的變化又非分數的認識所特有，而是有更大的普遍性。例如，即使就最簡單的自然數而言，人們的認識也經歷了同樣的發展過程，盡管教材中對此沒有特別強調。具體地說，倍數的概念顯然就代表了自然數的另外一種涵義，即兩個獨立量之間的一種關系。

也正因此，分數的教學就應很好地落實這樣一個目標，即我們不僅應當幫助學生認識分數涵義的多重性，還應將此看成發展學生關于數的認識的又一重要契機，特別是，更深刻地認識各種不同的數之間的內在聯系與統一性，如分數與自然數、小數之間的聯系，自然數和分數的多重涵義，等等。

還應強調的是，上述分析也為這方面的進一步工作指明了努力的方向：由于自然數和分數都涉及了兩個量之間的關系，只是所采取的視角有所不同，即我們究竟是用兩者中較小的那個數、還是較大的數作為度量（比較）的單位（當然，通過引入分數我們可對此作出推廣，即不再局限于兩者之間存在直接的倍數關系這一特殊情況），因此，一個十分合理的發展是，除去這兩個量以外，我們還可引入第三個量作為比較的基礎，這事實上也就是度量單位（計數單位）的主要作用。當然，我們在此又應更加重視這樣一個可能的發展，即在很多情況下我們還可引入另一更加合適的數作為比較單位——顯然，按照這一分析，比的引入也就十分自然了。

容易想到，這也就是比的概念為何會被廣泛應用的主要原因，特別是，正如很多有經驗的教師都已注意到的，應用比的概念我們可以較容易地解決很多較復雜的算術應用題。當然，就我們目前的論題而言，這更清楚地表明了：“分數的再認識”只是相關認識不斷發展與深化過程中的一個階段或環節。

最后，依據上述分析我們顯然也可引出這樣一個結論：就分數認識的發展而言，我們不僅應當十分重視由一到多（二）的變化，也應高度重視由多到一的變化。當然，相對于先前的單一性認識而言，后者又應被看成一種“重構”的工作，即意味著我們已達到了更大的認識深度：由多到一中的“一”應被看成“一種包含有豐富的多樣性的‘一、一種整合意義上的‘一，一種具有極大可變性與靈活性的‘一、一種處于不停的流動或變化中的‘一。”

也正因此，就數的認識而言，我們不應過分強調如何能將所有的數（自然數、小數等）統一成某一種數（分數），乃至將其看成所有的數的共同本質，而應更加注重各種數內在的聯系和統一性，包括如何能依據具體的情況和需要在各種不同的數或不同的解釋之間作出必要的轉換。

在筆者看來，這就是“分數的再認識”最重要的一個涵義。

第三，對于“平均數的認識”，俞正強老師的基本看法是：“從平均數的初步認識到平均數的再認識，是從長處到短處的認識，是一個由正到反的過程”，通過這一過程我們可很好體會到學會全面看問題的重要性。筆者以為，我們應將善于由正到反思考問題看成一種重要的思維品質，并通過自己的教學努力提高學生在這一方面的自覺性，也即幫助他們逐步地養成從正反兩個方面看待問題的良好習慣。當然，后一目標的實現必然有一個較長的過程，正因為此，我們就應將這一思維習慣的培養很好地貫穿于數學教學的全部過程，而不應期望僅僅通過某一特定內容的教學就能實現這樣一個目標。

綜上可見，我們就應明確肯定“再認識”對于數學學習和教學活動的特殊重要性，并將這一思想很好地貫穿于全部的數學教學活動。

三、數學中引入字母的意義——大觀念滲透的一個實例

上述實例給予我們的一個重要啟示是，大問題往往與大觀念密切相關，大觀念在很多時候可以為大問題的解決直接提供思路。也正因此，我們應特別重視大觀念，不僅應當以此指導相關內容的教學，還應很好地防止與糾正各種可能的錯誤或片面性認識。

以“字母的引入”為例，讀者即可對此有更好的認識。具體地說，“用字母表示數”正是俞正強老師的另一篇文章的直接主題，他對這一論題的重要性做了這樣的說明：“這是小學數學十分經典的課，是代數學習的一節起初課。”按照俞正強老師的分析，這還可被看成“種子課”的一個實例，即“屬于知識脈絡中處于起點或節點的課”。

俞正強老師指出，就這一內容的教學而言，以下是一種常見的教學過程。

材料：__只青蛙__ 張嘴__只眼睛__條腿。

任務一：誰能用這個框架來說這個順口溜？

學生完成： 1 只青蛙 1 張嘴 2 只眼睛 4 條腿；2 只青蛙 2 張嘴 4 只眼睛 8 條腿；3 只青蛙 3 張嘴 6 只眼睛 12 條腿。

任務二：這樣說得完嗎？數那么多，誰能一次把全部的數都說完？

學生完成： a 只青蛙 a 張嘴 2a 只眼睛 4a 條腿。

達成認識：a表示所有數。

結論：用字母表示更簡潔。

現在的問題是：上述教學設計是否也有一定的局限性，特別是，學生的理解是否可能存在一定的偏差？

在這一方面我們可清楚地看到經驗的重要性：有經驗的教師往往能夠針對學生可能出現的錯誤采取一定的預防措施，從而防止其發生。在俞正強老師看來，這清楚地表明了切實抓好這樣兩項基本措施的重要性：“用例題講清知識，用練習糾正錯誤”，特別是，借助適當的練習我們即可發現學生理解上的困難與錯誤，從而采取適當措施予以補救。

就當前的論題而言，以下是兩種常見的錯誤：

錯誤一： a 只青蛙 a 張嘴 a 只眼睛 a 條腿；

錯誤二： a 只青蛙 b 張嘴 c 只眼睛 d 條腿。

當然，除去直接糾錯以外，我們還應認真地去思考學生為什么會出現這樣的錯誤。

俞正強老師指出，學生的上述解答涉及了字母用法的三個理解：

理解一：確定的數用數字表示，不確定的數用字母表示。

理解二：不同的對象用不同的字母來表示。

理解三：兩個對象有聯系時，其中一個對象用字母式表示。

在俞正強老師看來，出現上述錯誤的主要原因是，部分學生僅僅達到了“理解一”，而未能達到“理解二”和“理解三”。他認為，這可被看成“皮毛學習”的一個實例，從而也就十分清楚地表明了深度學習的重要性，也即我們應當幫助學生達到“內在的理解”。

但是，在上述三個理解之間是否存在一種層次的關系？再者，如果認定“種子課”的作用主要是為后繼學習打好必要的基礎，那么，我們在此顯然要進一步去思考：作為代數學習的“種子課”，應幫助學生初步地建立起一種什么樣的觀念？特別是，應如何把握算術學習與代數學習之間的主要區別，又應如何幫助學生很好實現由前者向后者的重要轉變？

還應強調的是，對于算術與代數之間的主要區別事實上也有兩種不同的看法：（1）集中于研究對象的擴展，也即由數擴展到了字母（式），并希望通過這一途徑我們可更有效地解決問題，也即更有效地求解各種算術應用題；（2）突出觀念的轉變，也即由操作性觀念向結構性觀念的轉變，這也就是指，我們在此已不再唯一關注如何能夠通過適當計算求得相應的未知數，而應更加重視各個數量（包括已知數與未知數，以及用字母表示的數）之間關系的分析。

顯然，按照后一種理解，引入字母最重要的一個作用，是代表了由特殊上升到一般，如由2+3=3+2、1+4=4+1等過渡到了a+b=b+a；代數學習的又一重要特征是，與數一樣，我們也應將由字母與數組成的“式”看成數學研究的直接對象，并應按照一定的法則具體去從事式的運算或變形。

從歷史的角度看，這就是人們為什么將法國數學家韋達看成代數學創建者的主要原因：正是韋達最早明確地提出了這樣一個思想——我們可以用字母表示已知量和未知量，并對此進行純形式的操作（他稱為“逼真算法”），這也就是指，我們可以擺脫問題的具體內容，并從純形式的角度總結出相應的算法。也正是在同樣的意義上，人們提出，應對縮寫意義上的符號與操作意義上的符號作出清楚的區分，并應將后者看成數學符號的本質。

由此可見，就我們當前的論題而言，即使學生已經很好地建立起了上述三個認識（“理解一”至“理解三”），但如果其認識始終停留于“字母代表了一個不確定性的數”這樣一個層面，就仍然不能被看成已在由算術向代數學習的轉變上跨出了實質性的一步。因此，我們在教學中應當切實避免陷入這樣一個認識誤區，即只是因為我們所面對的是不確定的數（如裝在信封中的粉筆的數量，因為看不到，因此無法確定），所以就只能引入字母來表示，把字母的引入看成純粹的無奈之舉。恰恰相反，我們從一開始就應幫助學生很好地樹立起這樣一個觀念：字母在數學中的引入主要是為了方便更高層次的抽象，即由特殊向一般的過渡。代數與算術的又一主要區別是，除去各種具體的數，我們在代數中也應將字母和式看成真正的數學對象，并按照一定的法則對其進行具體的操作或變形，而不應將其始終看成是一個臨時的“替代者”，也即不應集中于如何能夠通過適當計算求得它們的值，或如何將不確定的數轉化為確定的數。

特殊地，依據上述分析我們顯然也就可以清楚地看出以下教學設計的不足之處，即十分容易導致“只有不確定的數才用字母表示”這樣一個錯誤的理解：

材料：兩個信封，一盒粉筆。

問題一：（將信封給學生看）信封里什么也沒有，可以用哪個數字表示？答：0。

問題二：（往信封里放進1支粉筆）現在信封里的粉筆數可以用數字幾表示？答：1。

問題三：（倒空信封，往里面放3支粉筆）現在信封里的粉筆數可以用數字幾表示？答：3。

問題四：（躲在桌子下面，往信封里放粉筆）現在信封里的粉筆數可以用數字幾表示？答：5、6、7、8……

問題五：為什么現在有這么多種可能？前后發生什么事了？答：看見與沒看見

問題六：為什么沒有同學說0呢？除了確定不是0，還能確定什么？

結論：在這種情況下，我們就說信封內的數有a支。

還應強調的是，這里所說的代數思維可被看成一個典型的大觀念。進而，無論就“種子課”或一般的數學課而言，我們又都應當以相應的大觀念作為重要的指導思想，幫助學生逐步樹立起相應的觀念，盡管這必然有一個較長的過程，包括必要的強化、一定的反復與再認識。

進而，也只有在所說的意義上，我們才能真正地談及所謂的深度教學，并清楚地認識以下說法的錯誤性：“種子的特質在于學生的理解完全來自學生的生活體驗。”當然，由此我們還可引出這樣一個更重要的結論：如果我們的教師未能做好深度教學，我們的學生顯然也就不可能做好深度學習。再者，如果教師的認識有較大的局限性，就必然會對學生的學習造成一定的消極影響，特別是，如果相關內容的教學確可被看成“種子課”的話。

例如，只需稍作了解，我們就可發現乘法公式是初中數學學習的一個難點，主要原因之一就是學生未能很好地弄清數學中引入字母的意義。例如，有不少學生就很難理解我們為什么可以對公式中的字母，如a2+2ab+b2=（a+b）2中的a和b，賦予不同的數值（甚至將每個b換成2b等），而這又是學生能否掌握配方法的關鍵。

更一般地說，這也正是我們為什么應當積極倡導“高觀點指導下的數學教學”的主要原因，而不只是滿足于對學生在學習中可能出現的各種錯誤的事先預防與事后補救，同時，我們可以更好地理解為什么應積極地去提倡深度教學。因為，只有這樣，我們的教學才可能取得真正的進步！

再者，如前面已提及的，無論是這里所說的“高觀點指導下的數學教學”，還是“數學學習中的再認識”，都是我們如何能夠真正做好數學教學的關鍵性環節或方面。當然，對于后者的具體涵義我們又應作出更加全面、更加深入的研究，后者也可被看成充分發揮問題引領作用的又一途徑，特別是，為了促進課程改革的深入發展，我們決不應滿足于已有工作的簡單梳理與概念組合，而應很好地弄清什么是數學教育的基本問題，我們在這方面的認識這些年來究竟又有哪些進步，還有什么不足。建議廣大一線教師也能對此作出自己的總結和反思，從而就可通過自覺的努力取得更大的進步！

參考文獻：

[1]蘇明強.《義務教育數學課程標準（2022年版）》變化解讀與教學啟示[J].福建教育，2022（18）.

[2]孫曉天，邢佳立.中國義務教育：基于核心素養的數學課程目標體系——孫曉天教授訪談錄（三）[J].教學月刊·小學版（數學），2022（3）.

[3]俞正強.如何把握小學數學中的“再認識”[J].教育研究與評論（小學教育教學），2022（4）.

[4]俞正強.種子課如何實現深度學習——以《用字母表示數》為例[J].人民教育，2021（15/16）.

[5]鄭毓信.小學數學教學“大道理”之深析[J].教學月刊·小學版（數學），2021（5）.

[6]張奠宙.張奠宙數學教育隨想集[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[7]鄭毓信.小學數學教育的理論與實踐：小學數學教學180例[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

[8]鄭毓信.多元表征理論與概念教學[J].小學數學教育，2011（10）.

[9]鄭毓信.數學深度教學的理論與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020.

[10]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

（鄭毓信，教授，博士生導師，南京大學哲學系，郵編：210008）