數學教育及教育數學的幾點散思

摘要：廣大中小學數學教育工作者，特別是一線教師，可以由《張景中教育數學文選》一書獲得很多方面的重要啟示，包括：數學教育的主要價值是提供智力上的滿足（好玩、有趣）以及思維的訓練;小學數學教學應當滲透函數、數形結合、寓理于算等數學思想;落實數學教學工作的創造性應該整體研究學科分支，建構“平易直觀的概念，簡單明快的邏輯結構，通用有力的解題方法”。

關鍵詞：張景中;數學教育價值;數學思想;教育數學;數學再創造

華東師范大學出版社于2021年出版的《張景中教育數學文選》，是《當代中國數學教育名家文選》叢書中的一部。盡管其主要內容超出了小學數學的范圍，甚至部分內容超出了中學數學的范圍，廣大中小學數學教育工作者，特別是一線教師，仍可由這一著作獲得很多方面的重要啟示。以下從三個方面談談筆者閱讀這一著作的感受和體會。

一、 數學教育的主要價值

無論中小學學生，還是中小學數學教師，都應當認真思考一個問題：我們為什么應當學（教）數學？也即：我們應當如何認識數學學習（教育）的價值？因為，明確了數學的重要性，我們才能在學（教）數學時表現出更大的自覺性。應當指明的是，筆者在此有意識地沒有使用“數學究竟有什么用”這樣一個表達方式。因為，在當前的語境下，這往往會導致一個后果：將人們的思考引向乃至完全局限于數學在日常生活與工作中的應用。

再者，作為數學教師，如果我們所想的僅僅是如何讓自己的學生在各類考試，特別是升學考試中取得較好的成績，那么，相應的做法即使不應被簡單地斥責為“誤人子弟”，至少也應被看成具有很大的局限性。因為，我們顯然不能將應試看成教育工作的主要目標。對此，相信讀者可在以下兩位教師的闡述中獲得更深的感悟與認識。

一是陳立軍老師的經歷與感悟：剛畢業那會兒，哪里懂教育，只知道“考考考，老師的法寶;分分分，學生的命根”，并將此視為教育教學的準則和方向，起早貪黑地陪讀，口若懸河地灌輸，苦口婆心地勸誡，整天把學生逼進題海，只為學生考個好分數……可當領導、同事的鮮花掌聲涌來，卻沒有幾個學生感恩我的付出。學生的“冷血”讓我深刻反?。何揖蜑榱粟A得這一“佳績”嗎？如果給學生的只是分數，那叫教育嗎？

因此，在教育的“速成”與“養成”之間我選擇“養成”，與其大量“刷題”，不如陪學生讀一本書;在教學的“外鑠”與“內化”之間我追求“內化”，少強迫，多引導，讓學生在自我教育中成長;在教育的“有用”與“無用”之間我更鐘情于“無用”，班級的審美教育、底線教育、陽光教育等活動開展貫穿每學期。我知道，教孩子三年，就要考慮孩子30年的成長與發展。陳立軍.陪學生遇見美好的自己[J].人民教育，2020（5）：7879。二是陳大偉老師的思考與認識：“你為什么要當教師？”才當教師的時候，我可能只是想以此謀生。隨著時間的推移，現在的我愿意這樣回答：“我當教師，是想讓一些人有所改變?！?/p>

“你準備當什么樣的教師？”這是為自己的教育人生確立方向和目標。我的回答是：準備成為當下學生不那么討厭、若干年后學生還樂于談論的教師……我能想到“最浪漫的事”，就是在教師生活中有一些超越和創造，一路上收藏點點滴滴的創造，退休以后坐在搖椅上跟自己的子孫們慢慢聊。千萬不要在別人問起自己的教師生活時，什么也說不出來。陳大偉.當教師，需要想好幾個問題[J].教育研究與評論，2021（5）：125。那么，究竟什么是數學教育的主要價值呢？對此，應當說已經有了很多的論述。比如，1959年，華羅庚先生在《人民日報》發表的《大哉數學之為用》就是討論這個問題的十分著名的一篇文章;后來，還有由王梓坤先生執筆、以“中國科學院數學物理學部”為名發表的文章《今日數學及其應用》。與此相比較，美國著名數學史家M.克萊因的以下論述則可說涉及了更多的方面，更可說從一個不同的角度極大地開闊了人們的視野：“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科技可以改善物質生活，但數學能提供以上一切?！?/p>

這里，特別需要提及一個廣受數學家和數學愛好者認可的觀點：數學主要地應被看成一種心智活動，它帶給人們的也就主要是智力上的滿足。比如，數學家洛克哈特說道：“我們談的是一個完全天真及愉悅的人類心智活動——與自己心智的對話。數學不需要乏味的勤奮或技術上的借口，它超越所有的世俗考量。數學的價值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂。”② 保羅·洛克哈特.一個數學家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學習、走進美麗的數學世界[M].高翠霜，譯.上海：上海社會科學院出版社，2019：132，35?！斑@就是數學的外貌和感覺。數學家的藝術就像這樣：對于我們想象的創造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達到如此純粹的概念世界;如此令人著迷、充滿趣味……”②

當然，如果我們只會引用別人的論述，而沒有任何真切的感受，那么，不僅自己會感到缺乏底氣，也一定會讓人感到空洞乏味。正因為此，作為數學教師，我們就應認真地嘗試一下：看看自己對此能否作出解讀，或者舉出哪怕是最簡單的一個實例。

以下是《張景中教育數學文選》中的一些相關論述：

首先是張景中先生對“您能談談數學好玩在什么地方嗎？”這一問題的回答：“我覺得數學好玩是因為數學非常理性，首先在學習和研究的過程中，數學能夠讓人感覺到解放……數學能夠讓很多原來不行的東西都變得行了。剛開始學數學時，有一些清規戒律，隨著我們不斷地往下學，這種清規戒律就不斷地被打破，使人一次又一次地感覺到解放。比如，原來負數是不能開方的，后來經過一定的發展，負數就能夠開方了。再如，原來只是有窮個數相加，后來無窮個數也可以相加。在這個逐漸學習的過程中，你就會感覺數學的清規戒律越來越少……由此你可以看到，數學里面無禁區。你只要想做的都可以做到，原來沒有規定的你也可以規定，原來他是這樣定義的你可以那樣定義，這讓我感覺到了解放。”④⑤ 張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：590，590591，591。

其次是張景中先生對“您覺得哪些是大多數中小學生能夠感受、體驗到數學好玩的地方？”這一問題的回答：“我想應該是力量感。數學是很有力量的。因為有時候，你只需要學一個小時，解決問題的力量跟以前就大不相同了。比如，在小學里，那種很難的應用題……學生拿回去，自己不會，家長也不會，解起來很困難。到后來，學了代數，列個方程就可以解出來了。你越不斷學習，就越會覺得數學給人帶來的力量簡直是不可想象的……很多問題的解決方法都是世界上許許多多愛動腦筋的人想了很久，終于想出來的。這種方法是前人經過幾百年才探索出來的，如果你學會了，那么你就在一節課里前進了幾百年……這種原創性的問題，我們在數學學習中、在數學教學時幾乎每個星期都會遇到，而且自己在解題時，也會創造出新的東西來。所以，如果老師在教學時也能帶給學生一種力量感，經常讓學生體會到昨天還不會的問題今天就會了，那么，學生對數學的看法就會不同了?！雹?/p>

最后是張景中先生對“除了感覺到解放和力量，您覺得數學還能讓我們感覺到什么呢？”這一問題的回答：“數學還能讓人感覺到震撼……這說明了數學給人帶來的好處，表面上看不出什么的事情，它的背后卻隱藏著一定的規律。再如，假定全班有50個學生，如果你問有沒有兩個人的生日是同一天的，回答幾乎都是有的。我們可以用概率進行推斷，這種情況發生的可能性在97%以上，而且可以馬上算出來……”⑤

顯然，以上論述也為我們更好地理解“數學好玩”（或“數學帶給人們的主要是智力上的滿足”）等在現實中經?？梢月牐矗┑降挠^點提供了直接的啟示：“數學的趣味性不在外部，而在它的內部。要讓學生能夠鉆研到里面，體會到數學的趣味性。要做到這些，需要提高老師的水平、教材的水平以及整個社會考試的引導。我們現在的考試，要求學生在一兩個小時內完成一二十道題目，實際是讓學生在有限的時間內解更多的題，而不要做過多的思考。我想這是很不好的?！睆埦爸?張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：593594。

當然，教師除了自己對此有清楚的認識，特別是真切的感受，還應善于將此傳遞給學生，從而激發他們更好地學習數學。以下就是語文教育方面的一個實例（希望在數學教育領域也能看到更多這樣的范例）：語文自身的魅力，是學生對語文產生濃厚興趣的最重要因素……我努力讓第一節課展現語文的獨特魅力。

……

“語文里藏著什么呢？”我輕點鼠標，屏幕上出現了“語文里有美妙的音樂”幾個大字。學生一臉疑惑，而我則開始背誦《聲律啟蒙》的選段：“云對雨，雪對風，晚照對晴空……”

誦完，我問學生是否好聽，他們都說;“好聽，好聽?！蔽覇査麄兪欠裨敢庾约鹤x讀，他們連呼“愿意”。屏幕上的文字一出現，他們就迫不及待地讀了起來，越讀越感受到文字的悅耳。盡管學生還不太清楚其中的意思，但絲毫不影響他們的誦讀熱情。

……

“語文里除了動聽悅耳的音樂，還有什么呢？”隨著我的發問，“語文里有深深的智慧”出現在屏幕上。“我要開始講故事了?！币宦犛泄适拢瑢W生興奮得不得了，幾乎要歡呼雀躍。

“有一次，美國代表來我們國家訪問，代表團里有位官員當著周總理的面說：‘中國人很喜歡低著頭走路，而我們美國人卻總是抬著頭走路。此語一出，震驚四座。因為誰都聽得出來，這位官員在嘲笑、諷刺中國人。周總理卻不慌不忙，面帶微笑地說：‘這并不奇怪。因為我們中國人喜歡走上坡路，而你們美國人喜歡走下坡路。話音剛落，那位官員立即低下了頭，不敢出聲了。”

學生聽后哈哈大笑，我朗聲說：“周總理的話就是智慧！學好語文，你也會擁有智慧！”……

“語文里還有濃濃的情感。我將要為大家朗讀一篇文章，題目叫《娘，我的瘋子娘》，里面就蘊含著濃濃的情意，不信你聽！”……

我讀了起來……讀著，讀著，教室里越來越安靜，到后來幾乎能聽到彼此的呼吸聲……

我的聲音有些哽咽！讀完整篇文章，大家都沉默了。有些學生眼中閃動著晶瑩的淚花。我說：“樹兒的娘對他的愛讓人十分感動！我們每個人的媽媽都非常偉大。她們的愛讓我們感到溫暖、快樂，誰愿意說說你的媽媽對你的關愛？只要說一件事，并講講母愛讓你感覺像什么?！?/p>

……

快要下課了，我總結道：“語文里有音樂，有智慧，有情感，想必這節課我們已經有所體會了，但是語文里其實還有很多有意思、有意味的寶藏，這就有待你們以后自己去尋找、挖掘了。”彭峰.我的第一節語文課[J].教育研究與評論，2022（1）：125127。最后，作為對數學教育主要價值的具體解答，筆者想特別引用《單墫數學與教育文選》一書（也屬于《當代中國數學教育名家文選》叢書）中的一個觀點：“數學對思維的訓練還是有用的，這才是數學的最廣泛的‘實用性，這才是我們要學數學的主要原因。”單墫.單墫數學與教育文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：616。因為，與前面提出的“作為一種心智活動，數學具有‘無用之用、無為之為”這樣的觀點相比較，這顯然是更加合適的一個提法。

二、 數學思想與小學數學教學

在此，筆者想特別推薦《張景中教育數學文選》中的兩篇文章：《感受小學數學思想的力量——寫給小學數學教師們》與《小學數學教學研究前瞻》。因為，這不僅對我們改進教學有直接的指導意義，也可幫助我們更好地理解什么是真正的“居高臨下”，從而不至于被某些看上去十分高深、實質上卻空洞無物，甚至還有一定誤導作用的“宏大言論”（如“分數的本質在于無量綱性”等）所迷惑。

下面，聯系數學教育改革進行分析說明。顯然，數學教育改革涉及很多的方面。例如，我國新一輪的數學課程改革有一個十分明顯的特點，即對教學方法改革的突出強調。與此相對照，如果我們所關注的不只是課堂的教學，那么也就應當十分關注教學內容的選擇。再者，如果說關于教學內容的選擇仍可被歸屬于教學中的“顯性方面”，那么，關于基本教育目標的分析顯然就上升到了一個更高的層次，盡管它從形式上看似乎與日常教學活動有較大的距離。另外，這恐怕也就是數學課程標準為什么要專門談及所謂的“核心概念”（現在演變為“核心素養”，與此密切相關的還有“重要思想”這樣一個概念）的主要原因：核心概念（重要思想）在一定程度上可起到橋梁的作用，盡管其準確界定并不容易。具體地說，作為核心概念，顯然應當少而精。我們不僅應當通過全部學習內容的綜合分析很好地提煉出相應的核心概念，從而起到“分清主次，突出重點，以主帶次”的作用，而且應當由具體的“知識和技能”上升到“思維和方法”，從而從更高的層面對實際教學起到統領的作用——正因為此，筆者以為，將核心概念分別歸屬于所謂的“三會”就不很恰當，特別是，我們不應僅僅關注這種“向上的聯系”，也應注意分析其與具體教學內容的關系，即“向下的聯系”，這樣，我們才能進一步談及所謂的“大道理”，包括真正做好“高觀點指導下的數學教學”。

由此，我們即可很好地理解張景中先生的以下論述：“小學生的數學很初等，很簡單。盡管簡單，里面卻蘊含了一些深刻的數學思想?！雹??張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：558，565?！昂瘮档乃枷?、數形結合的思想、寓理于算的思想……這些思想是可以早期滲透的。早期滲透是引而不發，是通過具體問題來體現這些思想……學下去，過三年五年，學生就體會到，是數學思想的力量。”④

由于對（小學數學教學中）數形結合的思想已有眾多的論述，盡管我們也可由張景中先生的相關論述獲得關于滲透數形結合思想的重要啟示，如讓學生盡早使用幾何語言等，以下分析還是集中于張景中先生關于滲透函數的思想和寓理于算的思想的論述。

首先是關于滲透函數的思想的論述：最重要的，首推函數的思想。

比如說加法，2和3加起來等于5，這個答案“5”是唯一確定的，寫成數學式子就是2+3=5。如果把左端的3變成4，右端的5就變成6;把左端的2變成7，右端的5就變成10。右端的數被左端的數唯一確定。在數學里，數量之間的確定性關系叫作函數關系。加法實際上是一個函數，由兩個數確定一個數，是一個二元函數。如果把式子里的第一個數‘2固定了，右端的和就被另一個數確定，就成了一元函數。

……

當然，不用給小學生講函數概念，但老師有了函數思想，在教學過程中注意滲透變量和函數的思想，潛移默化，對學生數學素質的發展就有好處。

比如學乘法，九九表總是要背的?！叭叨弧钡南乱痪涫恰八钠叨恕?，如果背了上句忘了下句，可以想想21+7=28，就想起來了。這樣用理解幫助記憶，用加法幫助乘法，實質上包含了變量和函數的思想：3變成4，對應的21就變成28。這里不是把3和4看成孤立的兩個數，而是看成一個變量先后取到的兩個值。想法雖然簡單，小學生往往想不到，要靠老師指點。挖掘九九表里的規律，把枯燥的死記硬背變成有趣的思考，不僅是教給學生學習方法，也是在滲透變量和函數的數學思想。張景中. 張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：558559。對此，筆者想特別提及當前國際數學教育改革的一個普遍趨勢：由主要強調小學階段應當盡早引入某些專門的代數課程轉向大力提倡“早期代數”，即認為小學算術教學應當很好地滲透代數思維。

當然，這方面工作的一個必要前提是對代數思維的正確理解，特別是，我們不應僅僅將其理解成“字母符號的引入”，包括將此看成直接對象純形式的操作，也應清楚地認識到這樣一點：符號的引入為我們很好地實現“一般化”提供了重要的工具。此外，“代數思維的本質并不是對代數符號的使用，而是對代數結構與關系的理解。對這種結構與關系的培養，應該從小學一年級數與計算的教學開始”章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學階段“早期代數思維”的內涵及教學——墨爾本大學教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學教學（數學版），2016（11）：13。。因此，就代數思維在小學數學教學中的滲透而言，我們還應十分重視由“操作性觀念”向“關系（結構）性觀念”的轉變，即應將著眼點由如何獲得相應的結果轉向對數量關系，特別是等量關系的分析。

頗有趣味的是，相關人士在對這一觀點進行論述時，所舉出的正是加減法的例子：在小學低年級的教學中，需要特別強調對等式的理解……在小學一年級時，經常會讓學生口算，比如3+4。這里值得注意的是，我們要強調3+4“等于”7，而不要說“得到”7。因為這里的等號有兩個層面的意義：一是計算結果，就是我們經常說的“得到”;二是表示“相等關系”。我們在學生剛接觸等號時，就要幫助他們建立起對等號的這種相等關系的理解。因此，有時候，讓一年級的學生接觸7=3+4這樣的算式是有必要的，因為在這樣的算式中，你就沒法將等號說成“得到”。當然，這里也要嘗試讓學生理解7同樣也等于4+3。3+4=4+3，第一個加數增加的時候，第二個加數減少，這兩個加法算式還是保持相等的。在這之后，可以讓學生嘗試看兩邊都不止一個數的等式，如17+29=16+30……此外，還可以給學生利用相等關系判斷正誤的式子。比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3。

……

為了幫助學生更深入地理解這種相等關系，下面的例子可能值得考慮。學校里來了10個新學生，但是我們現在不知道男生和女生各有多少人，你能說出有多少個男生、多少個女生嗎？可以先讓學生列出所有的可能性，如9個男生、1個女生，6個男生、4個女生……然后進一步引導學生發現，在所有這些組合中，如果男生減少1個，女生必然要增加1個，以保證總人數是10個。這其實就是保持加法中的相等關系所需要做的“補償”，也就是中國課程里說的和不變性質。在減法中也有相等關系，不過與加法不同。比如，在讓學生思考類似“今年小明8歲，哥哥比小明大9歲，15年后哥哥比小明大幾歲”這樣的問題時，除了要求學生理清其中的數量關系得到正確的答案，更重要的是幫助學生形成這樣的意識：減法算式的結構與加法算式不同，當被減數與減數同時增加（或減少）相同的數時，差是不變的。章勤瓊，麥克斯·斯蒂芬斯.小學階段“早期代數思維”的內涵及教學——墨爾本大學教授麥克斯·斯蒂芬斯訪談錄[J].小學教學（數學版），2016（11）：11。顯然，張景中先生的論述與以上論述相比，可以說達到了更高的層次，即從一個更高的層面為我們做好小學算術教學指明了一個新的努力方向。

其次，關于滲透寓理于算的思想，相對于一般性理解而言，張景中先生又強調了“理”和“算”之間的聯系：小學里主要學計算，不講推理。但是，計算和推理是相通的。

……

推理是抽象的計算，計算是具體的推理……我們可以舉些例子，讓學生慢慢體會到所謂推理，本來是計算;到了熟能生巧的程度，計算過程可以省略了，還可以得到同樣的結果，就成了推理。張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：563。張景中先生還給出了一些實例：比如，一個三角形ABC（如下頁圖1），如果D是底邊AB的中點的話，三角形ACD和三角形CDB的面積就相等。這可以計算出來：假設AD=DB=3，三角形的高是4，那么它們的面積都是6。最后可以得出結論：如果一個三角形的一條中線將它分成兩個三角形，那么它們的面積相等。先是計算得出相等，后來不計算也知道它們相等，這就由計算轉向推理了。

再比如圖2，上面一個四邊形ABOC，下面一個三角形BOC，設AO=2OD……也就知道了三角形AOB的面積是三角形BOD面積的2倍。當然，如果給出具體的數據，也是能夠計算出來的。這樣算過之后，就會進一步推出一般的規律：四邊形ABOC和三角形BOC的面積比等于線段AO和OD的長度比，計算就轉化成推理了。② 張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：567568，569。

應當強調的是，從張景中先生的相關論述中，我們還可獲得關于如何提升學生解決問題能力的重要啟示：我們說數學是思維的體操，思維的體操應向什么方向引導？怎樣教學，才能使學生將來上了大學后回想起他小學里學習的東西時，覺得對他大學的學習還有幫助？能不能引導學生逐步從常量到變量？……小學里講了很多應用題，這些應用題有什么共同點？很多教材都沒有指出。其實是有共同點的：大量的題目，都涉及一次函數關系。

舉一個雞兔同籠的例子：雞和兔共有12個頭、34只腳，有多少只雞？學生只會想到這些字面的意思，但是數學家、老師和教材編寫人員可以想到這樣一個表：雞（只）1234567891011兔（只）1110987654321總腳數4644424038363432302826這個表說明，答案和題目中的某個數，有函數關系。如果這樣問小學生：“1只雞對不對呀？”“不對。1只雞和11只兔子共有46只腳，不是34只腳呀！”但是，數學家不這樣，數學家就會考慮多少只雞和多少條腿之間的關系，隨著雞的增加腿的數目在減少，這是函數關系。假設一個答案代進去不對，必然可以由某一個數檢驗出來，不對的答案和題目中某個數之間有個關系，知道了這個關系，就知道答案往上調整還是往下調整，很快就會得到正確答案。這是個笨辦法，學生不理解，以為這個辦法不好。但這個辦法有個特點：幾乎所有的應用題都能用它來求解。因為小學應用題基本上都是一次函數。這個方法從解決具體問題的角度來看是個笨辦法，但從數學觀點來看，是個高等觀點。學生掌握了這個方法，有了這個觀點，就可以解決各種各樣的應用題了。即使是很簡單的題目，也可以把它由靜態變成動態。②在張景中先生看來，由以上實例，我們也可很好地理解“動靜結合”這個重要的數學思想（解題策略）。當然，對此我們還可圍繞“變與不變”“過程與結果”“特殊與一般”“整體與局部”等辯證關系作出自己的分析、理解，包括陳省身先生提出的更高層次的方法論（也是價值觀）原則：“數學可以分為好的數學與不好的數學，好的數學指的是能發展、能越來越深入、能被廣泛應用、互相聯系的數學;不好的數學則是一些比較孤立的內容。”② 張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：565，前言1?！信d趣的讀者還可參照《小學數學教師》2022年第2期發表的主題為“以數學活動經驗發展‘數學論證”的一組文章，對我們究竟應當通過何種渠道或路徑幫助學生學會論證，包括我們是否又應特別強調“活動經驗”在這一方面的重要作用，作出自己的思考，從而認識到堅持獨立思考的重要性，不因為盲目追隨潮流而不自覺地陷入某種認識的誤區。

由于函數的思想、數形結合的思想、寓理于算的思想，都屬于“好的數學”，我們就應十分重視這些思想在小學數學教學中的滲透。當然，依據這樣的認識，我們又應進一步思考：我們是否應該將“函數的思想”與“數感”“符號意識”一起看成數與代數教學最重要的指導思想，乃至將它列入“核心概念”？我們又是否應當將所謂的“運算能力”與“推理能力”合并為“計算與推理能力”？

三、 教育數學與數學教學的創造性

閱讀《張景中教育數學文選》，顯然繞不開對其中最重要的概念——“教育數學”的理解。因為，這個概念的提出，是張景中先生在數學教育方面最重要的貢獻;而張景中先生圍繞這個概念展開的大量的具體的研究，是本書的主要內容。

張景中先生認為：“所謂教育數學，就是為教育的數學。改造數學使之更適宜于教學和學習，是教育數學為自己提出的任務。為把數學變容易，而提出新定義新概念，建立新方法新體系，發掘新問題新技巧，尋求新思路新趣味。凡此種種，無不是為教育而做數學?！雹?/p>

通過對照比較，我們可以對此有更好的理解：

其一，正如人們普遍了解的，弗賴登塔爾對數學教學的具體建議是：讓學生通過“重復”歷史上的發現與創造來學習數學。這也就是所謂的“再創造原則”。對此，弗賴登塔爾做過進一步的說明：“創造，照這里的理解，是學習過程的若干步驟，這些步驟的重要性在于‘再創造的‘再。”④ 弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的講學[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：63，67?！昂⒆討撝貜腿祟惖膶W習過程，但并非它的實際發生過程，而是假定人們在過去就知道更多的我們現在所知道的東西，那情況會怎么發生?！雹?/p>

顯然，張景中先生所強調的由“數學教育”向“教育數學”的轉變，事實上也是一種“再創造”，只是其主體已不是學生，而是關注教育的數學家。因為，這一工作對學生而言顯然有較大的難度。這恐怕也就是弗賴登塔爾后來為什么特別強調“教師指導下的再創造”的主要原因。

其二，就應當如何認識數學教學工作的創造性而言，筆者曾經提過一個建議：通過自己的分析，使得相應的思維活動對學生而言真正成為“可以理解的、可以學到手和加以推廣應用的”。鄭毓信.數學方法論[M].南寧：廣西教育出版社，1991：序言。也正因此，相對于一般所謂的“數學史在數學教學中的滲透”而言，我們應更加重視“數學史的方法論重建（或理性重建）”。鄭毓信.文化、歷史與數學教學[J].江蘇教育，2021（43）：2327。

進而，如果說我們在此主要是就各個具體的教學內容進行分析的，那么，張景中先生的高明之處就在于由各個具體的數學內容擴展到了整個學科分支，如“幾何新方法和新體系”“微積分推理體系的新探索”等，乃至如何將相關的數學機械化思想或理論應用于幾何定理的機器證明。

當然，在此仍有一個理解的過程。下面就以平面幾何領域的“面積法”（該方法還被發展為“消點法”，應用于幾何定理“可讀的”機器證明）為例，給出筆者的分析，希望能有助于讀者更好地理解張景中先生相關工作的合理性：

如眾所知，全等三角形在平面幾何研究中具有特別重要的地位，其實質就在于：只需依據三個條件（至少一邊），就可推出兩個三角形全等，從而求得其他的邊或角。盡管這一方法十分有效，但其所要求的仍是一個很強的條件，也就未必適用于所有的場合。正因為此，我們就應認真地思考一個問題：能否通過適當地減弱條件，找出更有效的方法？從三角形全等是指兩個三角形同時滿足“形狀相似”和“面積相等”這一角度來分析，保留“形狀相似”，放棄“面積相等”，可以自然引入“相似三角形”的概念;而保留“面積相等”，放棄“形狀相似”，則可自然引入“等積形”的概念。

應當強調的是，盡管上述思想的產生可以說十分合理，但真正的創造性工作還應當努力實現整體性理論的建構，特別是“平易直觀的概念，簡單明快的邏輯結構，有力而通用的解題方法”的建構。這也就如張景中先生所指出的：“我國古代數學家曾用面積關系給出勾股定理的多種證明方法。但長期以來，它僅僅被認為是一種特殊的解題技巧。我們在1974年到1994年這20年間，逐步把面積技巧發展為一般性方法并建立了以面積關系為邏輯主線的幾何新體系?！雹?張景中.張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：17，5。

張景中先生從一般的角度總結了從事相關工作的三條基本原則（他稱之為“教育數學三原理”）：第一，在學生頭腦里找概念;第二，從概念里產生方法;第三，方法要形成模式。張景中先生還對其作了具體的說明：學生頭腦里已有很多知識印象，它們要和新來的概念起反應發生變化，使新概念格格不入甚至被歪曲。把學生頭腦里的東西研究一番，利用其中已有的東西加以改造形成有用的概念，是一個重要手段。這樣，學生學起來親切容易。

光有概念不夠，還必須有方法。數學的中心是解題，沒有方法怎么解題？從概念里產生方法，就是說有了概念之后，概念要能迅速轉化為方法。不能推來推去走過長長的邏輯道路，學生還看不見有趣的題目，摸不到犀利的方法。

方法不能過多，不能零亂，要形成統一的模式。像吃飯一樣，光吃零食不利于腸胃吸收，不利于健康。形成模式，即形成較一般的方法，學生才會心里踏實、信心倍增。

總之，教育數學三原理很簡單，無非是說概念要平易、直觀、親切，邏輯推理展開要迅速、簡明，方法要通用有力。②由此，張景中先生基于面積概念，提出了兩個基本的定理。（1） 共邊比例定理：若直線AB與PQ相交于點M，則△PAB△QAB=PMQM（類似于用表示線段的符號表示線段長，這里用表示三角形的符號表示三角形的面積，后同）。（2） 共角比例定理：若△ABC與△A′B′C′中有∠A=∠A′或∠A+∠A′=180°，則△ABC△A′B′C′=AB·ACA′B′·A′C′。

對此，張景中先生明確指出：“這兩個定理得來不費功夫。由于平凡，兩千多年間無人重視。其實，它們用處很大。有‘雞刀殺牛之效……教學實踐表明，可節省課時，提高學生能力，有多快好省的效果?！睆埦爸?張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：1920。

運用這兩個定理，很容易證明平面幾何中的眾多結論——可以免去作輔助線的困難和麻煩。下面試舉兩例。

一是三角形內角平分線性質的證明。三角形內角平分線的性質是指：三角形中任何一個角的平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。關于這一性質的證明，教材中普遍采用的方法如圖3所示，應當說并不困難。但是，這一證明的思路是如何得出的？我們又如何能使這一證明對學生而言是十分自然的？不可否認的是，CE這一輔助線的添加很難想到，就像G.波利亞所說的“從帽子里掏出來的兔子”一樣。

與此相對照，如果使用上面的兩個定理，這一性質的證明就會變得十分容易：由于DA是角平分線，依據共角比例定理，顯然有△ADB△ADC=AD·ABAD·AC=ABAC;依據共邊比例定理，又可得△ABD△ADC=BDDC;將兩式直接聯系起來，即可得到ABAC=BDDC。

二是“三角形中線的交點將中線分割成的兩條線段的比為2∶1”的明證。如圖4所示，設△ABC的兩條中線AM、BN交于點G，依據共邊比例定理，可得BGGN=△AMB△AMN;因為N是邊AC的中點，顯然有△AMN=△CMN=12△AMC;同理可得△AMB=△AMC;所以△AMN=12△AMB，也即△AMB=2△AMN，所以BGGN=△AMB△AMN=2。

因此，靈活運用這兩個定理（尋找共邊模型和共角模型）的面積法可以被看成解決一大類平面幾何問題的一種模式化（通用）方法。進而，“教育數學三原理”可以被看成如何由“就題論法”上升到“就題論道”的典型實例。

由此也可看出，張景中先生的教育數學重構，主要指向的是破解數學解題的困難。究其原因，除了學生通常對所謂的“知識理解的困難”缺少直接的感受之外，在張景中先生等很多數學家看來，“問題是數學的心臟”，數學知識（廣義的，包括陳述性的“知識”和程序性的“方法”）主要是解決問題的工具（否則，為什么要有或學這些知識？），因此，數學學習的困難主要表現為數學解題的困難。

在此基礎上，張景中先生進一步分析了數學解題教學的“小巧”（題海戰術，搜集大量問題，分成類型，傳授巧法妙招，以備套用）與“大巧”（強調基本知識和技能，關注一般的解題思考原則）的不足：“小巧”一題一法，固不應提倡;“大巧”法無定法，也確實太難（即使是數學家，在自己的專長領域之外，也未必敢說掌握了“大巧”可參見《張景中教育數學文選》第23頁所舉的華羅庚先生一時間也解不出一個不很難卻陌生的初等數學問題的例子。這個例子能給我們一個重要的啟示：數學教學不應脫離對具體問題與知識的深入思考與深刻認識，而追求某些“大而無當”甚至“虛無縹緲”的核心概念，畢竟我們總不能說華羅庚先生缺少核心素養吧。當然，這既說明核心素養的培養離不開對具體內容的深刻認識，離不開對思想的領悟和對經驗的積累，也說明應該把核心素養當成一種終極的永遠無法達到的狀態。）。從而提出“中巧”說：“所謂中巧，就是能有效解決一類問題的算法或模式……我們用面積法和消點法創造了幾何解題的一類中巧。”“在學習中巧的過程中體驗數學的思想方法，鍛煉邏輯推理的能力，或能部分地掌握大巧。至于小巧，學一點也好，但不足為法。”“教育數學要研究有效而易學的解題方法，要提供中巧?！睆埦爸?張景中教育數學文選[M].上海：華東師范大學出版社，2021：2324。

這些論述對我們在數學教學，尤其是解題教學中提升創造性有更加直接的啟示：洞察本質，打開思路。同樣地，這里的“中巧”和陳省身先生所說的“好的數學”也是相通的。而且，除了“面積法”（“消點法”），中小學數學中已有的基于十進位值制記數法進行數的運算（對此，教師可在適當的時機引入其他記數法，讓學生對比感受十進位值制記數法的優越性）、利用方程解決四則運算應用題、利用導數研究函數的增減凸凹、利用數學歸納法處理與自然數有關的命題、利用解析幾何方法（乃至向量方法可參見《張景中教育數學文選》中的兩篇文章：《論向量法解幾何問題的基本思路》與《幾何代數基礎新視角下的初步探討》。）解決平面幾何難題等，其實都是“中巧”，都是“好的數學”。

進一步分析，筆者體會到：無論“相似三角形”，還是“面積方法”，其應用都離不開邊的比例關系，因此，我們就應將“比（例）”的概念看成中小學數學教學中最重要的概念之一——不難想到，這與張景中先生關于“算術應用題大多與一次函數密切相關”的論述也是完全一致的。再者，如果說概念分析可被看成從一個角度清楚地表明了“聯系的觀點”的重要性，啟示我們應當通過整體分析切實做好“分清主次，突出重點，以主帶次”，那么“面積法”，特別是上述“基本方法”則清楚地表明了“變化的思想”的重要性，因為，它們主要都是通過將邊與邊之間的關系轉化為面積之間的關系來解決問題的。又由于“聯系的觀點”和“變化的思想”都可被看成重要的思維品質，總體而言，上述案例就不僅可被看成“在學習中巧的過程中體驗數學的思想方法”的很好實例，而且清楚地表明這樣一點：相對于各種具體方法的學習，我們應當更加重視學生思維品質的提升，包括將此看成數學教育的基本目標。顯然，從這一角度，我們也可更好理解“居高臨下”的重要性。（鄭毓信，南京大學哲學系，教授，博士生導師。享受國務院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學術研究與各類教學工作50多年，包括中學、大學、研究生教育與各類教師培訓工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區做長期學術訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學做專題學術講演。出版專著30余部，在國內外學術刊物上發表論文近500篇，學術成果獲省部級獎7次。在數學哲學、數學教育、科學哲學與科學教育領域有較大影響。）