再談數學語言及數學語言能力培養

邵光華　張妍　程玉婷

摘要：數學語言是伴隨著數學學科的發生和發展而逐漸豐富、系統起來的儲存、傳承以及加工、創造數學思想和內容的工具。數學語言的特殊表現是數學模型，也就是數學的應用。數學語言具有準確性、簡約性、應用廣泛性等特點﹐從形式上可以分為文字語言、符號語言和圖表語言三類，并具有表達功能、應用功能和思維功能。培養學生的數學語言能力，除了常見的指向日常表達或口頭表達的做法之外，還需要注意依據不同的數學語言形式采取不同的教學策略，加強數學閱讀，重視模型意識培養，使學生學會“用數學的語言表達現實世界”。

關鍵詞：數學語言;數學語言能力;數學核心素養﹔數學建模

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）明確給出了數學核心素養的基本構成（凝練表現）：“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。”這就將數學語言的重要性抬到了一個前所未有的高度，讓我們不得不重新審視數學語言及相關能力培養的問題。

其實，長期以來，數學語言都備受關注，關于數學語言的研究一直沒有停止過。目前，中國知網數據庫一共收錄了3000多篇主題為“數學語言”的文獻（詳見下頁表1）。分析發現，這些文獻多集中于數學語言的特征、能力結構，影響數學語言能力發展的因素以及一般意義上的教學策略研究。本文試從核心素養的角度，對數學語言的內涵、特點、形式、功能及能力培養等，再做一些深入思考。

一、數學語言的重審視

（一）數學語言的內涵解讀

2022年版課標指出：“數學語言主要表現為：數據意識或數據觀念、模型意識或模型觀念、應用意識。”①這個表述比較獨到，但也比較晦澀，可以理解為：處理數據使用的是數學語言，構建模型使用的是數學語言，利用模型分析、解決問題使用的是數學語言。對此，2022年版課標在進一步解釋中指出：用數學語言表達現實世界中的簡單數量關系與空間形式，運用數學語言表達現實生活與其他學科中事物的性質、關系和規律，使用真實數據表達、解釋與分析現實世界中的不確定現象。這便在一定意義上表明了數學語言的內涵，即數學語言是表達數學思想和內容的載體，是表達事物性質、關系和規律的工具，是表達、解釋與分析不確定現象的數據及其處理工具。可以說，數學語言是伴隨著數學學科的發生和發展而逐漸豐富、系統起來的儲存、傳承以及加工、創造數學思想和內容的工具。因此，數學語言與數學內容之間有一種互為表里的對應關系。學習數學（內容），在某種層面上也是學習數學語言，即理解、領會數學語言所表達的含義。

2022年版課標修訂組組長史寧中教授從表達的內容上，對數學語言做了進一步的明晰和強調。“數學語言由數學的基本概念、符號表達、運算規則、形式邏輯、模型構建等基本元素組成。”②這一闡釋較為具體地呈現了數學語言的內容構成。“數學的語言是什么呢？主要是數學模型（包括用于數據分析的統計模型）。（抽象的）數學借助于數學模型回歸現實世界，數學模型搭建了數學與現實世界的橋梁。一方面，數學發展的真正動力是其在現實世界中的應用，數學要有重大發展，必須并且只能靠研究者在現實世界中獲取靈感，并在不斷應用的過程中汲取養分……另一方面，在現代社會，幾乎所有的學科在科學化、條理化的過程中都要使用數學語言，并借助數學符號構建數學模型，以此揭示研究對象的性質、關系和規律。”③這一解讀強調了數學語言的特殊表現，就是數學模型，也就是數學的應用。學習數學，歸根結底是要解決問題;掌握數學語言，才能構建數學模型解決問題。而且，數學模型是由數學符號語言構成的特殊的關系結構，是作為一個符號語言組合體而存在的。

可見，數學語言的內涵似乎更加豐富了，既指通俗的與數學及數學教育相關的言語及表達，又指數學高度專業化的科學語言，如準確的概念、規范的符號、形象的圖形、直觀的表格、抽象的結構、復雜的模型等，典型特征是嚴謹的邏輯和特有的句法。

（二）數學語言的特點分析

數學語言與日常語言不同。“日常語言是習俗的產物，也是社會和政治運動的產物，而數學語言則是慎重的、有意的而且經常是精心設計的”①，是一種高度抽象的專業語言。基于表達具有數學學科特征的內容的需要，數學語言具有如下特點：

一是準確性。作為一門人工語言，數學語言的顯著特點是含義的準確性。在數學中，沒有外延模糊、內涵不定的概念，也沒有模棱兩可、似是而非的結論，每一個符號、式子等代表的意義都必須是確定的。如果數學語言不準確，就很難保證推理的嚴謹性以及結論的確定性。人們在進行科學表達時，通常用最精確的數學語言傳達最準確的信息。即使對于“偶然”發生的隨機現象，對于具有“不確定性”的隨機事件，也要提出精確的概念和研究方法，來準確地回答這個隨機現象或事件發生的可能性大小。

二是簡約性。數學語言應該盡可能清除表達過程中的冗余信息，使自身變得簡潔、精煉，更具有一般性。不同于文學語言需要修飾和描述，數學語言則直接揭露事物的數學本質和意義，在用詞上幾乎少到不能再少一個字。②有人用“一個公式勝過一打說明”來表達數學語言的簡約性。例如，歐拉用小寫字母a、b、c表示三角形的三條邊，相應的大寫字母A、B、C表示對應的三個角，使三角形諸公式表達起來顯得整齊、簡單。③數學中，絕大部分公式都體現了形式簡潔、內容豐富的特點，而用基本的數學符號語言單位建構的數學模型顯得精致、簡練。

三是應用廣泛性。數學的廣泛應用帶來的就是數學語言的廣泛應用，主要表現在作為數學語言主要成分的數學符號語言的以下兩個方面的功能：（1）數學符號語言是各門科學的通用語言。數學符號語言在物理、化學、生物學、地理等學科中都發揮著重要作用，它們把數學符號語言作為表述自身科學理論的工具。（2）數學符號語言是世界的、公共的、共同的語言。數學符號語言是世界各個國家、各個民族的通用語言。盡管各個國家可能使用著各自的語言，同一國家的不同民族也可能使用著不同的語言，但看到數學符號語言，比如阿拉伯數字1、2、3、4……盡管讀音不同，卻都能明白其意義。“數學無國界”，數學符號語言具有跨地域的通用性，這給數學的國際交流、傳播帶來極大的便利。

（三）數學語言的形式分類

為了清楚地表達數學思想和觀點，除了數學符號語言，還可以使用文字或圖表。這些經常出現在數學研究成果或數學教材中的語言，我們都稱為數學語言。這樣，從形式上看，數學語言就可以分為文字語言、符號語言和圖表語言三類。

1.文字語言

數學中的文字語言是自然語言中用于表達數學概念、思想、關系、結構等的語言。它通常不是自然文字語言的簡單移植，而是經過一定的數學加工、改造（如精確化、限定、特指等）而形成的，且以數學概念、術語等形式被界定。例如，“直線”“全等”“相似”“連續”“區間”“排列”“組合”“極限”“軌跡”等都是自然文字語言的精確化;“絕對值”“正值”“中線”“負數”等都是對自然文字語言進行限定的結果;而“倍”“系數”“指數”“無理數”“概率”“正弦”“對數”“函數”等都是具有特定含義的數學文字語言。有些數學文字語言還具有比喻或象形意義，如“扇形”“中位線”“平行線”“射影”“倒數”“銳角”“參數”等，能展現某種直觀，使人較為形象地理解和領會。

數學文字語言不僅是對自然文字語言的借用，而且是對自然文字語言的發展和豐富，同時遵循自然文字語言的語法規則。這也是大多數情況下兩種語言的語義基本相同的原因。例如，在“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”這一表達里，“兩”“平行直線”“第三”“直線”“同位角”“相等”是數學語言，而“條”“被……所截”是非數學語言。顯然，只有數學語言，可能構不成具有明確意義的句子，需要非數學語言的輔助。當然，數學語言豐富后，就可以表達了。例如，“平面上兩條平行直線被第三條直線所截”可表示為“直線a、b、ca，a∩b=?，c∩a≠?，c∩b≠?”。

2.符號語言

符號語言是數學特有的通用語言，是人類數學思維長期發展形成的一種語言表達形式，是數學語言的典型代表。很多時候談論的數學語言都會被默認為數學符號語言。按感知規律，數學符號分為三種：象形符號、縮寫符號、約定符號。單獨的符號只是字符的一種，數學符號語言的根本在于符號構成的具有數學意義的關系、結構、模型，這是數學語言用于表達世界的基本形式。常見的身份證號、車牌號等，嚴格來說，都不是數學的應用或數學語言的表達，因為它不具有數學意義，只是按某種構成規則使用或部分使用數學符號來表達而已，是數學符號非數學意義上的使用方式。同一個數學對象的數學符號語言表達，可能因不同背景而有不同形式。例如，單位圓在直角坐標系中的符號表示形式，與在復平面中的符號表示形式，以及與在極坐標系中的符號表示形式極為不同。

數學語言是一種以符號表達為主的特殊語言。“數學的效能來自數學符號。”在影響數學發展的因素中，符號化是一種重要的力量。①正是由于數學的符號化，才得以形成數學特有的符號語言。數學的符號化可以理解為用一套含有數學意義的符號體系來表達數學對象及其關系、結構、規律。通過符號化，數學對象被符號形式表達，數學研究也就轉化為對符號形式的研究。數學模型建構使用的都是這種符號化語言，數學模型本身可以看成數學語言的一種應用，也可以看成一種特殊的數學語言表達形式，是用數學語言表達世界的一種結果。沒有數學對象的符號化表達，數學不會走得這么快、這么遠。

3.圖表語言

數學圖表語言是指包含一定數學信息的各種圖或表，可以細分為圖形語言（幾何圖形、統計分析圖、集合維恩圖等）、圖像語言（函數圖像或統計線圖等）和表格語言（統計數據表、分析表、框圖等）。它是數學形象思維的材料和結果，也是數學抽象思維的重要工具;它既是一種直觀表達的語言，也是一種概要表達（隱藏密集信息）的語言。它與數學概念、術語、符號、式子、模型等一起構成數學語言系統。有時，在一定意義上，根據一定的幾何關系要求構建的幾何圖形，可以看成一種幾何模型。

圖表語言釋義是復雜的，因為有時候含有豐富的信息。例如，一條拋物線的圖像中，直觀的開口方向蘊含著二次項系數的正負信息，再結合頂點的位置又可以知道一次項系數的正負信息，而與縱軸的交點包含著常數項的正負信息等。掌握圖表語言是現代社會的要求，學生必須學會讀圖（表），能讀出圖形、圖像和格表中蘊含的數學信息來。①

（四）數學語言的功能解析

與日常生活中所使用的語言一樣，人們可以借助數學語言進行思維、表達和交流，也可以借助數學語言認識、理解和反映現實世界。

1.數學語言的表達功能

數學語言能夠簡明扼要地表達數學思想和內容，豐富語言文化素養。2022年版課標指出了數學的語言屬性：“數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。”②并且進一步闡述了數學語言的表達功能：“數學為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式。通過數學的語言，可以簡約、精確地描述自然現象、科學情境和日常生活中的數量關系與空間形式;能夠在現實生活與其他學科中構建普適的數學模型，表達和解決問題;能夠理解數據的意義與價值，會用數據的分析結果解釋和預測不確定現象，形成合理的判斷或決策;形成數學的表達與交流能力，發展應用意識與實踐能力。”③

作為科學的語言，數學語言自身就是一種數學應用，其重要作用就是表達自然界的規律，構建自然界各種相關量之間關系的模型，從而解決問題。圍繞一個問題構建數學模型，在一定意義上講，就像圍繞一個主題寫一篇作文一樣。語文講究寫作能力，將想表達的思想感情表達出來;數學建模就是一種用數學語言“寫作”的能力，準確地表達出某一情境中若干量的數學意義及相互關系。“數學建模能力就是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。”④從中也可看出，數學語言在構建數學模型過程中發揮的重要的表達功能，對于培養學生的建模能力有著至關重要的作用。2022年版課標也特別提到：“通過欣賞數學語言的簡潔與優美，逐步養成用數學語言表達與交流的習慣。”⑤

2.數學語言的應用功能

數學語言是數學知識的載體，各種定義、定理、公式、法則和性質等，無不通過適當的數學語言來表述。從數學學習的角度看，學生“數學語言”的特點及其掌握水平決定了學生能否準確、迅速地理解問題，也是決定學生數學學習效率高低的重要因素。

關于數學語言在其他方面的應用價值，其實很早之前，伽利略就給出過論述：“哲學被寫在展現于我們眼前的偉大之書上，這里我指的是宇宙。但是，如果我們不首先學會用來書寫它的語言和符號，我們就無法理解它。這本書是以數學語言寫的，它的符號就是三角形、圓形以及其他幾何圖形。沒有這些符號的幫助，我們簡直無法理解它的片言只語;沒有這些符號，我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。”⑥數學是一切科學和技術都使用的語言和工具。正如馬克思所說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”數學語言之于科學的重要性不言而喻。華羅庚先生所說的數學應用的廣泛性，也在一定意義上表達了數學語言的應用價值。此外，“伴隨著大數據時代的到來，人們常需要對網絡、文本、聲音、圖像等反映的信息進行數字化處理，這使數學的研究領域與應用領域得到極大拓展”①。

3.數學語言的思維功能

思維是語言的內核，語言是思維的外殼，思維和語言之間是相互促進的辯證關系。除了表達和應用這樣的顯性功能之外，數學語言還有培養數學思維的隱性功能。②首先，數學語言具有含義準確的特點，使其在培養思維的嚴密性方面有獨特的作用。③數學是一門邏輯性極強的學科，作為反映數學內容的語言，數學語言從形成之初就烙上了邏輯嚴謹的印痕，一字之差、符號的一筆不同，就可能使表達的意思相差甚遠甚至截然相反。例如，“除”和“除以”表達的意義正好“倒過來”;集合運算的符號“U”和“n”方向相反，而表達的意義也完全不同。因此，學習、掌握和運用數學語言的過程，必然能夠鍛煉思維的嚴謹性。其次，數學語言的直觀性有助于形象思維的培養。數學圖表語言具有高度的直觀性，其識別、理解、應用既離不開形象思維，同時又能訓練形象思維。再次，數學語言表達的內在邏輯性有助于一般化的邏輯推理（有條理地思考），前因后果、相互聯系等語言分析能夠使學生養成科學思考的習慣，發展理性思維。

二、數學語言能力培養的再思考

關于數學語言能力培養的終極目標，2022年版課標明確提出“會用數學的語言表達現實世界”。為了提高學生用數學語言表達現實世界的能力，很多數學教育研究者和數學教師都已意識到，要重視課堂上數學語言的交流，鼓勵學生數學語言的表達。在注重數學語言的教學、引導學生重視數學語言的學習方面，一些數學教育研究者，特別是數學教師，總結了很多有效的策略。例如，從教學方式上講，在概念教學中，重視讓學生說出概念的本質;在計算教學中，重視讓學生說出算理;在幾何教學中，重視讓學生說出圖形的特征;在“用數學”的教學中，重視讓學生說出思路。④從語言訓練上講，加強數學閱讀，讓學生會聽數學語言、聽懂數學語言、有思考地聽數學語言⑤;加強數學詞匯、語義和句法的教學，讓學生會說數學語言、說清數學語言，說概念的本質和關鍵詞句、說近似概念中的異同及易混淆之處、說方法;讓學生熟記重要概念、性質，做到“咬文嚼字”，用仿述、講述、概述、擴述、辯述等方法進行不同數學語言之間的互譯訓練，用多種反饋方法開展使用數學語言的數學課外活動，幫助學生形成語法的“網絡”⑥;實行說理訓練、默思訓練、復述訓練、辨析訓練、概述訓練和講述訓練⑦;在對數學語言的詞素、單詞和詞組、句子和句群、段落、篇章等特點準確把握的基礎上，深刻揭示數學概念的本質屬性，加強數學語言語義和句法的教學⑧。但是，這些基本上都指向數學語言的日常表達或口頭表達，離“用數學的語言表達現實世界”的素養要求還存在一定的距離，因為沒有觸及用數學語言表達世界的最根本之處—構建數學模型，解決數學問題。因此，除了上述做法之外，還需要注意以下幾點：

（一）依據不同的數學語言形式采取不同的教學策略，打好數學語言基本功

常見的文字、符號、圖表三種形式的數學語言的學習是相互制約又相輔相成的。

文字語言是基礎。人們常常將符號表示的關系轉化為文字語言。例如，通過多項式乘法公式推導出平方差公式（a+b）（a-b）= a2—b后，常將其用文字語言描述為“兩數之和乘以兩數之差，等于這兩個數的平方差”。這表明，人們習慣于用文字語言表達數學關系。對于圖表中的數學信息，也需要用文字語言表述給其他人聽。數學文字語言要借助自然文字語言的意義來學習，并重在數學的嚴謹刻畫。例如，“圓”作為自然口頭語言表達，兒童很小就會，對于“圓”的形象理解和口語意義也基本一致。作為自然文字語言學習058

的時候，也能很好地建立起字面意義與“圓”的形象之間的關聯。作為數學文字語言學習的時候，顯然是以自然語言的意義為基礎的。但關鍵是建構起數學的刻畫：有一個圓心，可視為圓周，圓周上的每一個點到圓心的距離都相等，這個都相等的距離稱為這個圓的半徑。如此，“圓”的數學意義才能算是被真正理解，成為數學文字語言。

符號語言是抽象的，每一個符號所表示的都是一個確定的數學概念（關系）。概念來源于現實世界，經過多次抽象而形成，而符號就是概念的一種規定表示，是抽象基礎上的一種特殊規定。例如，“圓”的概念抽象出來后給予符號記法“⊙”，“全等”的概念抽象出來后給予符號記法“≌”。符號語言的學習關鍵是建立起符號與符號表達的數學意義之間的聯系。

圖表語言是直觀的，圖表常是根據其他語言表達的意思畫出來的，也就是說，圖表是一種數學意義的表征方式。例如，函數y=2x2-3x+x+1的圖像只能是那樣的形狀和位置。那么，反過來，給定一個圖像，應該能夠估計出這個圖像的解析式大致是什么樣的。所以，圖表語言的學習不同于符號語言的學習，重在“數形結合”、意義相通。例如，“圓”的圖形學習，除了建立這個圖形與圓的本質的聯系之外，還要認識這個圖形的性質特點，設計含有這個圖形的圖案等。深度的圖表語言學習，是要運用圖表表征關系和結構。例如，根據問題信息，列表給出清晰的數據與關系，通過數據表看到或算出數據背后的東西;反過來，根據圖表，也能夠解讀、挖掘出一些隱含的信息。

數學思維活動是以數學語言為工具進行的，數學學習活動在某種意義上就是一種語言活動。教會學生用數學語言來表達自己的思想和認識，描述現實世界中的數量關系，構建現實問題的數學模型，并分析、推理和證明，需要循序漸進。開始以自然語言和圖形解釋，構建數學文字語言和圖表語言，漸漸滲透符號語言，并在學習的過程中經常將數學語言轉為自然語言，通過“通俗化”手段建立數學語言的意義，慢慢促使文字語言、圖表語言、符號語言不斷進階，逐漸豐富數學語言。通過解決問題，應用數學語言，逐步逼近“用數學的語言表達現實世界”的素養目標。

（二）加強數學閱讀，提高數學語言表達能力

語言的學習離不開閱讀，數學語言學習也離不開數學閱讀。通過閱讀，理解文中的數學意義，體會文中的數學思想，掌握文中的數學方法，感悟數學語言的運用。數學閱讀是一個復雜的思維活動過程，既有知識的同化和順應，也有內部的語言轉化，如把一個抽象的內容轉化為具體的內容，把用符號語言或圖表語言表述的關系轉化為文字語言的形式，把用文字語言表述的關系轉化為符號語言或圖表語言的形式等。在數學閱讀中，要注意訓練學生用數學語言清晰、有條理地表達思考路徑、解答過程，把數學語言表達能力的培養融入數學知識學習和問題解決的過程中。

學生僅靠聽教師講授，是難以豐富和完善自己的數學語言系統的;只有通過閱讀，做好與標準數學語言的交流，才能規范自己的數學語言，增強數學語言的理解能力，從而建立起良好的數學語言系統，提高數學語言的表達和交流能力。①通過數學閱讀，不僅可以訓練數學語言能力，而且能夠訓練從用一般語言描述的具體材料中捕捉各種數學信息（包括數量關系、空間結構、數據信息等）的能力，從而提高將日常語言抽象、轉化為數學語言并用數學語言表達數學關系和結構的能力。

（三）突破狹隘的數學語言能力培養觀，重視數學模型意識培養

學習數學，根本上是為了應用數學知識解決問題。僅膚淺地看懂一些數學語言表達的東西，是形不成“用數學的語言表達現實世界”素養的。所以，要突破傳統的數學語言能力培養觀，不能止步于背背概念、讀讀定理，知道概念的含義、數學符號的意義，而要更深層次地理解數學語言的用途，加強“數學化”練習。所謂“數學化”，就是將非數學問題轉化為數學問題，用數學的語言表達數量關系、構建模型解決問題，是數學語言應用的根本和核心。②訓練數學語言應用能力，根本上是訓練建立模型解決問題的能力，數學建模是最好的數學語言練習項目。因此，教師應該加強應用數學解決問題方面的教學，在解題教學中滲透數學建模（包括數據處理）意識的培養，經常引導學生根據現實問題的數學意義，用數學語言表達問題，用數學模型構建問題中變量之間的關系結構，進而解決問題。

也就是說，數學教師必須清楚，真正“用數學的語言表達現實世界”的素養是學會面對現實世界的現象或問題，用數學的思維方式“抽象化，運用符號表達、建立模型，進而對模型進行邏輯分析、推理和計算”，從根本上說，是用數學的語言描述、刻畫、建模、求解的能力。例如，一位小朋友在路邊散步，他能數出“一棵樹，兩棵樹……一共十棵樹”。這是一種數學語言表達。他又能估計“每相鄰的兩棵樹之間的距離一樣，大概是10米，這樣，從第一棵樹到第十棵樹之間的距離就是90米”。這便是一種更為高級的數學語言表達。他還能說出“我們來回走10趟，便走了900米;再走一趟，就接近1000米了”。這也是一種更為高級的數學語言表達。最后，他思考了一個模式：“每相鄰的兩棵樹之間的距離一樣，都是10米。對此，人們常誤以為第一棵樹和第十棵樹之間的距離是10個10米，其實是9個10米。一般地，第一棵樹和第n棵樹之間的距離是（n—1）個10米。”這才達到了用數學的語言表達現實世界的水平。

此外，數學建模首先要用數學語言把實際問題抽象成純粹的數學問題，然后通過模型構建、分析和求解，把結果用一般人所能理解的語言表述出來。因此，語言的互譯能力也很重要。

（邵光華，寧波大學教師教育學院，二級教授，博士生導師。教育部高等學校教學指導委員會委員。主要研究方向：數學教育和教師教育。張 妍，浙江省寧波市東恩中學。主要研究方向：數學教育。程玉婷，寧波大學教師教育學院。主要研究方向：數學教育。）