促進知識自然生長的章節起始課教學實踐探究

蘇文濤 秦文波

[摘? 要] 章節起始課一方面使學生初步感知學習本章的意義與價值，引領后續學習，另外一方面可以幫助學生初步建構學習本章的內容框架，提高課堂教學的思想性. 以問題引領章節起始課教學，可以使知識的生成水到渠成.

[關鍵詞] 章節起始課;圓;課堂教學;教學反思

作為新課程改革背景下的初中數學基本課型之一，章節起始課涉及本章的核心知識及數學思想方法，是數學教學富有成效的堅實基礎，對學生整章知識的學習意義深遠. 本文結合人教版課標教材九年級上冊“24.1.1圓”，談談如何上好章節起始課，以實現學科育人的目標.

章節起始課要點分析

章節起始課目標宏大，具有總覽全局的作用.從明線上講，它包含本單元學習需要掌握的知識以及知識之間的內在聯系;從暗線上講，它包含本單元需要滲透給學生的思想方法，從而引導學生本單元的學習. 下面分別來說章節起始課的作用、內容以及學習策略.

（一）章前起始課的作用

1. 厘清知識邏輯

章前起始課具有承上啟下的作用.這是因為，數學知識并不是孤立存在的，上好章節起始課，有助于學生厘清本章知識與前面所學內容以及本章知識之間的內在聯系. 學生通過經歷概念、性質的形成過程，對知識的理解深刻了，應用才會得心應手. 因此，學習章節起始課時，應強調整體化教學，使學生明白知識形成的來龍去脈，增強學習的有效性.

2. 看清學習框架

章節起始課具有總覽全局的作用.通過章節起始課的學習，幫助學生初步建構本章的內容框架，理清解決本章涉及的基本數學問題，在學生的最近發展區推動知識建構，完善知識體系，對本章知識的學習有很好的導向性.

3. 弄清思想方法

在章節起始課的教學中，要讓學生明白本章學習的思路與方法，讓學生明白“為什么要學？學什么？怎樣學？”，由此達到“授人以魚，不如授人以漁”的目的，提高有效教學的思想性.

（二）章前起始課的內容

章節起始課，即每一章的第一節課，包含引言、章前圖和本章正文第一節的內容三部分. 引言，既有對前面所學相關內容的概括，也有對本章節所學內容的簡單介紹，由此具有承上啟下的作用;章前圖，用于展示本章內容在生活中的應用. 章前圖和引言的選材，把學生熟悉的題材引入教材，為學生提供了解釋、思考現實世界的途徑. 正文第一節內容一般介紹本章基本概念，而概括與歸納是概念教學的核心，學生通過觀察、操作，經歷概念的形成過程，歸納出事物的屬性，從而真正理解概念. 上好章節起始課，其作用不言而喻.

（三）章前起始課的教學策略

如何上好章節起始課？可以從以下幾方面入手：

1. 深入挖掘教材，吃透章前引言

在章節起始課的教學過程中，教師應遵循啟發性原則，可以將章前引言融入教學過程中，幫助學生感知單元教學整體內容，以便于學生將知識串聯.

2. 緊扣章前引言，巧妙設置情境

章前起始課的教學，重心在于概念教學，而數學概念的獲得有兩種方式：一是借助豐富的“生活現實”情景，抽象出其共有的屬性，從而獲得新的概念;其二是基于邏輯發展的需要，從“數學現實”中獲得. 不管基于哪一種方式，緊扣章前引言設置情境，都可以引導學生有效參與到新知的獲得活動中來.

3. 巧妙設置問題，自然生成概念

“單元整體教學”思想引導下的章前起始課教學，具有統領全章的作用. 不管是通過“生活現實”情景問題，還是通過“數學現實”情景問題習得概念，都是一個循序漸進的過程. 在這個過程中，教師應遵循結構性原則，精心設置問題，引導學生經歷概念的形成過程，促進概念自然生成.

4. 精心設計習題，培養應用能力

習題是檢驗學生數學掌握程度的重要工具，是學生理解概念并會應用的載體. 習題的設計，重在“質”，教師應根據學生的學情設置合適的習題，從而培養學生的應用能力.

章節起始課教學設計示例

基于以上分析，章節起始課的教學，要讓學生明白研究內容和研究方法的內在邏輯聯系. 筆者現結合人教版課標教材九年級上冊“24.1.1圓”，按照“整體建構，問題驅動”的思路，談談章節起始課的教學，設計過程如下：

（一）引入

引導語：圓，是我們生活中常見的圖形，比如，旋轉的水車、摩天輪、旋轉的風車（如圖1所示），它們都給我們一種圓的形象. 正如畢達哥拉斯所說：一切平面圖形中最美的是圓，這一章我們就在前面學習旋轉的基礎上進一步來認識圓，我們先探究圓的定義及相關概念.

生活中許多娛樂節目運用了圓的定義及相關概念設計了一些方案，這是一次“搶金蛋”活動，請看這兩個方案（如圖2、3所示），你認為哪一種站法更公平？

師生活動：教師展示生活中旋轉的水車、旋轉的摩天輪、旋轉的風車等動態圖片，由此引出生活中的圓. 教師再拋出圓的定義及相關概念在生活中的應用，即“搶金蛋”問題，在同等條件下，采取哪種方案站位更公平？學生回答站成圓形，教師繼續追問：為什么站成圓形到金蛋的距離就相等呢？由此引出圓的學習.

設計意圖 本章是在上一章學習旋轉的基礎上對圓的知識進行深化，第一個引入，目的在于承上啟下，由此引出本章圓的學習;第二個引入，目的在于引出本節圓的定義和相關概念的學習. 提供一系列學生日常生活中可以接觸到的、熟悉的問題，可以激發學生的好奇心、求知欲.

（二）初識圓

問題1：你會用圓規畫圓嗎？

問題2：你會用繩子畫一個圓嗎？

師生活動：學生先后利用圓規和繩子畫圓，教師巡查，適時給予指導.

問題3：回顧畫圓的過程，你能說說圓是怎么形成的嗎？

師生活動：教師和學生共同歸納出圓的共有屬性，得到定義，再給出定點、定長和圓的寫法和讀法.

設計意圖 定義的形成過程，一定是學生動手操作、歸納要點，最后教師進行提煉的過程. 學生參與到定義的形成過程中，可以加深對定義的理解.

問題4：大家想想，在一個平面內，以定點O為圓心能畫多少個圓呢？

追問1：那以定長1 cm為半徑，能畫多少個圓呢？

追問2：那么以定點O為圓心，定長1 cm為半徑，又能畫多少個圓呢？

追問3：由此可見，要確定一個圓，由哪些要素決定？分別起到什么作用？

師生活動：學生思考后回答，教師根據學生的回答，進行評價糾錯.

設計意圖 問題4及追問1、2，目的在于引出追問3，也就是說要確定一個圓，必須有兩個要素，即圓心（定點）和半徑（定長），它們分別確定圓的位置和大小.

問題5：剛才大家說“搶金蛋”時站在一個圓上就公平了，現在學習了圓的定義，你能夠解釋一下嗎？

追問：為什么站成矩形搶金蛋就不公平了呢？

師生活動：教師引導學生將“站成圓形搶金蛋”的公平問題抽象到圓的性質上，使學生認識到：圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r），由此讓學生加深對圓的性質的理解.

設計意圖 在學習了圓的定義后，再來解決引入中的“圍成圓形搶金蛋”的公平問題，一方面可以使學生感受到研究圓的必要性，另外一方面加深對圓的性質的理解.

問題6：如果在矩形的四個頂點處分別站有一名同學（如圖4所示），他們的站位公平嗎？

追問1：既然他們的站位公平，那在這個矩形中，為什么A，B，C，D四個點到點O的距離都相等？

追問2：你能否證明這個問題呢？（教師PPT展示課本80頁例1）

師生活動：教師根據回答引導學生到追問1上來，學生回答“矩形的對角線相等且相互平分”，教師再出示課本問題，讓學生證明“四點共圓”.待學生證明后，找人點評.

設計意圖 把一個圖形看成滿足某種條件的集合，必須符合：（1）圖形上的每個點都滿足這個條件;（2）滿足這個條件的每個點都在這個圖形上. 前面學生已經認識了（1），接下來就要處理（2）. 由于學生已經學習過矩形的性質，因此證明追問2，即例題“四點共圓”就是一個水到渠成的事情.

問題7：這四個點在什么樣的圓上？

追問1：在這個平面內，還有沒有其他公平的點？

追問2：它們在哪里？

追問3：這樣的點多不多？

追問4：有多少個？

追問5：它們組成了什么圖形？

追問6：圓上的點又有什么特征？

追問7：在同一個平面內，滿足到圓心的距離等于半徑的點又組成了什么圖形？

師生活動：學生思考后回答，最終得出圓的集合定義：在一個平面內，圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點的集合（如圖5所示）.

設計意圖 圓的集合定義不易理解，教學過程中，教師通過動畫展示，不斷追問，不斷加深學生對圓的集合定義的理解，體會數學抽象過程.？搖

問題8：如圖6所示，如果有三個同學分別站在直角三角形的頂點，他們以相同的速度去搶金蛋，現在金蛋放在哪個位置，他們的站位才公平呢？

追問1：為什么放在斜邊的中點，他們的站位就公平呢？

追問2：為什么在直角三角形中，三頂點到斜邊的中點的距離相等？

師生活動：教師提問，學生回答.

設計意圖 利用“搶金蛋”游戲，培養學生逆向思維. 通過訓練，不斷強化學生對圓的集合定義的理解.

問題9：如圖7所示，A，B，C三點在以點O為圓心，OA長為半徑的圓上，那現在AB，AC以及它們之間的部分又叫什么呢？

師生活動：教師引導學生自學課本80頁，完成任務：（1）在課本上勾畫并理解圓的相關概念;（2）在學案上標識弦、優弧、劣弧的表示法. 教師巡視，查看自學情況，請一名學生將答案寫在黑板上，同時展示另外一名學生的答案，分別再請兩名學生對投影答案中的弦與弧點評，教師適時補充，同時將學生在黑板上寫的答案對比，促使學生厘清相關概念.

設計意圖 讓學生勾畫并理解圓的相關概念，也是學法指導. 同時，利用一個實例來展現學生對相關概念的認識，從而加深學生理解.

問題10：仍然在這個圓中，能不能畫出和重合的弧？

師生活動：學生思考后給出等弧的概念，教師動畫展示，強調等弧的寫法.

設計意圖 等弧不易理解，教師把這個概念拿出來，用動畫展示，強化學生對概念的理解.

（三）再識圓

問題11：如圖8所示，弦AB與另一條過圓心的弦，即直徑AC有怎樣的大小關系？哪個大？

追問1：圖8中AC是直徑，AB是一般的弦，換一句話說，直徑AC就是圓中最長的弦. 為什么直徑就是圓中最長的弦？

追問2：這是一般的弦所在直線與直徑所在直線的交點在圓上的情況，如果它們的交點在圓外或者在圓內，又怎么證明呢？

師生活動：教師提問，學生通過圖7直觀感受直徑是圓中最長的弦，教師讓學生先自行思考，再合作探究證明，最后請同學上臺展示，得到結果（如圖9所示），教師予以方法總結.

設計意圖 通過剛才的學習，學生已經知道弧有大小之分，實際上，對應的弦也能夠比較大小，這也是學生在對圓的定義及相關概念已經有充分認識的基礎上，進一步探究它們之間的關系. 通過合作探究，培養學生“愿學、會學”的數學學習興趣;通過小組展示，讓學生充分發表觀點，讓學生在傾聽中不斷優化自己的方法，體現了因生成而精彩的“教學觀”，因隨機而真實的“學生觀”，因交互而發展的“課程觀”.

問題12：剛才我們研究了等弧，那長度相等的弧是等弧嗎？

師生活動：學生先自行思考，再合作探究證明長度相等的弧不一定是等弧. 學生討論后舉手發言，教師隨后給出動畫展示（如圖10所示），并予以總結.

思考：長度相等的弧是等弧嗎？

設計意圖 學生已經知道弧有大小之分，在此基礎上，再來討論“長度相等的弧是否是等弧”就是自然的事情，由此加深對弧的認識.

（四）回顧圓

問題13：通過本節課的學習，你學到了哪些知識？

師生活動：學生小組討論后再進行全班交流，最后教師總結，完成板書.

設計意圖 教師引導學生從知識和思想方法角度進行總結，為后面學習圓的其他性質和應用埋下伏筆，與本節課開頭相呼應，起到承上啟下的作用.

（五）鞏固圓

1. 在△ABC中，∠B=90°，試說明A，B，C三點在同一個圓上.

2. 你見過樹木的年輪嗎？從樹木的年輪，可以知道樹木的年齡. 把樹干的橫截面看成是圓形的，如果一棵20年樹齡的樹干直徑是23 cm，這棵樹的半徑平均每年增加多少？

3. 設計：以圓為主要元素，為班級設計一個有意義的班徽，并附上解釋.

設計意圖 第一題以“搶金蛋”的游戲引入，融于課堂教學過程中，考查學生對圓的集合定義的理解;第2題和第3題考查學生解決實際問題的能力.

教學反思

（一）以整體建構為目標，凸顯章節起始課的整體建構價值

章節起始課的教學，一方面幫助學生在“已有知識”與“需要掌握的知識”之間架起一座溝通的橋梁，引領后續學習;另一方面可以幫助學生初步建構學習本章的內容框架，理清解決本章所涉及的基本數學問題及其解決的基本數學思想和方法，提高課堂教學的思想性. 以上教學，較好地實現了這兩方面的價值[1].

在學習本章內容之前，學生已經學習了“旋轉”，為什么要將“圓”的學習置于“旋轉”之后呢？正是因為生活中特殊物體的旋轉給人以圓的印象才引出圓的學習. 本節課，我們重心在于學習圓及其相關概念，討論圓中的數量關系，而圓中的位置關系將在后期一一學習. 由此，本節課的教學，不僅強調了知識的聯系性，同時也強調了知識的整體性.

（二）以情境教學為載體，助推章節起始課的目標達成

創設問題情境，是引發認知沖突、展開數學深度探究活動的基本平臺.

學生在小學階段已經對圓有了初步認識，但課本并沒有給出圓的描述性定義，教學中我們通過設置情景，讓學生動手操作，從而歸納出形成圓的條件，得到了圓的描述性定義. 通過“站在圓上及矩形（或矩形四個頂點）上以相同速度來搶金蛋是否公平”為話題，不斷加深學生對集合性定義的理解，從而抽象出定義就成為十分自然的事情. 以情境教學為載體，有效地促進了目標的達成.

（三）以問題為依托，強調章節起始課知識形成的邏輯性[2]

如何將章節起始課上好，需要問題的引領，而問題的質量也決定了教學的價值. 課堂中通過不斷追問，讓學生經歷了圓的形成過程，得到了圓的定義，體驗了圓的相關概念，探索出了“直徑是圓中最長的弦”“長度相等的弧不一定是等弧”，通過“發現圓——初識圓——再識圓——回顧圓——鞏固圓”的學習過程，進一步促進了目標的達成，而這樣由淺入深學習的過程，在學生的后續學習中也會起著經驗性的作用.

參考文獻：

[1] 王為峰.大概念引領 整體化建構——“平行四邊形”章統領課的教學及其分析[J]. 中學數學教學參考，2020（z2）：18-21.

[2] 高旻. 基于“深度學習” 提升推理能力——“直角三角形的性質定理”的教學與思考[J]. 中學數學月刊，2020（09）：31-33.

作者簡介：蘇文濤（1985—），碩士研究生，中學一級教師，從事初中數學教學與研究工作.