在思中教，在辨中學，讓課堂充滿思辨力

朱月蘭 彭飛

[摘? 要] 數學思辨能力是重要的數學基本素養. 數學思辨，即用數學的思想方法、知識、語言去理解、描述和解決各類問題的一種數學思維能力. 要培養學生的數學思辨能力，教師需要充分理解教材，遵循學生的認知規律，設計有思辨力的課堂教學.

[關鍵詞] 核心素養;思辨力;初中數學

數學思辨，即用數學的思想方法、知識、語言去理解、描述和解決各類問題的一種數學思維能力. 數學思辨能力的提升有助于數學核心素養和關鍵能力的培養.數學是鍛煉思維的體操，而作為構建數學體系、獲得數學結論、構成數學思維的重要形式，理性思維不僅能夠促使學生把握事物發展的脈絡，應用所學知識條理清晰地解決實際問題，而且能培養學生的創造性思維和解決問題的能力[1].

數學思辨能力是重要的數學基本素養，要培養學生的數學思辨能力，教師需要充分理解教材，遵循學生的認知規律，設計有思辨力的課堂教學. 下面筆者以“相似三角形的性質2”的教學為例，設計一節有思辨力的數學課堂，以期拋磚引玉.

教學內容分析

本節內容是蘇科版九年級數學下冊第六章第五節的第2課時，是在學生已經學習完相似三角形判定的基礎上學習的. 通過這節課的學習，學生需要對相似三角形的定義、判定和性質有全面的了解. 從知識的前后聯系來看，相似三角形可以看作是全等三角形的拓展，相似三角形的性質研究也可以看成是全等三角形性質的進一步拓展、研究.此外，相似三角形的性質不僅是研究相似多邊形性質的基礎，還是今后解決圓類綜合題中線段關系的有效工具.

筆者仔細研讀新的課程標準后發現，新的課程標準不僅要求學生掌握幾何結論，更重視學生演繹推理能力的培養和提升. 從這個角度來說，這節課需要培養學生有條理地思考和有條理地表達的能力，即教師要在課堂上引導學生會思、善辨，讓他們逐步提升數學素養.

學生學情分析

這節課是在學生學習了“相似三角形的判定”“相似三角形的對應角相等”“相似三角形的對應邊成比例”“相似三角形周長之比等于相似比”“相似三角形面積之比等于相似比的平方”等知識之后展開的，學生已經有了一定的知識、方法儲備，也已經養成了一定的觀察與分析問題的能力，這為本節課的教學提供了基礎. 但初中生還處于識記、感性等階段，所以他們在轉化與化歸、邏輯推理等能力和素養方面還有待提高.

教學目標設置

教材基于學生知道相似三角形的性質，提出了這節課的學習任務：理解相似三角形的性質，經歷探索相似三角形性質的過程，并在探索過程中積極發展學生的情感、態度、價值觀，體現解決問題策略的多樣性，同時力圖在學習過程中逐步達到學生的情感態度目標.在以上分析的基礎上，根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》，現針對這節課提出如下四維目標.

1. 知識技能

經歷探索相似三角形中對應線段之比與相似比的關系的過程，理解相似三角形的性質;利用相似三角形的性質解決一些實際問題.

2. 數學考慮

在觀察、猜測、證明及綜合運用的活動中，培養學生合情推理和演繹推理的能力，讓他們明晰地表達出自己的想法.

3. 問題解決

提高學生分析問題和解決問題的能力，讓學生體驗解決問題方法的多樣性，培養他們的創新意識;讓學生學會與別人合作、交流.

4. 情感態度

引導學生積極參與課堂活動，增強好奇心和求知欲;在學習的過程中，讓學生體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立學習自信心;培養學生養成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣，形成實事求是的科學態度.

教學重、難點

通過探索得出相似三角形對應線段之比等于相似比，利用相似三角形對應線段之比與相似比相等的性質解決問題.

教學方法

這節課的教學方法以問題串的形式為主，即把多個問題串起來，由淺入深，逐步引導學生思辨，同時融入探究式教學、小組合作學習、多媒體教學等教學手段.

教學過程

1. 復習回顧

問題1 由△ABC∽△A′B′C′，可以得到哪些性質？

設計意圖 旨在幫助學生回顧相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應邊之比叫相似比，并在三角形相似的基礎上回顧相似三角形周長之比等于相似比，為接下來探索“相似三角形中三條重要線段是否成比例，對應線段之比等于什么”做鋪墊.

2. 探索新知

問題2 如圖1所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，設△ABC與△A′B′C′的相似比為k，那么■的值是多少？證明你的結論.

設計意圖 從學生熟悉的直角三角形入手，學生從感性的角度得出線段的比值為三角形的相似比. 接著，教師引導學生從理性的角度進行證明，并示范證明過程，總結證明的方法（兩角相等且夾邊成比例），同時教師運用多媒體將核心詞“對應”進行展示與板書，引發學生淺層次的思與辨.

問題3 如圖2所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若AD，A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，設△ABC與△A′B′C′的相似比為k，你能求出的值嗎？你能證明嗎？

設計意圖 問題中的三角形為斜三角形，在“問題2”的基礎上進行了升級.學生從觀察、感性的角度仍會覺得線段之比為相似比. 三角形雖然由直角三角形變成了斜三角形，但證明方法不變.在“問題2”示范與總結的基礎上，學生可以給出嚴謹的證明過程. 從“問題2”到“問題3”，由靜到動、由“直”到“斜”，思維上升，能引發學生進一步的思與辨.

問題4 如圖3所示，△ABC∽△A′B′C′，D，D′兩點分別為BC，B′C′上的點. 若D，D′兩點分別是BC，B′C′的中點，設△ABC與△A′B′C′的相似比為k，那的值仍然等于k嗎？你能證明嗎？

設計意圖 “問題4”拋出的三角形為斜三角形，學生能從教師的語言暗示中、感性的直覺思維中，猜測出線段之比仍為相似比. “問題4”與其他問題相比，證明方法發生了變化，思維要求也在不斷提升. 在實際教學中，我們能清晰地看到，學生仍然想證明△ABD∽△A′B′D′，但至于如何證明，他們顯得有些吃力. 由于需要轉化思維方法，所以學生所思與所辨陷入困境.

問題5 對于“問題4”，在證明△ABD∽△A′B′D′的過程中，我們發現不能繼續應用“兩角相等，夾邊成比例”來解決問題，你們還能用其他方法解決這個問題嗎？

設計意圖 通過小組合作探究，類比前面的探究過程，教師培養學生的主動探究意識，提高他們的合作交流能力. 通過教師的引導、學生的合作交流，學生能夠自主地發現要證明兩個三角形相似，還可以通過“兩邊成比例，夾角相等”來證明. 解決該問題能很好地發展學生思的深度、辨的能力，能提升學生理性認識問題的素養.

問題6 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，D為BC邊上一點. 要在△A′B′C′中找點D的對應點D′，該如何找？請說明理由.

（學生討論、交流后選出一個學生代表到黑板上演示如何找點D′的位置）

設計意圖 “問題6”既是前面幾個問題的總結，又是前面幾個問題的應用與延伸. 學生通過交流，可以得到點D′的大概位置. 在具體說明需滿足的數量關系時，則需要教師點撥. 隨著該問題的解決，問題從三角形的高、角平分線、中線等特殊情況過渡到了一般情況，學生的思維得到了不斷的升華，不僅獲得了線段比與相似比之間的關系，還獲得了由特殊到一般、由淺入深的學習方法. 這樣能潛移默化地提升學生的數學素養.

3. 數學應用

例1 （1）已知兩個相似三角形的中線之比為2∶3，那么它們的對應角平分線之比為_____，周長之比為_____，面積之比為_____.

（2）若兩個相似三角形的面積之比為16∶9，那么它們的對應高之比為_____，對應中線之比為_____.

變式 如圖4所示，在△ABC中，D，E兩點分別在AC，AB上，∠ADE=∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分別為F，G. 若AD=3，AB=5，則=_____.

設計意圖 例1的第（2）問，要求對應線段之比，得先從條件中找出相似比，再應用定理得到答案. 變式的題設條件未涉及相似，但通過對條件的分析并結合圖形可知實際為兩相似三角形對應高之比. 教學時，教師應引導學生根據題目條件得到兩個三角形相似，再找出相似比，進而解決問題.

例2？搖如圖5所示，AF是△ABC中BC邊上的高，D，E兩點分別在AB，AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G. 若DE=6，BC=10，GF=5，求點A分別到DE，BC的距離.

變式1？搖如圖6所示，AF是△ABC中BC邊上的高，P，Q兩點均在BC上，點D在AB上，點E在AC上. 若四邊形DEPQ是正方形，BC=12，AF=8，求正方形DEPQ的邊長.

變式2 如圖7所示，AF是△ABC中BC邊上的高，P，Q兩點均在BC上，點D在AB上，點E在AC上，四邊形DEPQ是矩形. 若BC=48，AF=16，DQ∶DE=5∶9，求矩形DEPQ的面積.

設計意圖 一題兩變式的設計能讓學生感受到“題目條件不斷變化，但解題思路和方法不變”，體會到運動變化中的“守恒”. 在例題、習題中體現思辨的過程，不僅是這節課知識的學習過程，還有助于學生在未來的學習和生活中解決問題.

4. 歸納、小結

（1）一個定理：相似三角形的對應線段之比等于相似比.

（2）兩種思想：類比思想、方程思想.

課后反思

數學思辨能力是一種綜合的數學思維能力，包括數學思考、推理、判斷、交流等能力，數學思辨能力的強弱既是衡量學生數學素養高低的一個重要指標，也是新課改背景下數學課堂教學是否達到基本要求的一個標準.

1. 輕松的氛圍，讓課堂“活”起來，為思辨保駕護航

這節課是在他校借班公開課，聽課的人數較多. 剛開始，筆者由于緊張、放不開，整個課堂的氣氛比較緊張、稍顯沉悶，某些問題留給學生思考的時間不夠，故沒能大范圍地調動學生的學習積極性，學生的主體地位沒有得到保證. 但隨著課堂節奏逐步舒緩、有序、漸入佳境，學生的思維逐漸活躍了起來. 所以筆者認為，課堂要想充滿思辨，教師首先要給學生營造輕松的學習氛圍，要讓學生在心理上接納教師，畢竟“親其師，才能信其道”;其次，教師在調動課堂氣氛的時候，語言表達要通俗易懂、生動有趣，教態要自然;再次，教學過程中，教師要讓學生多到講臺展示自己的解題思路、解題過程;最后，在學生展現自我的過程中，教師應不吝嗇自己的表揚與肯定，多多激發學生的積極性，讓他們感受到成功的喜悅，從而讓課堂活起來、動起來.

2. 類比推理，在“變”中追求“不變”，提高思辨高度

為了體現這節課定理的完整性，筆者將第一課時的“相似三角形的對應高之比等于相似比”嫁接到這節課中，因此復習回顧環節筆者設計了“由三角形相似可以得到哪些結論”這一問題情境，然后引導學生思考：相似三角形除了對應角相等、對應邊成比例而外，還有別的性質嗎？并在對應邊BC，B′C′上分別設計動點D，D′，當AD，A′D′分別是這兩個三角形的對應高時，學生通過猜想很快得到結論“相似三角形的對應高之比等于相似比”. 至于如何證明，筆者則讓學生獨立完成，并概括相應的性質（性質1），同時用符號表示. 接著，在D，D′兩點運動的過程中，筆者引導學生猜想相似三角形對應角平分線、對應中線之比的值，并嘗試自行證明，總結相應的性質（性質2和性質3），同時用符號表示. 接下來，筆者為了引發學生思考問題“當動點在運動變化的過程中，是不是所到之處皆有這樣的性質？”給出了如下問題：已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，D為BC邊上一點. 要在△A′B′C′中找點D的對應點D′，該如何找？請說明理由. 學生在思考、解決這一問題（即問題6）的過程中，能加深對“對應”這一詞語的理解. 最后，筆者通過例題和變式加深了學生對4種“比”之間的關系的認識，突出了“比”的“同一性”. 這節課通過運動變化的問題情境得到了這樣的結論：對于兩個相似三角形，就算對應邊的長度、對應特殊線段的長度都發生變化，但它們的對應角不變，對應線段的比也不變. 學生能在此過程中體會到：以“不變應多變”，在“運動變化”中依然存在“守恒”！

3. 開展思辨教學，提升思辨能力，為學生深度學習與創造奠基

深度學習和創造，是對認識對象進行系統、深刻和完整的研究. 對于這節課，學生在研究“相似三角形對應線段之比等于相似比”這一性質時，筆者先從學生已有的知識（相似三角形對應邊的比等于相似比）出發，到淺層次的高之比的探究，再深入到角平分線、中線之比的探究，最終到一般對應線段之比的探究，遵循了學生的認知規律——由淺入深，由特殊到一般. 這一過程不僅能讓學生充分體會到數學知識之間的內在聯系，還讓他們經歷了一個系統的、深刻的知識學習過程. 這節課，筆者除了教給學生相似比的有關知識、解決相似問題的常見方法而外，還指導學生如何學習——展開豐富的聯想，找出相近或相似事物之間的聯系與區別，以加深對問題的認識與理解. 在“互聯網+”時代，網絡學習的空間給教師學習、課前備課、課堂教學、課后反思等，學生的課前預習、小組合作、課后鞏固、交流探討、反饋評價等方面提供了很好的平臺，給枯燥的數學課堂帶來了活力[2]. 開展思辨的教與學還可以借助網絡信息技術去進行探討、探究，因為網絡信息技術不僅方便學生查找更為豐富的學習資源，還能幫助學生準確作圖、精確計算等，能為學生的聯想、思辨提供一個很好的途徑. 當然這節課在這方面還有些欠缺. 深度學習需要思辨，沒有思辨，學生就只能機械模仿，無法提升創造能力. 學生只要掌握思辨的方法，提升思辨能力，就能為未來的深度學習與創造奠基.

結束語

數學學科需要思辨能力. 初中數學思辨能力是指，在初中數學學習過程中思考問題，對問題加以辨析、推理，進而解決問題的能力. 思辨能力包含抽象思維、邏輯思維、創新思維等思維方式，是初中數學學習不可或缺的能力. 新課程改革對數學思辨能力的培養非常重視. 思辨能力是學生學習數學知識所進行的思維活動中智力特征的表現，是培養學生學科核心素養的重要支點. 因此，對學生數學思辨能力的培養任重而道遠. 作為教師，我們應在充分理解教材的基礎上，結合學生的認知水平和認知規律，設計有思辨力的數學課堂，通過教學實例實踐操作，促進學生內思，激發學生的學習和表達興趣，培養學生的數學思維，提高學生的思辨能力.

參考文獻：

[1] 孫玉梅. 用數學思辨引領學生深度學習[J]. 河南教育（教師教育），2021（08）：78-79.

[2] 彭飛，王平. 基于網絡學習空間下高中數學教與學方式變革的案例、原則與策略——以蘇教版必修5《等差數列的前n項和》為例[J]. 數學教學通訊，2021（12）：3-6+12.

作者簡介：朱月蘭（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事中學數學教學與研究工作.