小數軸　大智慧

黃婷

[摘 要]數軸在數學多個知識領域都可以見到它的影子，它對學生數感的培養、運算能力的提升、數學理解和思維發展都發揮著不可忽視的作用。在小學數學課堂中，教師靈活地運用數軸，有意識地向學生滲透數軸，可促進知識體系的建構，讓學習真正發生。

[關鍵詞]小學數學;數軸;數感

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0082-03

現行的蘇教版小學數學教材在編排時，先將“數尺”抽象成“數線”，再把“數線”演變成“數軸”，逐步將學生的思維引入深處，讓他們可以借助數軸建構相關概念，探尋知識的本質，領略數形結合的精彩。而在目前的數學課堂中，個別教師未能重視數軸，在教學數軸知識時，采用“一講到底”的教學模式，使得學生未能掌握知識的核心要領。作為數學教師，應具有數學人的意識，巧用數軸輔助學生理解所學知識，提升學生的思維品質。

一、借助數軸，培養數感

課程標準指出，在第一學段的數與代數中，要學生感受數的意義，體會數是用來表示和交流的，進而初步建立數感。可見，培養學生的數感是數學課堂的重要目標之一。那么何為數感？數感是學生主動、積極地運用數的態度和意識。數感的形成是一個循序漸進的認知過程，需要學生主動去感知、去發現。在這樣的過程中，自然少不了“數”和“計數”的知識，而數軸無疑是連接兩者的載體。數軸上的數都有嚴格的排序規則，體現計數的順序，而在數學教學中，借助數軸，可以幫助學生直觀、形象地認識整數、分數、小數、負數等，從而更好地揭示數的本質。

1.數軸是學生認數的“拐杖”

例如，在教學一年級上冊“認識10以內的數”時，首次出現了數軸（如圖1），這也是教材中數與形的首次“聯姻”。教材編者有意引導學生在數軸上感知5以內數的順序，進一步感受數的大小關系，但可惜的是，一部分教師在教學時，對這道習題的處理過于簡單，在學生填出數字后，就草草收兵，并沒有挖掘習題背后的價值。實際上，在學生完成填、讀訓練后，教師可以讓學生回答這樣的問題：“這幾個數是怎樣排列的？這幾個數的排列順序與箭頭的方向有著怎樣的關系？”基于學生的回答，再進行追問：“圖中豎線的間隔一樣嗎？比5小的數有哪些？比5大1的數是幾？你可以在圖中標出它的位置嗎？”經過這樣的層層引導，不僅讓學生獲得較為清晰的感性認知，輕松地掌握5以內數的順序，還巧妙地滲透了無限性和等距性等數學思想，提高教學質量。

又如，在教學小數時，教師可以通過數軸讓學生感受到小數的本質實際上是單位的細分。在數軸上，當將一個單位長度平均分成2份、3份、4份、5份時，便產生了[12，13，14，15];當將一個單位長度平均分成10份時，便產生了[110]（0.1），[210]（0.2）……;當將一個單位長度平均分成100份時，便產生了[1100]（0.01），[2100]（0.02）……。如此，就能很自然地幫助學生溝通整數、分數和小數之間的聯系，構建完善的知識網絡。在后續的教學中，教師還可借助數軸，幫助學生直觀地認識分數、小數、負數等，使學生對數的認知更全面，從而建構全面的知識體系。

2.數軸是學生比較大小的“工具”

當學生對負數進行大小比較時，多數會受舊知的影響，形成思維定式。面對這樣的情況，教師可借助數軸來教學，如比較“-3”和“1”的大小（如圖2）。

學生通過觀察數軸上各數排列的特點，首先找到“-3”的位置，然后找到“1”的位置，因為“-3”在“1”的左邊，所以-3<1。此時無聲勝有聲， 學生通過數軸，不僅能夠迅速地判斷數的大小，還能對“大多少”“小多少”有直觀的感受，這對學生數感的建立具有不可替代的作用。

二、借助數軸，揭示運算意義

四則運算是計數的基石，但其意義抽象，學生難以理解。為了幫助學生化解學習難點，教師利用數軸數數，讓學生將運算和計數策略緊密結合起來，從形象思維入手，積累感性經驗，進而上升為理性認知。

例如，在教學“5+3=？”時，教師可以放慢授課的腳步，讓學生在數軸上先找到數字5，然后繼續向右數3個數后，指向了數字8。這樣的一個過程，將5+3=5+1+1+1=8的運算意義詮釋得一清二楚，使知識變得直觀、形象，學生也明確了加法運算的實質：從某個數開始，繼續向后數的一個計數過程。面對減法，同樣可以借助數軸來理解，因為減法是加法的逆運算。如讓學生計算“5-3=？”時，教師引導學生在數軸上先找到數字5，然后繼續向左數3個數后，指向了數字2，即差為2。

在學生學習加減法的運算后，教材引入了乘法，乘法是加法的簡便運算，在數軸上表現為等距離的跳躍，且相鄰的結果之間形成等差數列的關系。用數軸數數時，盡管乘法運算和加法運算都是向右數的計數過程，但值得注意的是，乘法是以其中的一個因數為單位跳躍向右數的，當跳躍的次數等于另一個因數時，就得出了積。除法是乘法的逆運算，在四則運算中，除法無疑是學生最難理解的一種，為了降低難度，同樣可以借助數軸進行教學。如教材中的想想做做（如圖3），教師應加以利用并改編，引導學生在數軸上先找出被除數，然后以除數為單位，向左進行跳躍，當跳到數字0時，則跳的次數就是商。以教學“10÷2=？”為例，在數軸上將2個單位長度視為1份，從10開始向左跳躍5次后，正好跳到數字0，即10÷2=5，用減法算式表示為10-2-2-2-2-2=0。此后，當學生計算“10÷5=？”時，就能將方法遷移為10-5-5=0。可見，借助數軸，學生可直觀地感受到除法的核心——平均分，也可以將除法理解為等距離連減，從而豐盈思維過程。

三、借助數軸，演示度量方法

度量是小學數學重要的學習內容，也是學生學習的難點，其中涉及長度、角等知識，而長度的測量、經過的時間等問題都可以借助數軸進行教學。

在測量長度的過程中，首先應讓學生確定長度單位，如厘米、分米、米，然后將所要測量物體的一端與0刻度重合，最后看所測量物體另一端的刻度（如果起點不是0刻度，就要用終點的刻度減去起點的刻度）。

時間軸也是數軸的另一種表現形式，它對化解學習中的難點具有重要的作用。求經過的時間時，教師就可以運用數軸的直觀性輔助教學。如出示題目：動畫劇場從14：00開始放映，16：00放映結束，動畫劇場播放了多長時間？在解答中，學生列出算式16-14=2（時），并這樣解釋：14：00可以理解為開始放映前，這一天已經過去了14個小時，16：00可以理解為放映結束時，這一天已經過去了16個小時，16-14就可以得出實際播放的時間。面對學生這樣的解釋，教師可以放到數軸上幫助學生理解（如圖4）。

運用數軸可以幫助學生看清思維盲點，從而引領學生的學習不斷走向深刻。

四、借助數軸，掌握概念本質

數軸與線段有明顯的不同，即數軸具有開放性，它可以向兩邊無限延伸。因此，運用數軸，既可以幫助學生突破學習難點，又可以讓學生感受到運用數軸內化新知的優勢。在課堂教學中，教師要剖析教材，挖掘知識點背后的內涵，并將之與數軸有機整合，幫助學生強化所學知識，為他們理解數與數之間的關系提供重要的感性支撐，掌握數學的本質。

例如，在教學“因數和倍數”時，部分教師會讓學生死記硬背知識點“一個數的因數的個數是有限的，最小的因數是1，最大的因數是這個數本身;一個數的倍數的個數是無限的，最小的倍數是這個數本身，沒有最大的倍數”，實際上學生對“一個數的因數的個數是有限的”“一個數的倍數的個數是無限的”這兩個知識點并不理解。為了強化學生對所學知識的理解，教師可為學生引入數軸。

教師首先讓學生在數軸上找出20的因數（如圖5）。通過數軸，可以看出20的因數有1，2，4，5，10，20。因為數軸上面的數越往右越大，而20的因數集中在1到20之間，20后面再無其他因數，所以一個數的因數是有限的，最大的因數是這個數本身。可見，運用數軸可以很好地對知識進行驗證。

緊接著，教師讓學生在數軸上找出5的倍數（如圖6）。學生在數軸上找到5的倍數有5，10，15，20……，數軸是以0為基點向兩邊無限延伸，與點對應的數是無窮盡的，所以5的倍數在數軸上是找不完的，說明5的倍數有無限個。

在教學中，教師運用數軸可幫助學生消除思維中的盲點，使抽象的數學知識變得直觀。

五、借助數軸，理解數學性質

教材中有很多性質、規律、公式、法則、運算定律等，它們都有很強的抽象性和概括性，小學生由于生活經驗不足、思維能力薄弱等原因，難以深刻地理解這些概括性的語言。因此，教師可另辟蹊徑，改變知識的呈現形式，將知識變得直觀、形象、可視，讓學生學得扎實、記得牢靠。小數的基本性質和分數的基本性質是小學數學五年級教材中重要的學習內容，學生學起來頗有難度，為了幫助學生理解得更加透徹，在教學中，教師利用數軸教學，能更好地闡述知識，讓學生的學習真正發生。

例如，在教學小數的基本性質時，教師引導學生將數軸上的一個單位長度平均分成10份。以0.5的位置為例，學生發現運用同一個點可以表示位數不同的小數（如圖7）：0.5=0.50=0.500，因為是同一個點，所以它們的大小是相等的。引導學生觀察這個等式，從左向右看，小數的末尾添加“0”，其大小不變;從右往左看，小數的末尾去掉“0”，其大小不變。如此，學生便順利地掌握了小數的基本性質。

又如，在教學分數的基本性質時，教師讓學生對數軸上的一個單位長度平均分為10份。學生在數軸上的同一個點找到了[12，24，48]，說明它們的大小相等，即[12=24=48]（如圖8）。在此基礎上，讓學生觀察并思考：這幾個分數的分子和分母是怎樣變化的？最終在比較、歸納的基礎上，學生順利掌握了分數的基本性質。

運用數軸可以溝通小數與分數的聯系，雖然數軸上的同一個點可以表示不同的小數，也可以表示不同的分數，但它們的大小是相等的。這為以后學生學習小數與分數的互化奠定了堅實的基礎，也讓學生意識到數學知識點不是孤立存在的，而是具有密切聯系的。將知識連點成線，再連線成面，可助力學生形成完善的知識結構。

總之，數軸是數形結合思想的載體，數軸由無數個點組成，它對培養學生的數感、理解算理、激活思維有著重要的促進作用。因此，在教學中，教師應巧妙運用數軸，讓學生經歷有收獲、有意義、有價值的數學學習過程，從而助力學生數學核心素養的穩步提升。

（責編 覃小慧）