高中數學教材中數學史內容對比研究的一個框架

【摘 要】 數學史是提升學生數學核心素養的重要依托，以教育目標分類學（修訂版）為理論依據，從學習者的認知水平、知識分類以及數學史在教材中的主要滲透特征三個維度構建了高中數學教材中數學史內容對比研究的框架. 基于本框架對新人教A版高中數學必修冊和北師版高中數學必修冊教材中數學史的相關內容進行了對比研究. 結果顯示：二者在總體數量方面相差不大;在認知水平和知識分類兩個維度的史實分布特征具有較強的一致性;在主要滲透特征方面二者呈現出一定的差異性. 為教師教學提出以下幾點建議：（1）引導學生以史料為背景進行數學寫作，提高學生數學元認知水平;（2）前置“數學史學習任務清單”，以興趣引領學生主動認知;（3）史實材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養學生數學核心素養.

【關鍵詞】 數學史;高中數學;教材對比

1 問題提出

隨著數學課程改革的不斷深入，數學文化的育人價值被逐漸挖掘. 2003年，我國首次將數學文化納入普通高中數學課程標準[1]，這意味著數學文化已經受到數學教育界的廣泛關注. 數學史作為數學文化的有機組成部分，是學生了解數學科學發展脈絡、體會數學文化屬性的重要依托，而教科書作為教師“教”與學生“學”的主要載體，是開展數學史實學習的重要資源. 2019年，我國部分地區開始率先使用依據《普通高中數學課程標準（2017版）》編寫的新版高中數學教材，按照教育部“同綱異構”的教材編寫原則，各版本教材在數學史內容的選擇和編排上存在著一定的差異.

對數學史在各版本教材中的選擇和編排進行研究，不僅有利于總結教材編寫經驗，為今后的教材編寫提供借鑒，而且對于教師把握教材、體會教育理念的轉變有著重要的指導意義. 通過對文獻進行研讀，筆者發現已進行的數學史對比研究多從數學史在教科書中的內容類型、內容來源、呈現視角等方面進行探索和比較[2][3][4]，而從學習者的認知水平和知識分類這兩個角度的研討較少. 本研究從數學史在教科書中的主要滲透特征、學生對數學史的認知水平以及知識分類三個維度構建了高中數學教材中數學史內容對比研究的框架，以期為廣大數學教育工作者提供參考，對不同版本高中數學教材進行廣泛對比研究，為教師的史實教學提供建設性意見. 2 三維框架構建

2.1 理論依據

《布盧姆教育目標分類學（修訂版）分類學視野下的學與教及其測評》[5]（以下簡稱《修訂版》）是對Lorin W.Anderson和David R.Krathwohl等人所編寫的《教育目標分類學：認知領域》一書的修訂和完善. 《修訂版》將原認知框架修改為知識和認知過程兩個維度，知識維度劃分為事實性、概念性、程序性、元認知知識四個類別;認知過程劃分為記憶/回憶、理解、應用、分析、評價、創造六個類別，每一類別又劃分為2～7個不等的亞類共30個. 應該說《修訂版》作為當今完善程度最高、適用范圍最廣的教育目標分類理論之一，為教育科研人員提供了良好的理論研究框架，同時也為一線教師的教學實踐提供了操作指引和理論支撐;但高中數學教材中的數學史內容有限、涉及范圍較窄，過細的類別劃分對于《修訂版》在數學史領域的應用是十分困難的. 布盧姆曾提出：“每個領域都應該有符合該領域實際特征的目標分類系統，它更詳細，更接近于該領域的語言符號系統和問題思維方式，因此，在合適的情況下，它可以具有新的類別及類別的合并與刪除.”因此，將原分類系統進行整合與刪除后，其在數學史領域的可操作性可能會更強. 2.2 框架建構2.2.1 從學習者認知水平的角度

1.了解與記憶史實

對于數學教科書中出現的具有如下特征的數學史實內容了解和記憶即可： 無需通過任何形式和手段（如通過查閱資料對其進行歸納、總結與拓展）對史實材料進行加工，僅以閱讀的形式進行認知;不涉及數學技能和數學思想方法的運用. 一般來講，數學名言、數學家簡介和數學符號的由來等史料都屬于這一層次.

2.理解與應用史實

對于數學教科書中出現的具有如下特征的數學史實內容需要進行理解和應用：在認知過程中涉及到運算、推理、畫圖、數據整理等解決數學問題所必需的數學技能的史實材料;以史實材料（即包括數學自身發展歷史，也包含數學在其他學科中的應用史）為背景的數學建模活動. 例如新人教A版高中數學教科書必修第一冊P39探究中第24屆國際數學家大會會標的由來——趙爽弦圖，見圖1. 雖然學習者在初中已經學習過趙爽弦圖的相關史實內容，但由于此處要求從圖中“找出一些相等關系和不等關系”，故此處史實內容從認知水平來看要達到理解與應用的層次.

新人教A版教材P39探究活動

3.整合與歸因史實

對于數學教科書中出現的具有如下特征的數學史實內容需要進行整合與歸因：需根據已有的史實材料、通過查閱資料等手段對其進行分析、拓展和評價，并最終以數學寫作的形式進行匯報的任務.

例如新人教A版選擇性必修第一冊P89中的“請你查閱有關資料，進一步了解吳文俊的事跡，了解我國數學家在數學機械化方面的卓越貢獻”. 要想完成上述學習任務，學習者可以按照如下步驟進行，見圖2.

2.2.2 從知識分類的角度1.陳述性史實知識

將數學教科書中出現的具有如下特征的數學史實內容劃分為陳述性史實知識：史實內容為數學發展所必須的基本要素：關于語言的或計算的符號、歷史事件的地點、人物及其言論等史實;上述基本要素的文字擴展、評價，不同要素間的以文字為主要形式的整合. 例如人教A版高中數學教科書必修第一冊P62旁注，“函數符號y=f（x）是由德國數學家萊布尼茨在18世紀引入的”就是一個陳述性史實知識;人教A版高中數學教科書必修第一冊P97，以“函數的形成與發展”為主題進行文獻閱讀和數學寫作，這是眾多數學基本要素間的整合，屬于陳述性史實知識.

2.應用性史實知識

將數學教科書中出現的具有如下特征的數學史實內容劃分為應用性史實知識：與數學定理、數學思想方法、數學技能有關的史實內容;以史實（既包括數學科學自身發展歷史，也包含數學在其他學科中的應用史）為背景建立數學模型的相關知識. 例如新人教A版必修第二冊P81中的“代數基本定理”;P91中的“棣莫佛定理”;P121中的“祖暅原理”等都屬于應用性史實知識. 2.2.3 從主要滲透特征的角度1.總體數量：即數學史在數學教材中的出現次數.

2.運用方式：汪曉勤提出了數學教材運用數學史的五種方式[6]，具體內容見表1.

3.呈現位置：數學史在數學教材中的呈現位置主要有三種：前置式、并置式和后置式[3]. 前置式即指數學史出現在數學知識之前，并置式即數學史與數學知識同時出現，后置式是數學史在數學知識之后出現. 例如：北師版高中數學教材每一章都以數學名言引入，這是前置式;人教A版教材在介紹弧度制時，在旁注介紹了弧度制概念的提出，這就是并置式. 三維對比研究框架整體結構見圖3.

3 案例分析3.1 研究對象

以新人教A版高中數學必修冊教材和北師版高中數學必修冊教材為對象進行對比研究. 將數學史的概念界定為：數學教科書中涉及到的有關數學概念、定理、思想方法的發展歷程，數學家簡介、與數學有關的名言，數學符號的由來，數學在社會政治、經濟、文化以及其他領域的應用史. 3.2 研究結果分析3.2.1 二者在認知水平維度和知識分類維度的史實分布特征具有較強的一致性研究發現，新人教A版必修冊和北師版必修冊在認知水平和知識分類兩個維度的史實分布特征具有較強的一致性，即P1、P2層次的史實內容相比較多，P3層次較少，K1、K2兩個層次的史實內容數量較接近，且K2層次的史實內容略多于K1層次，見圖4. 具體來說，新人教A版必修冊在P1、P2、P3層次的史實數量分別為15處、22處和5處，在K1、K2層次的史實數量分別為18處和22處;北師版必修冊在P1、P2、P3層次的史實數量分別為20處、25處和4處，在K1、K2層次的史實數量分別為21處和28處.

3.2.2 二者在數學史的運用方式及呈現位置方面具有一定的差異性

在主要滲透特征方面，二者呈現出“一同二異”的表現特征. 具體而言，在總體數量方面，新人教A版和北師版必修冊相差不大，分別為42處和49處;在運用方式方面，新人教A版教材在點綴式、附加式、復制式、順應式、重構式這五種方式的占比分別為0%、47.6%、2.4%、28.6%、21.4%，而北師版的這一數據為0%、20.4%、24.5%、49.0%、6.1%;在呈現位置方面，新人教A版中數學史內容在前置式、并置式、后置式這三個位置的占比分別約為4.8%、57.1%、38.1%，而北師版的這一數據為28.6%、16.3%、55.1%，究其原因是北師版教材中引用了大量的數學名言放置在章首頁，這就造成了北師版“前置式”和“復制式”在各自整體內占比較高，見圖5.

3.2.3 從三維結構整體來看，二者各具特色

從三維結構整體來看，二者各具特色，既有共同關注的重點，也有不同的滲透理念，見表2. 首先，二者對學生在陳述性史實知識方面的認知水平要求較低，多為P1層次，分別為14處和17處，而對于應用性史實知識的認知水平要求多為P2層次，分別為22處和23處. 其次，二者都是處于（P2，C2，K2）層次的史實內容最多，且這一層次史實內容的滲透特征也較相似，即都是順應式運用最多、附加式次之. 但是，北師版在這一層次共運用順應式20次，占比87.0%，而新人教A版在這一層次的主要運用方式也為順應式，但占比只有54.5%，可見，北師版教材的編寫側重于對史實內容的加工，而新人教A版還關注史實的重構. 此外，二者在（P3，C3，K1）和（P3，C3，K2）層次、（P1，C3，K1）和（P2，C3，K2）層次的呈現位置方面也呈現出了較強的一致性. 由此可見，在整體結構方面，二者各有所長，既有共性，也有差異.

4 啟示

教材作為貫徹課程標準和承載課程理念的物質載體，是師生開展史實學習的重要資源. 通過對框架的構建和兩個版本教材中數學史內容的對比研究，發現了兩個版本教材在數學史內容的選擇和編排上的共性與差異，為教師教學提出以下三條建議. 4.1 引導學生以史料為背景進行數學寫作，提高學生數學元認知水平

研究表明，數學寫作可以有效提高學生的數學元認知水平[7]，而對史實內容進行整合與歸因，就是學習者通過收集、歸納、整理等方式，從更高的視角對史料進行意義建構，并最終以數學寫作的形式呈現的過程. 這一過程不僅有利于學習者了解數學概念、公式、定理的發生發展脈絡，更重要的是對于學生數學元認知水平的提升具有重要意義. 在新人教A版教材和北師版教材中，P3層次的史實數量占比分別為12%和8%，相比P1、P2層次的史實數量占比較低. 因此，在教學過程中，教師要有意識地引導學生對教材中涉及的史料進行拓展與分析，培養學生收集、分析、歸納材料和數學寫作方面的能力，提升學生的數學元認知水平. 4.2 前置“數學史學習任務清單”，以興趣引領學生主動認知

美國數學家魏爾德認為：數學課堂上只強調數學的技術是不夠的，要使學生被數學所吸引，一定要運用數學歷史知識[8]. 而史料的不同運用方式和呈現位置會給學生帶來不同的情感體驗. 在運用方式方面，教師要借鑒教材，采取順應式和重構式的方式，以此來保證史料的時代適用性. 在史料呈現位置方面，教師可以在章開頭設置“數學史學習任務清單”. 例如“圓錐曲線的方程”這一章涉及了大量的史實知識，從梅內赫莫斯的“梅氏三線”到歐幾里得的《圓錐曲線》，再到阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》和安提繆斯的“兩釘一線”橢圓畫法[9]，學生只有了解圓錐曲線的產生發展歷程，對知識的建構才會更加深刻. 在學習本章之前，教師可以預先列出每一節涉及的史料，引導學生自主探索，調查圓錐曲線的發展歷程，激發學生的學習興趣，促進學生主動認知. 4.3 史實材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養學生數學核心素養數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度和價值觀的綜合體現[10]，即核心素養的培養要兼顧“德育”和“智育”. 數學史在數學與人文之間架起了一座橋梁，因而在德育上可以發揮獨特的優勢[9]. 因此，教師在史料的選取過程中，在保證趣味性、科學性、可學性、有效性、人文性的史料選取原則下[11]，要重視中國傳統文化中的數學元素，兼顧學生的德與智共同發展. 例如，在介紹《趙爽弦圖》的過程中，也可以將趙爽“負薪余日，聊觀《周髀》”的故事介紹給學生，這樣既讓學生了解了趙爽弦圖，發展了學生的“智”，又讓學生感受到趙爽刻苦鉆研的精神，培養了學生的“德”.

參考文獻

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[2] 劉云，朱維宗.高中數學必修教科書中數學史內容的呈現方式探析[J].數學教育學報，2012，21（02）：86-89.

[3] 徐乃楠，孔凡哲，劉鵬飛.高中數學教科書中的數學史呈現研究[J].數學教育學報，2015，24（02）：61-65.

[4] 張盛熔.新人教A版高中數學必修冊教科書中數學史內容的研究[D].武漢：華中師范大學，2020.

[5] Lorin W.Anderson等.布盧姆教育目標分類學修訂版：分類學視野下的學與教及其測評[M].蔣小平等譯.北京：外語教學與研究出版社，2009，21-48.

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[9] 汪曉勤，沈中宇.數學史與高中數學教學——理論、實踐與案例[M].上海：華東師范大學出版社，2020：60.

[10] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4.

[11] 陳晏蓉，汪曉勤.數學史料的選取原則與案例分析[J].教育研究與評論（中學教育教學），2017（12）：37-43.

作者簡介 常海斌（1999—），男，吉林公主嶺人，碩士生;主要從事數學教育研究.