拓展易錯題資源，提升數學學習能力

浦金才

摘要：在初中數學教學中，易錯題不僅可以暴露學生在學習過程中的不足，還可以促使教師適時調整教學行為，通過錯題研究來幫助學生有效預防與糾正錯題。因此，本文以拓展數學課堂中的易錯題資源為切入點，旨在通過對易錯題的深入探究，真正實現變“錯”為寶的效果，進而發揮易錯題的價值，切實提升學生的學習能力與思維品質。

關鍵詞：初中數學;易錯題;學習力;思維品質

學生在學習及解題的過程中出現錯題是非常常見的。但想將易錯題轉化為“易錯題資源”，發揮其對教學的積極作用，就需要教師不斷提升教育教學水平，充分運用易錯題進行辨析教學，幫助學生提煉錯誤的原因，并及時歸納解題方法，將其應用于新的情境中，達到以錯為鑒、以錯出新的效果。因此，本文以此為基本方向，主要圍繞設置雷區、深度探究、整理歸類及變式練習這幾個方向展開具體探討，以真正發揮易錯題資源在初中數學教學中的作用及價值，推動學生提升數學學習能力及解題能力。

1? ? 設置雷區，充分鋪墊

教師在課前備課的時候，要在鉆研教材、了解學生的基礎上準確定位學生在學習過程中易犯的錯誤及思維障礙，提前做好準備，并在課堂教學過程中有計劃、有意識地將對易錯題的探究與反思融入教學環節，以設置雷區的方式為學生做好鋪墊，幫助學生意識到這類問題的出錯原因及應對措施，以便學生更好地理解與記憶當堂知識內容。

例如，在教學“直線與圓的位置關系”的知識內容時，課堂目標是使學生理解直線與圓的三種位置關系——相交、相切、相離，掌握其判斷方法與性質。其中直線與圓的三種位置關系的性質及判定的正確運用也是這節課的難點所在。尤其是學生很容易混淆點與點及點到直線的距離的概念。那么，教師就要做好提前干預，如可以在課前導入階段回顧點與點之間距離的知識點，也可以在課中引入對比點與點及點到直線的距離的概念環節。此外，教師也可以利用習題訓練幫助學生加深印象，如設計題目：已知⊙O的半徑為4cm，點P在直線l上，且點P到圓心O的距離為4cm，則直線l與⊙O的位置關系是_______。根據這節課的教學內容，絕大部分學生結合d=r=4cm，所以判斷直線l與⊙O的位置關系是相切。但這就進入了教師布置好的“陷阱”，還需要全面考慮點P的位置，實際情況有兩種，如圖1則是點O到直線l的距離恰好是OP，相切的答案沒有問題。但如果如圖2所示，則點P是⊙O上任意一點時，d

這種在錯誤發生之前進行規避的方式可以理解為“提前干預”，這不僅考驗教師對教材的理解與鉆研程度，還需要教師對學生的知識基礎及認知水平有一定的了解與把握，這樣才能通過設置雷區的方式做好鋪墊，引起學生對這類型易錯題的警覺與認識，同時可以有效經歷對易錯題的思考分析過程，積累學習經驗，以此來提升學生的數學學習能力。

2? ? 分析條件，高效審題

初中數學要求教師通過解題培養學生的數學思維。不少教師將解題訓練作為一種教學策略，目的是通過解題在學生腦海中形成深刻的印象。但在解題過程中，經常發現學生出現審題漏項，對題目條件分析不清楚導致錯題的情況，有的因為題目簡單所以忽視了某些條件，有的則是不理解條件之間的關系導致出錯。所以，必須要求學生認真分析已知或潛在條件，提高審題效率。快速理解題目中已知條件的關系，并且能聯想到相關定理公式，正確解答題目，才能提升學生的數學學習能力。

例如兩位同學在操場進行跑步訓練，操場一周400米，兩名同學距離100米（圓周距離，非直線距離），相向而行，10秒后相遇，A同學跑步速度每秒比B同學快1米，問相遇時，兩名同學分別跑了多少路程？

這個題目是初中數學比較簡單的相遇問題，很多同學看到問題直接開始答題，距離100米，相遇問題，假設B同學跑步速度是x米/秒，那么A同學的速度為（x+1）米/秒，可列式（x+x+1）×10=100，計算得x為4.5，則A同學跑步速度為5.5米/秒，B同學跑步速度為4.5米/秒，乘以10秒，即可獲得兩位同學的跑步路程。

解答正確，兩位同學距離100米開始跑步，上述解題過程中，默認兩位同學跑的總路程是100米，但是題目中還有一個條件，操場一周400米，意味著兩位同學可能沿著300米的路程進行相遇跑步，此時的解題思路、方法和步驟雖然和上述解題模式一致，但因為充分考慮了題目已知條件，所以換算了總路程，導致最終計算結果出現不同。針對這類題目要求學生討論，如何避免題目漏項。有學生提出畫項法，即畫掉已經使用的條件，再重新審視題目，有學生提出作圖法，既然是圓形操場，在紙上可以直接繪制A和B的位置，可以充分避免漏掉題目條件。在本題以及類似的行程問題中，兩種方法均適用，在其他題目中，結合具體要求選擇合適的方法。通過認真分析題目條件，才能真正做到高效審題，在具備了相應的知識儲量后，才能在遇到類似題目時下意識地考慮所有潛在因素，最終提高解題效率。

所以，審題的過程，就是對數學題目進行拆解組裝的過程，在審題過程中，不僅需要學生詳細分析題目中每個條件的意思，也需要學生在面對似曾相識題目時具備足夠的耐心，揣摩題目內在含義，防止隱含條件不同導致思維錯誤。另外，數學貴在“變”，同一個題目可能存在多種不同的解題方法，在平時的訓練過程中，要求學生通過比較解題思維的差異性，尋找最高效的方式進行題目計算。拓展學生思維深度和廣度，也培養學生的數學思維能力。

3? ? 審視細節，查漏補缺

很多學生在實際做題過程中都曾經出現過審題正確，但做題就出錯。翻看答案突然意識到自己思維漏項，繼續做題還是會出錯。這意味著在實際學習過程中，學生雖然系統地掌握了相關知識，但存在細節知識漏項，這種細節問題不易發現，一般伴隨做題甚至錯題才能發現，所以具有一定的隱蔽性。這種隱蔽性的漏項，更要引起教師和學生足夠的重視，才能在解題過程中不再出錯。

例如，有一個等腰三角形，一邊長為10cm，另一邊長為8cm，取三角形三條邊的中點，再連接這些中點，計算中點所圍成的三角形的周長。

這道題學生很容易想到有兩個答案。要求各邊中點所圍三角形的周長，這個周長實際是大三角形周長的一半，所以需要計算大三角形的周長。大三角形為等腰三角形，題目中已知兩邊的長，這兩邊都可以分別是底和腰，所以如果10cm為底，8cm為腰，則周長為26cm，如果8cm為底，10cm為腰，則周長為28cm。

以此為例分析，一個等腰三角形，一邊長為10cm，另一邊長為5cm，取三角形三條邊的中點，再連接這些中點，計算中點所圍成的三角形的周長。

在上題的經驗下，學生快速計算出大三角形周長分別為20cm和25cm，小三角形周長為10cm和12.5cm，結果卻是錯誤的，該題只有一個計算結果，為12.5cm。

學生開始發蒙。仔細觀察兩道題，二者除了三角形一邊的尺寸不同，其他條件都相同，那么問題會不會出現在這兩個不同的數字上。

要求學生根據尺寸畫出認為的四個三角形，繪制過程使用了圓規。學生發現，邊長分別為10cm和8cm的等腰三角形有兩個，而邊長分別為10cm和5cm的三角形只有一個，因為在繪制過程發現該三角形只能以5cm為底10cm為腰，如果10cm為底，兩腰的總長度和底邊的長度相同，無法繪制三角形，引發出三角形的隱含知識，即三角形的兩邊之和必然大于第三邊，由此推論三角形的兩邊之差和第三邊有什么關系。通過審視細節，學生發現學習三角形的知識漏洞，才能快速查漏補缺。

所以，數學題目易錯題資源是無窮盡的，在教學過程中，不僅要注重課堂知識，同時要注意知識的靈活應用，要求學生在實際做題過程中不僅嚴格執行已知的定理，同時也要注意課程的細節問題。看到錯誤解答不要盲目翻找答案，也不要輕易否定自己的思維，通過錯題審視知識漏項，才能在做題過程中進行知識的查漏補缺，補充知識系統。

4? ? 深度探究，發散思維

學生對易錯題的深度探究可以理解為“析錯——糾錯——改錯”等幾個基本環節。首先，在錯題出現之后，教師要引導學生學會分析出錯的原因，究竟是概念不清、基礎沒掌握、思路錯誤還是馬虎、計算粗心。等明確原因之后再針對性地進行糾錯，比如概念不清類易錯題就要重新研究與厘清概念，思路錯誤的要回憶自己做題時的思路并對照正確思路找準思維障礙，對癥下藥糾正錯誤，進而避免相同錯誤的再次發生。

以一道數學題目為例，已知x=（m-4），xm2-3m-2+2x-3是二次函數，求m的值。

錯解：根據題意，得m2-3m-2=2，即m2-3m-4=0，解得m1=-1，m2=4。

這道題目是學生在初學二次函數知識點時經常犯的一類錯誤。教師可以再準備一道題目：已知y=（m-5）xm2-3m-2+2x-3是二次函數，求m的值，則上述解答過程和答案就完全沒有問題。這兩道題目非常相似，那么究竟是哪里出錯了呢？教師要引導學生再次分析題干，回顧相關知識點并找出錯題的原因。學生判斷出這道題的考查要點是二次函數定義及表達式，這時學生才發現自己忽略了一個隱含條件，那就是二次函數的二次項系數不能為0，也就是m-4≠0，m≠4，所以m2=4這個答案應該舍去。接下來教師再讓學生闡述解決這類型題目的正確思路，學生分析到要想滿足該函數為二次函數，那么m2-3m-2=2及m-4≠0這兩個條件缺一不可，解這類題目要特別注意防止漏掉“二次項系數不等于0”這個隱含條件。通過這樣的方式，學生對此類概念類題目加深了印象，課堂效果較好。

5? ? 變式練習，開闊視野

對易錯題進行拓展分析的最終目的是讓學生意識到錯題的形成原因，并通過反思總結來避免同類型錯題的再次發生，達到改錯、糾錯的效果。那么，為了幫助學生更好地進行針對性鞏固訓練，教師可采取為學生設計及準備變式練習題目的方式，讓學生深入了解不同類型易錯點的考查形式及題干“陷阱”，從而找出個人的知識點漏洞，并加以修正完善。

例如，拋物線與x軸的交點相關的問題，這類題目實際上考查的是學生對二次函數、一元二次方程及其相互關系的應用程度，但很多學生在解答這類題目時非常容易出錯。那么，教師可通過變式練習的方式來幫助學生進行梳理及訓練。比如教材中設計的題目是：下列情形中，如果a>0，拋物線y=ax2+bx+c的頂點在什么位置？情形包括方程ax2+bx+c=0有兩個不等的實數根，有兩個相等的實數根及無實數根三種情況。這是課堂知識點的直接應用，問題難度不大。教師可準備一些加大難度的變式題目，如若拋物線y=x2-6x+m與x軸沒有交點，則m的取值范圍是_____。這是引導學生反向利用交點情況來分析計算二次函數的常數項。以及若函數y=（m-1）x2-6x+m的圖像與x軸有且只有一個交點，則m的值為_____。這里還涉及由于m-1的值是否為零不能確定，需要將該函數分一次函數和二次函數兩種情況來討論，也是這道題的易錯點所在。通過這樣的變式練習可以幫助學生熟悉不同的出題形式及注意事項，進而更好地攻克這一類型題目及考點。

6? ? 整理歸類，建立體系

對易錯題進行整理歸類是將普通錯題轉化為易錯題資源的一個重要環節。一些學生在出現錯題之后，只是象征性地將其記錄在錯題本中，但并未進行系統分類整理，導致同類型錯誤反復發生，這也失去了建立錯題集本身的意義。因此，教師要指導學生學會對錯題進行分類，分清出錯原因比如知識型錯誤、思維方法型錯誤等并進行標記，同時也要總結解決這些題目的正確思路與知識點運用規律，以此來幫助學生查找知識漏洞，建立知識體系。

例如，在解答因式分解類題目時，學生常犯的錯誤包括曲解概念，局部分解;提公因式漏項、符號出錯等，錯因不同則不能雜糅在一塊。因此，教師就要幫助學生對不同類型的錯題進行分類整理。在這個過程中學生要注意一點，比如在考試中不常出現的一些偏題、怪題，或者是超綱題及明顯超出自己能力范圍的難題，是不建議將其納入錯題集中的，這樣不利于發揮錯題本鞏固基礎和提高拓展的作用。學生要把建立錯題集的重點放在易錯題、典型題及疏漏題上，通過對錯題集的分類整理及定期復習來完善個人知識體系，提升數學學習能力。

對于很多學生來說，他們對待一些易錯題僅限于簡單訂正，很容易出現同類型錯誤再次發生的情況，這就使得易錯題資源的價值大打折扣。因此，作為初中數學教師，要善于挖掘并利用好易錯題的教學價值，引領學生學會自覺主動地剖析出錯原因，歸類整理錯題，不斷培養學生自主學習、自我反思等學習習慣，切實提升學生識錯、析錯、糾錯的主動性及學習能力，讓學生從錯題中收獲真實的進步與成長。

參考文獻：

[1]楊書軍.用易錯題培養學習能力[J].中學生數理化，2005（2）：25-28.