初中數學二次函數常見最值問題分類探究

崔莉

【摘要】二次函數作為初中數學教學中的重要內容，是各地中考試卷中的必考內容，受到了教師與學生們的共同重視.在考試中對二次函數知識的考察較為靈活，尤其是在對二次函數最值的考察，形式更加多變，計算也更加復雜，成為學生失分的重災區.本文，系統性地總結歸納二次函數最值考察的相關題型與解題方法，對于學生而言，具有十分重要的意義[1].

【關鍵詞】二次函數;最值問題;解題方法

1 定軸定區間類

定軸、定區間作為二次函數最值問題考察中最為簡單的類型，也是考題中最為常見的類型，學生在解答這類問題時，僅僅需要根據題目信息求得相應的函數解析式，而后根據解析式畫出相應的圖形，既可以得到最終的答案.在一些較為復雜的題目中不會直接給出相應的解析式，此時就需要學生根據題意進行計算[2].

例1 已知二次函數 y=x2+bx+c經過點A（7，0）以及坐標原點，現有一條直線AB，經過y軸（0，-7），且線上有一動點C（x，y），1

（A）有最大值9.（B）有最小值9.

（C）有最大值8.（D）有最小值8.

解 對于本題而言，雖然沒有直接給出函數解析式，但是通過題目中給出的信息及圖象經過的2個點，可以得到函數解析式中的b、c值，而后便可以根據解析式畫出相應的圖形，并將直線AB按照題意在圖形上畫出，尋找CD的長度與自變量之間的關系，根據關系式便可得到最值的大小.

因為函數y=x2+bx+c圖象經過原點和A點，代入可得c=0，b= -7，即二次函數的表達式為y=x2-7x.

因直線AB經過點（0，-7）A（7，0），可以設直線AB的方程為y=kx+b，代入后得到k=1，b-7，即直線AB的表達式為y=x-7.

因此，C（x，x-7），D（x，x2-7x）.

因為1

同時，此函數的對稱軸為直線x=4，根據題意，動點C的x值范圍為1

2 定區間動軸類

定區間動軸類是考試中比較常見的問題，在面對這樣的題目時，就需要根據實際的問題進行分類討論[3].在這類題型中因為二次函數對稱軸存在不確定性，導致軸的位置可以在給定區間的左側、中間及右側三種情況，而當對稱軸在區間范圍內時，其頂點往往是所求的最值.

例2函數y=-（x-m）2+m2+1在-2≤x≤1這一范圍內存在最大值4，則m的值為（）

（A）-74. （B）±3.

（C）2或-3.（D）2或3.

解 根據題目中x的范圍，可以得到二次函數y=-（x-m）2+m2+1圖象開口向下，在對稱軸處有最大值.下一步則需要對不同情況進行分析，首先，根據函數解析式可以得到其對稱軸為直線x= m，頂點為（m，m2+1）.

當m<-2時，此時函數對稱軸在給定范圍的左側，當x=-2時為最大值.

而后將y=4、x= -2帶入函數，解得m=-74，而-74>-2，與題意不相符合，所以舍去.

當-2≤m≤1時，剛好將函數對稱軸包含在其中，因此，在x = m處存在最大值4，將y與x代入可以得到m=±3，因3>1，舍去，所以m的值為-3.

當m>1時，函數的對稱軸則出現在區間的右側，此時則在x=1處存在最大值4，代入可以得到m=2，符合題意，所以本題正確答案為C.

3 定軸動區間類

定軸動區間的最值問題與定區間動軸問題具有十分類似，面對這一類型的問題，依舊要分為三種情況，分別進行討論.同時存在一些較為特殊的情況，需要確定自變量的取值范圍，而后挖掘其中的規律，減少分類討論的情況.

例3 二次函數y=-（x-1）2+5，當m≤x≤n，且mn<0時，有最小值為2m，有最大值為2n，則m+n為（）

（A）52.（B）2.

（C）32. （D）12.

解 遇到這一題目時，應當充分挖掘題目中所給出的隱藏條件.通過題目中給出的m≤x≤n，且mn<0可得n>0，m<0，因此解題時只需判斷n與對稱軸1之間的大小關系，如此便可降低解題難度.

當m≤x≤n<1時，由函數的基本性質可以得到當x=m時，為最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當x=n時得最大值，2n=-（n-1）2+5，解得n=2或n=-2，二者均布符合上述分析，所以均舍去.

m≤x≤n<1，x=m時取最小值，即2m=-（m-1）2+5，可得解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當x=1時，y值最大，為2n=-（1-1）2+5，n=52.

綜上可得，m=-2，n=52，所以m+n=-2+52=12，所以答案為D.

4 實際生活類

例4某商店中，一種籃球的進價為每個50元，出售時的單價則為60元，在這種情況下商店每個月可以賣出200個籃球，老板為了增加收入，于是調整了出售時的單價，而隨著售價的增加，銷售量卻逐步減少，而且每增加1元，其銷售量就會減少10個.根據市場情況，其最高價格不能超過72元，假設籃球價格上漲x元時商店的利潤為y元，那么：

（1）求商店每月利潤y與價格上漲x之間的關系;

（2）在籃球定價為多少元時，商店可以獲得最大的利潤.

解 （1）根據題意可以知道，y表示的為每個月出售籃球所獲得的利潤，x為籃球價格的漲幅，根據利潤=單價×數量可以得到關系式y=（60-50+x）（200-10x），進一步整理可以得到y=-10x2+100x+2000.

根據題意，籃球的售價不能超過72元，此時x的取值范圍則應小于或等于72-60=12，0

（2）根據第一問可以得知y與x之間的關系為y=-10x2+100x+2000，將其進一步化簡可以得到y=-10（x-5）2+2250，

根據二次函數的基本定理可以得到當x=5時，y存在最大值，為2250，同時x=5符合題目中給定的范圍，故當籃球的售價為65時，商店會獲得最大利潤，為2250元.

本題是常見的利潤最大化的題型，這類題目并不困難，需要學生準確地把握題目中給定的信息，并且找到正確的函數關系式，便可快速解答.

5 結語

二次函數最值問題作為初中數學考試中的重點題型，其考察方式也較為靈活.因此，在日常的教學中，教師應當積極鼓勵學生進行總結歸納，掌握各種題型的解題方法，以期在后續的考試中能夠快速的解決問題.

參考文獻：

[1]劉立海.初中數學二次函數的最值問題求解分析[J].數理化解題研究，2016（20）：28.

[2]洪莎莎.基于初中數學二次函數中最值問題的思考[J].考試周刊，2020（98）：69-70.

[3]潘永俊.基于核心素養的初中數學二次函數最值教學[J].新課程，2020（36）：63.