初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)常見(jiàn)最值問(wèn)題分類探究

崔莉

【摘要】二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，是各地中考試卷中的必考內(nèi)容，受到了教師與學(xué)生們的共同重視.在考試中對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的考察較為靈活，尤其是在對(duì)二次函數(shù)最值的考察，形式更加多變，計(jì)算也更加復(fù)雜，成為學(xué)生失分的重災(zāi)區(qū).本文，系統(tǒng)性地總結(jié)歸納二次函數(shù)最值考察的相關(guān)題型與解題方法，對(duì)于學(xué)生而言，具有十分重要的意義[1].

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);最值問(wèn)題;解題方法

1 定軸定區(qū)間類

定軸、定區(qū)間作為二次函數(shù)最值問(wèn)題考察中最為簡(jiǎn)單的類型，也是考題中最為常見(jiàn)的類型，學(xué)生在解答這類問(wèn)題時(shí)，僅僅需要根據(jù)題目信息求得相應(yīng)的函數(shù)解析式，而后根據(jù)解析式畫出相應(yīng)的圖形，既可以得到最終的答案.在一些較為復(fù)雜的題目中不會(huì)直接給出相應(yīng)的解析式，此時(shí)就需要學(xué)生根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算[2].

例1 已知二次函數(shù) y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（7，0）以及坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)有一條直線AB，經(jīng)過(guò)y軸（0，-7），且線上有一動(dòng)點(diǎn)C（x，y），1

（A）有最大值9.（B）有最小值9.

（C）有最大值8.（D）有最小值8.

解 對(duì)于本題而言，雖然沒(méi)有直接給出函數(shù)解析式，但是通過(guò)題目中給出的信息及圖象經(jīng)過(guò)的2個(gè)點(diǎn)，可以得到函數(shù)解析式中的b、c值，而后便可以根據(jù)解析式畫出相應(yīng)的圖形，并將直線AB按照題意在圖形上畫出，尋找CD的長(zhǎng)度與自變量之間的關(guān)系，根據(jù)關(guān)系式便可得到最值的大小.

因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和A點(diǎn)，代入可得c=0，b= -7，即二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-7x.

因直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-7）A（7，0），可以設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入后得到k=1，b-7，即直線AB的表達(dá)式為y=x-7.

因此，C（x，x-7），D（x，x2-7x）.

因?yàn)?

同時(shí)，此函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=4，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)C的x值范圍為1

2 定區(qū)間動(dòng)軸類

定區(qū)間動(dòng)軸類是考試中比較常見(jiàn)的問(wèn)題，在面對(duì)這樣的題目時(shí)，就需要根據(jù)實(shí)際的問(wèn)題進(jìn)行分類討論[3].在這類題型中因?yàn)槎魏瘮?shù)對(duì)稱軸存在不確定性，導(dǎo)致軸的位置可以在給定區(qū)間的左側(cè)、中間及右側(cè)三種情況，而當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)時(shí)，其頂點(diǎn)往往是所求的最值.

例2函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1在-2≤x≤1這一范圍內(nèi)存在最大值4，則m的值為（）

（A）-74. （B）±3.

（C）2或-3.（D）2或3.

解 根據(jù)題目中x的范圍，可以得到二次函數(shù)y=-（x-m）2+m2+1圖象開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處有最大值.下一步則需要對(duì)不同情況進(jìn)行分析，首先，根據(jù)函數(shù)解析式可以得到其對(duì)稱軸為直線x= m，頂點(diǎn)為（m，m2+1）.

當(dāng)m<-2時(shí)，此時(shí)函數(shù)對(duì)稱軸在給定范圍的左側(cè)，當(dāng)x=-2時(shí)為最大值.

而后將y=4、x= -2帶入函數(shù)，解得m=-74，而-74>-2，與題意不相符合，所以舍去.

當(dāng)-2≤m≤1時(shí)，剛好將函數(shù)對(duì)稱軸包含在其中，因此，在x = m處存在最大值4，將y與x代入可以得到m=±3，因3>1，舍去，所以m的值為-3.

當(dāng)m>1時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸則出現(xiàn)在區(qū)間的右側(cè)，此時(shí)則在x=1處存在最大值4，代入可以得到m=2，符合題意，所以本題正確答案為C.

3 定軸動(dòng)區(qū)間類

定軸動(dòng)區(qū)間的最值問(wèn)題與定區(qū)間動(dòng)軸問(wèn)題具有十分類似，面對(duì)這一類型的問(wèn)題，依舊要分為三種情況，分別進(jìn)行討論.同時(shí)存在一些較為特殊的情況，需要確定自變量的取值范圍，而后挖掘其中的規(guī)律，減少分類討論的情況.

例3 二次函數(shù)y=-（x-1）2+5，當(dāng)m≤x≤n，且mn<0時(shí)，有最小值為2m，有最大值為2n，則m+n為（）

（A）52.（B）2.

（C）32. （D）12.

解 遇到這一題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)充分挖掘題目中所給出的隱藏條件.通過(guò)題目中給出的m≤x≤n，且mn<0可得n>0，m<0，因此解題時(shí)只需判斷n與對(duì)稱軸1之間的大小關(guān)系，如此便可降低解題難度.

當(dāng)m≤x≤n<1時(shí)，由函數(shù)的基本性質(zhì)可以得到當(dāng)x=m時(shí)，為最小值，即2m=-（m-1）2+5，解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當(dāng)x=n時(shí)得最大值，2n=-（n-1）2+5，解得n=2或n=-2，二者均布符合上述分析，所以均舍去.

m≤x≤n<1，x=m時(shí)取最小值，即2m=-（m-1）2+5，可得解得m=2或m=-2，其中m=2不符合題意，舍去.當(dāng)x=1時(shí)，y值最大，為2n=-（1-1）2+5，n=52.

綜上可得，m=-2，n=52，所以m+n=-2+52=12，所以答案為D.

4 實(shí)際生活類

例4某商店中，一種籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)50元，出售時(shí)的單價(jià)則為60元，在這種情況下商店每個(gè)月可以賣出200個(gè)籃球，老板為了增加收入，于是調(diào)整了出售時(shí)的單價(jià)，而隨著售價(jià)的增加，銷售量卻逐步減少，而且每增加1元，其銷售量就會(huì)減少10個(gè).根據(jù)市場(chǎng)情況，其最高價(jià)格不能超過(guò)72元，假設(shè)籃球價(jià)格上漲x元時(shí)商店的利潤(rùn)為y元，那么：

（1）求商店每月利潤(rùn)y與價(jià)格上漲x之間的關(guān)系;

（2）在籃球定價(jià)為多少元時(shí)，商店可以獲得最大的利潤(rùn).

解 （1）根據(jù)題意可以知道，y表示的為每個(gè)月出售籃球所獲得的利潤(rùn)，x為籃球價(jià)格的漲幅，根據(jù)利潤(rùn)=單價(jià)×數(shù)量可以得到關(guān)系式y(tǒng)=（60-50+x）（200-10x），進(jìn)一步整理可以得到y(tǒng)=-10x2+100x+2000.

根據(jù)題意，籃球的售價(jià)不能超過(guò)72元，此時(shí)x的取值范圍則應(yīng)小于或等于72-60=12，0

（2）根據(jù)第一問(wèn)可以得知y與x之間的關(guān)系為y=-10x2+100x+2000，將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)可以得到y(tǒng)=-10（x-5）2+2250，

根據(jù)二次函數(shù)的基本定理可以得到當(dāng)x=5時(shí)，y存在最大值，為2250，同時(shí)x=5符合題目中給定的范圍，故當(dāng)籃球的售價(jià)為65時(shí)，商店會(huì)獲得最大利潤(rùn)，為2250元.

本題是常見(jiàn)的利潤(rùn)最大化的題型，這類題目并不困難，需要學(xué)生準(zhǔn)確地把握題目中給定的信息，并且找到正確的函數(shù)關(guān)系式，便可快速解答.

5 結(jié)語(yǔ)

二次函數(shù)最值問(wèn)題作為初中數(shù)學(xué)考試中的重點(diǎn)題型，其考察方式也較為靈活.因此，在日常的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)積極鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，掌握各種題型的解題方法，以期在后續(xù)的考試中能夠快速的解決問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉立海.初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解分析[J].數(shù)理化解題研究，2016（20）：28.

[2]洪莎莎.基于初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)中最值問(wèn)題的思考[J].考試周刊，2020（98）：69-70.

[3]潘永俊.基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值教學(xué)[J].新課程，2020（36）：63.