滲透模型思想 優化數學課堂

章建忠

【摘要】初中數學教學中滲透模型思想，可使學生更好地把握、深入地理解數學知識本質，尤其用于解答數學習題中，可提升解題效率.通過展示二次函數模型、將軍飲馬模型、阿氏圓模型、胡不歸模型、費馬點模型在解題中的應用，以供參考.

【關鍵詞】模型思想;初中數學;課堂教學

模型思想是初中數學中非常重要的思想[1].教學實踐中應充分認識到模型思想的重要作用，既要結合具體教學內容做好數學模型理論知識講解，又要做好常用模型的總結，并圍繞具體例題展示相關模型地應用，使學生更好地掌握相關模型的應用思路，把握相關應用細節.

1 二次函數模型

求解最值問題時常使用二次函數模型，即，根據題干創設的情境，靈活運用幾何圖形性質構建二次函數關系，部分習題還需做出輔助線，以更好地找到線段、角度關系.結合二次項系數的正負找到其頂點，在二次函數頂點處取得最大或最小值.需要注意的是運用二次函數求解最值時應認真分析自變量范圍[2].

例1 如圖1，Rt△ABC中，∠C和∠A分別為90°，30°，BC=10.在三邊上各取一點，連成等邊△DEF，則△DEF面積的最小值為.

該題難度不大，結合經驗可知需要借助二次函數模型進行解答.借助幾何性質合理設出參數，并運用三角形全等找到線段、角度的等量關系，借助勾股定理，構建二次函數，運用二次函數性質，便可求出△DEF面積的最小值.

過點E作EM⊥AB于點M，如圖2.由△DEF為等邊三角形可知，EF=DE，∠DEF=60°.∠CEF=120°-∠BED.由∠C=90°，∠A=30°，則∠B=60°，則∠MDE=120°-∠BED，則∠CEF=∠MDE，易得△CEF≌△MDE，則CE=MD，CF=ME.設CE=x（0

2 將軍飲馬模型

在初中階段將軍飲馬模型又稱“路徑最短模型”.這一模型在初中數學課本中有所講解.為提高學生運用該模型解題的靈活性，應給予學生引導，使學生把握該模型的本質以及相關細節，即，運用該模型解答習題的關鍵在于判斷尋找哪個點的對稱點.同時，還應能夠透過現象看本質，基于對該模型的深入理解，判斷相關習題是否適用該模型[3].

例2 如圖3，平行四邊形ABCD中AB、BC的邊長分別為4、12，∠ABC=60°.AD邊上存在兩動點E、F，且EF的長為2，則四邊形BECF周長的最小值為.

結合從將軍飲馬模型獲得的啟發，作已知點的對稱點，將四邊形周長最小問題轉化為求線段最短問題，借助三角形三邊關系，確定點F的具體位置，問題便迎刃而解.

在BC上取一點B′，使得BB′=2.作B′關于點AD的對稱點B″.在AD上截取EF=2.點連接B′F、B″F，則B′F=B″F，如圖4所示.四邊形BECF的周長為BE+EF+FC+BC，其中EF和BC為定值分別為2和12，則問題轉化為求BE+FC的最小值問題.根據題意以及上述描述已知四邊形BB′FE為平行四邊形，即B′F=BE，則BE+FC=B″F+FC，顯然當B″、F、C三點共線時B″F+FC最短，長為B″C.由∠ABC=60°，可得AB′=BB′tan60°=23，則B′B″=43，B′C=BC-BB′=12-2=10.在直角△B′B″C中由勾股定理可得B″C=102+（43）2=237，則四邊形BECF周長的最小值為2+12+237=14+237.

3 阿氏圓模型

阿氏圓模型在初中數學習題中常有考查.為使學生更好地掌握阿氏圓模型，教學實踐中應注重運用多媒體技術與學生一起推導相關結論，使學生能夠牢固記憶，深入理解，掌握運用阿氏圓模型求解最值問題的思路，即，根據題干創設的情境，敢于設出點構造三角形，借助三角形相似，尋找線段之間的等量關系，借助等量代換使得問題順利解決.

例3 如圖5，ABCD是邊長為4的正方形，內切圓為圓O.P為圓上一動點，則2PA+PB的最小值為.

到平面兩點距離之比為k（k≠1）的點的軌跡為圓，該圓稱為阿氏圓.初中數學中常通過構造相似三角形，求解線段之和的最小值問題.該題基于對阿氏圓模型的理解，不難尋找到解題思路.

由2PA+PB=2（PA+22PB），將問題轉化為求PA+22PB的最小值.運用阿氏圓模型進行解答.根據題意容易得知圓O的半徑r=OP=2，OB=22.取OB的中點為I，連接PI，如圖6，則OI=IB=12OB=2，易得OIOP=OPOB=22，則△OIP∽△OPI，則PIPB=OIOP=22，則PI=22PB，則PA+22PB=PA+PI.由圖6可知當A、P、I三點共線時兩線段之和最小.過點I作IE⊥AB垂足為點E，則∠IBE=45°，則IE=EB=1，則AE=AB-EB=4-1=3.在△AIE中由勾股定理可得AI=32+12=10，即，PA+22PB的最小值為10，2PA+PB的最小值為2×10=25.

4 胡不歸模型

胡不歸模型是初中數學中非常重要的模型.為使學生更好地掌握該模型，激發學生的學習興趣，應注重為學生講解有關該模型的故事[4].同時，在課堂上積極與學生互動，為學生指點迷津，尤其引導其積極討論，使其親自動手證明胡不歸模型的相關結論，更好地把握胡不歸模型的本質，為其靈活應用奠定堅實基礎.

例4 已知在等腰△AEC中AC=CE，∠CAE=30°.以半徑為5的圓經過AC兩點，且直徑AB在線段AE上.CE為圓O的切線.D為線段AC上任意一點（不含端點），如圖7，則OD+12CD的最小值為.

解答該題的關鍵在于胡不歸模型的應用.該題中過點C作射線CP，使得sin∠ACP=12.過點O向CP作垂線，垂足為K，OK就是要求的結果（可由學生自己證明）.

由模型可知，作∠ACP=30°，過點D作DH⊥CP于點H.則DH=CDsin30°=12CD.求OD+12CD的最小值，即，求OD+DH的最小值.過點O作OK⊥CP于點K，如圖8，顯然當點O、D、K三點共線時OD+DH的值最小.由∠CAE=30°，則∠ACO=30°，則∠PCO=∠ACP+∠ACO=60°，OK=OCsin∠PCO，而OC=5，則OK=5×sin60°=532.

5 費馬點模型

費馬點模型是非常有趣的數學模型.解題中應用費馬點模型可少走彎路，提高效率[6].教學實踐中，為使學生能夠熟練應用，以達到迅速解題的目的，應注重創設相關問題情境，預留空白時間，給予學生針對性的點撥，要求其親自動手進行推理、證明，而非死記硬背結論.

例5 如圖9，在等腰直角△ABC中，∠BAC為直角，AB、AC為腰.點P為AB邊上的動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q.當QA+QB+QC取得最小值，且AQ=2，則PD的長為.

費馬點模型是非常重要的模型.若三角形中最大內角小于120°時，內部存在一點（費馬點）到三角形三個頂點距離之和最小，且該點和三個頂點的連線所成的角為120°.若三角形最大內角大于或等于120°，費馬點就是這個最大內角的頂點.該模型的證明可給該題的解答帶來指引，證明過程可由學生自己完成.

將△BQN繞著B點順時針旋轉60°到△BNM，連接CM.如圖10所示.則由費馬點模型可知，A、Q、N、M共線，△BQN為等邊三角形，∠BQD=60°，∠BQC=∠AQB=∠AQC=120°.易得∠MBC=60°，則△BMC為等邊三角形，BM=MC，由AB=AC，則△ABM≌△ACM，則AM垂直平分BC，則AD⊥BC，因此，點P和點A重合.問題轉化為求AD的長.由∠BAD=45°可知，BD=AD.設AD=BD=x，則QD=x-2，在△BQD中，xx-2=tan60°，解得x=3+3.

6 結語

綜上所述，解答初中數學習題時運用模型思想可迅速找到解題思路，達到事半功倍的解題效果.教學實踐中應通過模型思想的理論指導、例題講解，提高學生對模型思想地認識.同時，在講解相關習題的求解過程后，應注重給學生留下空白時間，要求其做好聽課和整理，把握不同模型的應用細節，掌握相關應用技巧.

參考文獻：

[1]卜建紅.初中數學教學中數學模型思想的滲透[J].數理天地（初中版），2022（01）：78-80.

[2]施金花.如何將模型思想融入初中數學教學[J].數理化解題研究，2021（35）：4-5.

[3]歐瓊華.初中數學教學中融入模型思想的策略[J].名師在線，2021（18）：66-67.

[4]邱宗如.初中數學模型思想的教學實踐與思考[J].福建中學數學，2020（08）：43-45.

[5]張世恩.基于初中數學模型思想的靶向教學實踐研究[J].中學數學，2019（24）：82-84.

[6]劉心玥.初中數學模型思想的應用及其培養——以方程模型思想為例[J].試題與研究，2019（34）：45.