初中數學教學中分類討論思想的滲透

楊文軍

【摘 要】 分類討論思想是數學學科中一項重要的思想方法，是在解決問題出現不確定性時的有效方法，在探究新的數學知識與解答數學問題方面，均有著廣泛而重要的運用.分類討論思想能夠幫助學生有效解決相關數學問題，能培養學生觀察能力、數學邏輯思維能力等.中考數學試題中越來越多地滲透了這種思想.初中數學教學中，教師應當明確分類討論思想的本質內涵，探析分類討論思想的類型原則，進而構建科學的分類討論思想滲透的策略.

【關鍵詞】 初中數學;分類討論;思想內涵

數學思想方法是在數學知識形成、發展、運用中形成的，是對數學知識與方法的高度抽象與概括，需要用到抽象、分類、演繹、歸納、模型、方程等的思想方法.在初中數學教學中，融合了數量關系與平面幾何等各類項目的數學知識，對學生的思維能力與學習能力提出了更高的要求，運用簡單的思維與單一的方法可能無法解答數學問題，需要運用一定的數學思想方法.因此培養學生數學思想方法顯得非常重要，分類討論思想已經融人到整個中學數學內容中，具有邏輯性強、探究性突出、綜合程度高等特點，通過有效培養學生分類討論思想，可以培養學生條理性、縝密性、概括性等的思維，教師要指導學生觀察、分析、綜合等，以此運用分類討論思想解答數學問題.

1 分類討論思想的本質內涵

當遇到一些比較復雜的數學問題時，我們需要將其分解為若干的小問題，或者分為一系列的步驟，進行分類和分別進行討論，這種思想方法被統稱為分類討論思想或者分類討論法[1].分類討論思想是由于數學本身以及研究過程中自然形成的，主要因素是：一是數學概念往往是分類定義的，數學定理、公式、法則、運算性質等很多都是分類提出的;二是在求解數學問題時，得出的結論往往有多種可能或者多個結論;三是數學問題中含有參變量，參變量的取值會導致不同結果.分類討論思想是化整為零、積整為零的思想方法與解題方法，能讓復雜的數學問題變得較為簡單.在分類討論的過程，可以培養學生多種思維能力.近年來分類討論思想越來越多滲透到中考數學試題中，所占分值比重通常較大，因此做好分類討論的教學，培養學生分類討論思想至關重要.

2 分類討論思想的類型原則

初中數學解題中運用的分類討論思想，主要分為以下類型：解答絕對值的問題;應用題中的方案設計;概率統計中的分類討論;分式方程無解的分類討論;對于一元二次方程系數的分類討論;三角形形狀不定、等腰三角形、相似三角形的對角線（或邊）不確定時等，都需要分類討論;幾何問題中，需分類討論的有：平面問題中動點問題，一次函數、二次函數與平面圖形等組合中動點問題，圓等.

在解答以上相關的初中數學問題時，運用分類討論思想往往需要遵循一定的原則，主要分為：一是當分類問題中的相關條件時，需要按照統一標準進行;二是需要完整分類，不能重復，也不能遺漏項目;三是分類可能無法一次進行，需要逐級分類，分類不同級，在分類上標準可能不統一等[2].

3 分類討論思想滲透的策略

通過日常教學中的觀察，以及進行問卷調查和文獻研究，可以明確學生在解答分類討論相關問題時，或者遇到需要進行分類討論的項目時，會出現混淆不清、重復或者遺漏等現象，因此教師應當重視在教學中滲透分類討論思想，加強分類討論相關內容的教學，以此啟發學生分類意識，培養學生分類討論習慣，提高學生分類討論能力等.這不是一蹴而就的，需要在教學中循序漸進滲透.

3.1 加強基礎概念教學，啟發學生分類意識

初中學生已經具備一定的生活經驗，在實際生活中往往會對人物和事物進行分類，結合這個基礎，可以遷移到數學教學中.在數學基礎概念的課程教學中，無形或者有形滲透分類討論思想，以此啟發學生分類意識，為后續進行分類討論打好堅實的基礎，

數學概念是指人們對現實的數量關系、空間形式以及本質屬性，在思維中的一種抽象、概括的反應，需要經過一系列的觀察思考、分類比較、抽象概括等思維活動，最終形成相關數學概念.初中數學基礎概念中，很多概念是分類定義或者分類討論后給出的，針對這些數學概念，教師可以指導學生進行分類，進而加深學生對相關概念的理解，提高數學概念教學效果，啟發學生分類意識.

例如 人教版七年級上“有理數”的概念教學中，教師通過設置針對性的啟發式問題，引發學生積極思考與深入探究，以此啟發學生形成初步的分類意識.比如針對有理數的分類項目，在學習有理數、正數、負數等概念后，為更好學習有理數的分類，鞏固已學知識，讓學生初步體會分類討論思想，教師提出問題：根據定義分類，有理數可以如何分？引導學生答出按照定義分為整數和分數.為讓學生認識O的分界作用，教師可以繼續提問：除了整數與分數，還可以怎么分？先讓學生思考與探析，之后解答：整數分為正整數、0、負整數，分數分為正分數與負分數，在此之后，教師可以根據符號進行提問：有理數還可以按照什么分類劃分？引導學生認識還可以分為正數、負數和0.通過這些方面的設問與啟發思考，可以讓學生認識到不同的分類標準，有理數可以有不同的分類結果，要做到不重復、不遺漏，最后展示思維導圖幫助學生識記有理數的分類.為鞏同這些數學基礎概念，教師可以引入絕對值的概念，讓學生明確：lal，當a>0，|a|-a;當a=0，|a|=0;a<0，|a|=-a，以此讓學生進一步認識分類討論思想，形成分類解答意識.

3.2 匯總分類討論方法，打好分類討論基礎

對于分類討論思想，教師應當指導學生分類，根據適當的標準，結合研究對象的屬性，以不重復和不遺漏為原則，對其進行分類分析與解答.因此，要想更好運用分類討論思想解答數學問題，還需要掌握分類討論思想的基本方法，以此打好分類討論的基礎[3].借助分類討論思想解答數學問題：一是解答代數式、函數、方程等數量關系的問題，要根據字母不同取值，分別在不同取值范圍上進行分類討論;二是結合幾何圖形中的點與線出現不同位置情況，分別討論問題.教師可以結合實際情況，匯總分類討論方法，更好輔助學生分類與解題.

例如 通過研究分類討論思想在解答數學問題時的運用，可以明確分類的方法分為：一是結合數學概念分類，有時因為未關注一個可表示不同類別的數而出現錯誤，對數量關系進行分類討論可以避免這類錯誤;二是根據數學性質、法則與其他規定等分類討論，比如方程問題中常見的結果大于0、等于0、小于0的情況要進行分類討論;三是根據圖形特點與相互問關系分類，比如根據角的分類可以將三角形分為直角、銳角和鈍角三角形;根據圓和直線交點個數分為相切、相離、相交.比如，人教版九年級上的“圓周角的概念”，教學目標是讓學生掌握圓的基本概念與性質，圓心角概念與性質，探究圓周角等.在證明關于圓周角定理時，教師可以布置小組合作探究任務，讓學生利用分類討論的思想進行分析與探討，分為三種情況分別討論證明，教師最后總結：一是證明圓心在圓周角一條邊上;二是作過圓周角頂點直徑，根據上述證明的結論分別解答在圓周角內部和外部的情況，結合圖形點與線不同位置進行分類討論，體現分類討論的思想，在弦切角定理證明中，教師指導學生分類討論圓心在弦切角一條邊上、內部、外部三類情況，同樣運用分類討論思想方法.

3.3 指導學生分類討論，提升解決問題能力

通過結合初中數學的定理、公式、法則等內容，滲透分類討論思想，能夠啟發學生分類意識，讓學生掌握分類討論的基本方法，從而為運用分類討論思想解答綜合的數學問題打好基礎[4].在過去的初中數學習題講解中，不少教師多是就題論題，無法對問題進行深入剖析，較少滲透分類討論的思想方法，根據這個基本情況，教師要結合這些類型的數學習題講解：代數式或函數或方程，結合字母不同取值情況，在不同取值范圍內討論;幾何圖形中點與線出現不同位置的情況.先進行總體的思想方法講解，之后出示題目讓學生解答，最后講解與訓練.

例如 教師可以借助圖文并茂的教學課件，先講解關于分類討論思想在解答數學問題時的運用策略，包括：一是確定分類討論的對象，主要是確定分類討論的范圍、對象的性質等，根據一定的屬性進行分類，不能重復且不能遺漏，按照統一標準進行科學劃分;二是明確分類討論的標準，根據具體情況進行分類討論，關于運用分類討論思想的習題，教師先引人類似題目：點C為線段AB的中點，點D為線段AC的三等分點，如果線段AB=12cm，那么線段BD長度是多少？這道題要根據線段中點定義、線段三等分點定義進行分類討論，先讓學生自主分析與解答，之后再進行展示講解，

3.4 重視進行歸納總結，內化分類討論思想

分類討論思想已經融人到整個初中數學中，要更好培養學生分類討論思想，指導學生運用這種思想方法分析問題、解答問題，教師還需要根據以往的教學情況，結合學生的實際運用表現等，重視進行歸納總結，有目的、按步驟引導學生參與到分類討論思想運用數學解題的分析與討論[5].通過這樣的方式，可以有效增強學生對分類討論思想的運用意識，引導學生更加深入認識這種思想方法，促進學生積極運用它解決相關數學問題，提高學生歸納總結、抽象概括等能力，進而內化分類討論思想，提高初中數學中分類討論思想的滲透效果.

例如 經過一定的分析與研究，帶領學生分析已經做過的運用分類討論思想解答的數學問題，經過抽象概括、歸納總結，可以得出關于解答數量關系問題、幾何圖形問題的四個結論，這些結論包括：一是數學概念與定義中，要掌握數學概念以及定義，重點是絕對值、方程以及根的定義、函數的定義，要明確分類討論對象和原因，確定存在條件與標準;二是字母取值情況與范圍，在函數相關問題中滲透較多，主要考查自變量取值范圍的分類，要注意數學定理、性質的運用條件和范圍等;三是圖形位置關系與形狀，需要熟練掌握直角三角形的直角、等腰三角形的腰與角、圓的對稱性，要結合圖形特殊性質，明確討論對象進行分類解決;四是圖形對應關系的可能情況，一般是融合在三角形的全等或相似等等問題中，會出現關于角和邊的可能對應情況，要結合具體情況分類討論.在做好這些方而的總結后，教師可以再讓學生運用分類討論思想解答相關題目.

4 結語

綜上所述，關于初中數學教學中滲透分類討論思想，教師要明確這種思想方法在初中數學中的地位，認識基本內涵、運用原則等，根據當前初中數學教學狀況與基本學情，引入豐富多樣的教學資源，構建多元化的教學方法，啟發與滲透分類討論思想，讓學生逐步掌握和加以運用，培養學生分類討論思維，提高學生解決問題的能力，有效達成初中數學教學目標，

參考文獻：

[1]劉燕玲.例談分類討論思想在數學教學中的滲透[J].中學數學教學參考：中旬，2018（1）：32-34.

[2]袁霞.分類討論思想在初中數學教學中的滲透[J].202 1（2015-12）：16-16.

[3]馬改珍.探究如何在初中數學教學中滲透分類討論思想[J].文理導航：教育研究與實踐，2018（8）：178.

[4]楊文春.在初中數學教學中如何滲透分類討論思想[J].數學學習與研究：教研版，2016（14）：46-46.

[5]鄧鳳文，如何在初中數學教學中滲透分類討論思想[J].2021（26）：6-8.