將數(shù)學(xué)思想融入初中函數(shù)教學(xué)

高廷學(xué)

【摘要】眾所周知初中數(shù)學(xué)教學(xué)首要要求就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，只有形成數(shù)學(xué)思想，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才能事半功倍.本文將對(duì)數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用進(jìn)行探索，通過(guò)論述何為數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思想的重要性以及當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題，進(jìn)而探究如何在初中函數(shù)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想;函數(shù)教學(xué);初中教學(xué)

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)生涯而言是十分重要的，它對(duì)學(xué)生而言是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)階段，在這一階段應(yīng)該著重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)[1].盡管數(shù)學(xué)成績(jī)是學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一個(gè)反映，但如何思考、如何獲得解題方法以及最終解出正確答案才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.正因如此，通過(guò)在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中為學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想是十分重要的，也是必要的，本文將對(duì)“數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用”這一點(diǎn)進(jìn)行論述.

1 數(shù)學(xué)思想

1.1 數(shù)學(xué)思想

既然談及數(shù)學(xué)思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，那么何為數(shù)學(xué)思想？東北師范大學(xué)博士研究生導(dǎo)師史寧中曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一段話：“數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)是要讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用教學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語(yǔ)言就是模型.”從史寧中教授的話中，我們不難看出：所謂的數(shù)學(xué)思想，就是身處于現(xiàn)實(shí)世界中，能夠用數(shù)學(xué)的理論和方法來(lái)分析和計(jì)算現(xiàn)實(shí)中的萬(wàn)事萬(wàn)物，從而以一種理性客觀的方式分析發(fā)生的現(xiàn)象.而遇到問(wèn)題時(shí)，以這種數(shù)學(xué)思維思考問(wèn)題并解決問(wèn)題就是數(shù)學(xué)思想[2].

我們通常所說(shuō)的等量替換、換元法、化歸思想等等，都是可以稱為數(shù)學(xué)思想方法.而我們從史寧中教授的話中也能夠看出抽象、推理以及模型也是數(shù)學(xué)思想.那么二者的關(guān)系是什么？首先他們都作為數(shù)學(xué)思想;其次，前者的思想是建立在后者之上而提煉出來(lái)的.比如說(shuō)，我們?cè)谟?jì)算題目時(shí)，為什么會(huì)在計(jì)算時(shí)想到等量代換？那是因?yàn)橥ㄟ^(guò)大量的計(jì)算和總結(jié)，等量代換思想可以由其他基本的思想推理出來(lái).所以說(shuō)，在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)思想，也就是抽象、推理和模型思想，在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的其他數(shù)學(xué)思想.

1.2 數(shù)學(xué)思想的重要性

數(shù)學(xué)思想的重要性，換言之，就是為什么要讓學(xué)生具備數(shù)學(xué)思想.首先針對(duì)初中學(xué)生，初中數(shù)學(xué)是為他們奠定今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的階段，在這一時(shí)期，學(xué)生的思考模式和思維習(xí)慣將很大程度地決定今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難易程度[3].再者，數(shù)學(xué)思想是一種理性分析的思想，它是針對(duì)于數(shù)學(xué)題目的一種思維習(xí)慣，如果學(xué)生不具備這種思想，則學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上將會(huì)舉步維艱.

在處理一些極具抽象性題目的問(wèn)題，學(xué)生會(huì)摸不著頭腦.比如說(shuō)，小學(xué)數(shù)學(xué)多以應(yīng)用題為主，其題目類型貼切生活實(shí)際，而初中數(shù)學(xué)則更加抽象化，涉及函數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)模型，這就要求學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思想，否則學(xué)生很難切入問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).

2 當(dāng)前數(shù)學(xué)思想教學(xué)存在的問(wèn)題

2.1 對(duì)數(shù)學(xué)思想的不重視

當(dāng)前很多數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，而初中數(shù)學(xué)教學(xué)缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)是一個(gè)十分嚴(yán)重的問(wèn)題.當(dāng)前很多的教學(xué)現(xiàn)狀就是依照課本的流程，按照課本的內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)行“流程化教學(xué)”.而這種看似一條線的教學(xué)模式，卻很少摻雜對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，這就導(dǎo)致很多學(xué)生在遇到題目時(shí)，“一看就會(huì)，一做就廢.”很多老師把他歸結(jié)為學(xué)生做題太少、知識(shí)點(diǎn)掌握不夠熟練.但同時(shí)，許多時(shí)候是因?yàn)閷W(xué)生并沒(méi)有建立起數(shù)學(xué)思想，在遇到課本題目時(shí)，能夠輕松解決.可是當(dāng)變換題目中某幾個(gè)信息之后，學(xué)生再去做就會(huì)摸不著頭腦.

數(shù)學(xué)思想沒(méi)有建立起來(lái).相信許多老師會(huì)有這樣的經(jīng)歷：課堂提問(wèn)學(xué)生解題方法時(shí)，稍微提醒學(xué)生就能把題目做出，可是缺乏老師的提醒學(xué)生就很難下筆.這就是相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想沒(méi)有建立起來(lái)，只是記住例題答案，而不知變通.所以說(shuō).在初中數(shù)學(xué)課堂注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)十分重要，而老師也應(yīng)該將數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)貫穿在每堂課中.

2.2 老師的主體地位過(guò)于突出

老師在教學(xué)中的主體地位過(guò)于突出也是當(dāng)前數(shù)學(xué)思想教學(xué)中存在的主要問(wèn)題.這也是傳統(tǒng)教學(xué)方式根深蒂固的一個(gè)表現(xiàn).隨著對(duì)教學(xué)的不斷研究，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該更多地注重學(xué)生作為教學(xué)的“主體”地位[4].過(guò)分強(qiáng)調(diào)老師的主體地位，將直接導(dǎo)致課堂中大部分時(shí)間是老師在講述.而這恰恰忽略了“學(xué)生作為教學(xué)的主體地位”這一觀念.

如何才能建立數(shù)學(xué)思想？思想的建立是一個(gè)不斷思考、循環(huán)重復(fù)的過(guò)程，而這一思考過(guò)程只能由學(xué)生自身來(lái)完成，老師在這一過(guò)程中所起到的作用是循循善誘，起到“引導(dǎo)”的作用.而不是依賴于老師的思維慣性，使學(xué)生順著老師的想法去思考，而一旦在教學(xué)時(shí)選擇了后者，就會(huì)出現(xiàn)上文提到“一看就會(huì)，一做就廢”.主體地位的問(wèn)題，換言之，也可以看作學(xué)生課堂的參與度的問(wèn)題，老師要更多調(diào)動(dòng)學(xué)生投入到課堂當(dāng)中，而不是單純地讓學(xué)生聽(tīng)老師的講述，學(xué)生只有通過(guò)思考的過(guò)程，才能建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想[5].

3 如何在初中函數(shù)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想

3.1 抽象思想

正如史寧中教授所說(shuō)，數(shù)學(xué)基本思想分為抽象思想、推理思想以及模型思想.之所以強(qiáng)調(diào)抽象思想，是因?yàn)閷W(xué)生在接觸到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，許多并不是像初中幾何這種純數(shù)學(xué)模型，而是題干中隱含數(shù)學(xué)信息，需要學(xué)生進(jìn)行抽象提取.

題12011年開(kāi)始運(yùn)營(yíng)的京滬高速鐵路全長(zhǎng)1318km，設(shè)列車(chē)的平均速度為300km/h.請(qǐng)考慮以下問(wèn)題：

（1）乘京滬高鐵列車(chē)，從始發(fā)站北京南站到終點(diǎn)站上海虹橋站，約需要多少小時(shí)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？

（2）京滬高鐵列車(chē)形成y（單位：km）與運(yùn)行時(shí)間t（單位：h）之間有何數(shù)量關(guān)系？

（3）京滬高鐵列車(chē)從北京南站出發(fā)2.5h后，是否已經(jīng)過(guò)了距始發(fā)站1100km的南京南站？

如題1所示，這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)性數(shù)學(xué)問(wèn)題.對(duì)于這種題目就需要學(xué)生具備抽象思想，從中提取關(guān)鍵信息，像路程等于速度乘時(shí)間，并借此建立一次函數(shù)表達(dá)式.老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，不能單純告知學(xué)生如何解題，而是要引導(dǎo)學(xué)生去分析題目，讓學(xué)生自己去思考，從而自身提煉題目?jī)?nèi)涵.抽象的本質(zhì)就是由繁化簡(jiǎn)，所以老師可以通過(guò)簡(jiǎn)化題目?jī)?nèi)容來(lái)幫助學(xué)生思考.比如，在講解這道題目時(shí)，可以通過(guò)互動(dòng)的方式開(kāi)展教學(xué)，像“京滬高速鐵路全長(zhǎng)是什么？是路程.平均速度是什么？是速度.那我們要求什么？求時(shí)間.所以應(yīng)該建立什么關(guān)系？是路程等于速度乘時(shí)間.”通過(guò)這種將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化以及與學(xué)生互動(dòng)的方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生參與問(wèn)題的思考，從而培養(yǎng)學(xué)生抽象能力.

3.2 推理思想

推理思想是建立在抽象思想之上的，需要學(xué)生對(duì)抽象出來(lái)的信息進(jìn)行分析，開(kāi)展假設(shè)或者進(jìn)行一定的推導(dǎo)，從而進(jìn)行解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想.對(duì)于不同的題目，它體現(xiàn)的方式也是不同的.

例如 以初中函數(shù)內(nèi)容為例，有一元二次函數(shù)y=x22-6x+21.題干讓討論圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù).其實(shí)就這道題目而言，可以直接通過(guò)判斷Δ<0確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，但是這只是一個(gè)結(jié)論.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，所以老師要帶領(lǐng)學(xué)生去分析為什么與x軸沒(méi)有交點(diǎn).且老師在帶領(lǐng)學(xué)生推理結(jié)果時(shí)，要更加廣泛化，通過(guò)對(duì)問(wèn)題多角度分析從而幫助學(xué)生建立比較全面的推理思想，而不局限于單一角度，就這道題而言，可以通過(guò)判斷圖象開(kāi)口方向，以及頂點(diǎn)位置來(lái)確定與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，也可以通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)圖象來(lái)確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)，甚至還可以通過(guò)圖象的變化曲線規(guī)律（也就是單調(diào)性）來(lái)確定圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（作為思維的拓展，而非強(qiáng)制性要求）.這種帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行題目過(guò)程的分析，就是對(duì)學(xué)生推理能力和推理思想培養(yǎng)的過(guò)程.

3.3 模型思想

數(shù)學(xué)模型思想就是指通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)、式子、數(shù)學(xué)關(guān)系描述特定問(wèn)題或具體實(shí)際關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是以數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)總結(jié)現(xiàn)實(shí)生活規(guī)律.而在遇到問(wèn)題時(shí)，要求學(xué)生具有建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí).同樣，對(duì)于圖1例題而言，在看到題目是考察路程、速度、時(shí)間三者關(guān)系之后，學(xué)生就應(yīng)該有意識(shí)地想到s=t·v.對(duì)于第二個(gè)例題而言，學(xué)生就應(yīng)該想到Δ=b2-4ac.而這種模型思想需要老師在教學(xué)時(shí)有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo).通過(guò)讓學(xué)生對(duì)題目的不斷熟練，以及隨著抽象和思維能力的不斷提高，能夠快速地將數(shù)學(xué)題目向數(shù)學(xué)模型靠攏，從而提高做題效率，增加正確率.

例如 在初中數(shù)學(xué)的銳角三角函數(shù)部分，因?yàn)槠渖婕暗綀D形的內(nèi)容，所以對(duì)學(xué)生的模型思想要求就更高，像“直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”、“銳角的正弦（sin A =∠A的對(duì)邊斜邊）”、“余弦（cos A = ∠A的臨邊斜邊）”以及“正切（sin A =∠A的對(duì)邊∠A的臨邊）”的概念還有“勾股定理（a2+b2=c2）”的應(yīng)用等等都需要學(xué)生牢記于心.在碰到題目和圖形時(shí)，能夠快速地將題干信息對(duì)應(yīng)到所學(xué)的模型當(dāng)中，從而進(jìn)行解題.比如圖1的題目，已知直角三角形、一條直角邊和斜邊，求三角函數(shù).這道題需要快速定位到直角三角形的正弦、余弦、正切的數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，老師在進(jìn)行例題講解時(shí)，需要有意地強(qiáng)調(diào)這些數(shù)學(xué)模型，并不只是提出正余弦的概念名稱，需要把概念內(nèi)容也重復(fù)出來(lái)，這樣在課堂講解的同時(shí)，能夠幫助學(xué)生下意識(shí)地重復(fù)記憶這些模型.另外，還可以通過(guò)對(duì)題目進(jìn)行拓展延伸，讓同學(xué)進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的記憶和理解.比如，就這道題而言，可以增加一問(wèn)：在已知上方條件和前一問(wèn)結(jié)果的前提下，請(qǐng)求解第三邊的長(zhǎng)度.而求第三邊的長(zhǎng)度可以通過(guò)∠B的正弦以及∠A的余弦進(jìn)行求解，還可以通過(guò)勾股定理求解.通過(guò)多角度的題目延伸加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解和記憶，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí).

在直角△ABC中，∠C=90°，AB=10，

BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.

需要注意的是，這三種思想并不能夠完全分開(kāi)，在教學(xué)時(shí)需要穿插進(jìn)行.特別是抽象與推理思想，抽象與模型思想是密不可分的.在推理的過(guò)程中，需要老師從已有的知識(shí)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生抽象出題目的本質(zhì)信息加以解題.同時(shí)在構(gòu)建模型的過(guò)程中，往往需要通過(guò)復(fù)雜的信息抽象出信息中的關(guān)系，就像例題一中的時(shí)間、速度與路程之間的關(guān)系.通過(guò)推理判斷，從而找出正確的解題思路和解題方法.

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中尤為重要，老師在開(kāi)展數(shù)學(xué)思想教學(xué)時(shí)，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，要注意學(xué)生在教學(xué)中的“主體”地位，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考而非老師灌輸解題思路，從而讓學(xué)生在自身分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步培養(yǎng)抽象、推理和模型思想，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

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