反比例函數解題能力的提升策略

姜漢中

【摘要】反比例函數是北師大版初中數學九年級上冊第六章的內容，也是初中數學的重要內容.讓學生掌握一些解題技巧，提升相關題目的解題能力是教師在這一章節的重要目標.如果學生能抓住三類題型，即：反比例函數與一次函數綜合的題型、反比例函數與不等式融合的圖形、反比例函數與動點融合的圖形，再對這些題型進行深入探析，就能加深對反比例函數的理解.

【關鍵詞】初中數學;解題能力;反比例函數

教師以這三類題型作為訓練的重點能豐富和提升學生在反比例函數上的解題技巧，讓他們在實踐與應用中將所學的反比例函數的知識與具體考查題型有效融合.在三類題目中學生將畫圖、觀察、猜測、推理等數學活動融為一起，漸漸地、多維度地感知反比例函數的特征，進而提升數學素養.

1 與一次函數綜合，考查函數性質

教師在考查學生對反比例函數掌握的情況時，往往是將一次函數與反比例函數融合起來呈現，以讓學生形成綜合性的解題能力，也讓他們在比較與分析中更好地掌握反比例函數的性質與運用.大多學生在解決綜合性問題時，往往容易將前后學到的知識混合起來，教師就需要依據學生的這一特點設計一些針對性的題目.在解析這類題目時，教師要指導學生把握好兩種函數的性質，進而再指導他們以圖象交點為突破口構建解析方程以分析圖象的相關性質.

例如 如圖1所示，直線y1=kx+1與雙曲線y2=2x在第一象限交于點P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則能得出哪些結論？

這是一道開放題，主要是讓學生都能參與其中.學生想到了點P（1，t）中的“t”是可以先求得的.他們由點p在雙曲線y2=2x上，進而推得t=21=2.解題時學生抓住交點p，因為P（1，2），且在直線y1=kx+1上，進而他們推得2=k+1.即k=1.兩個明顯的結論被他們推得，他們將目光聚焦在△OAB上，有學生認為這是一個等腰三角形.他們先是從直線AB的解析式y=x+1入手，令x=0，則y=1，進而得出B（0，1）.也就是說，OB=1.同樣的方法，他們令y=0，則x=-1，進而推得A（-1，0），OA=1.顯然OA=OB，△OAB為等腰直角三角形.當然還有學生由圖象直接推得當x>1時，y1>y2.如，連接OP，可以求△OBP的面積=12×1×1=12.△OAP的面積=12×1×2=1.

2 與不等式知識相聯系，考查數式圖象轉化

在學習反比例函數時，學生發現這種函數具有數式的特點，它可用于探究方程或者不等式的數量關系.因此教師可引導學生深入探討反比例函數與不等式的關系，進而幫助學生建立更為完整的數學體系.對于這一類題目，教師需要引導學生關注圖象，進而讓他們學會進行不等式與圖象之間的轉化.

例如 雙曲線y=2k-1x的圖象經過第二、四象限，則k的取值范圍是多少.

學生先要就題目的要求，畫出大致的圖象，再由反比例函數圖象位置在第二、四象限這一條件，推斷出2k-1<0，即，k<12.教師出這題的目的主要就是讓學生進一步地掌握反比例函數的圖象及其性質以及一元一次不等式的相關認知.如果直接讓學生背誦，“對于 y=kx來說，當k>0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減小.當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一條象限內y隨x的增大而減小.”顯得枯燥無味，而用圖形的形式呈現，就顯得一目了然，便于學生掌握反比例函數圖象的性質.

3 與幾何最值相綜合，考查基本模型

將反比例函數與幾何聯系起來，也是常見的題型，旨在考查學生綜合運用認知的能力，同時也打通幾何與函數之間的壁壘.一般地這類題目會涉及到相關圖形的面積，相關線段的最值.學生需要仔細分析已知條件，將對應的問題進行轉化，比如最值問題可以通過對稱軸來轉化.

例如 如圖2所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA=2，OC=4，連接OB.反比例函數y=k1x（x>0）的圖象經過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F.一次函數y=k2x+b的圖象經過E、F兩點.分別求出一次函數和反比例函數的表達式;點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標是多少.

這題學生先要將四邊形為矩形的條件運用起來，即，OA=BC=2，OC=4.因為矩形在坐標軸內，可將邊長的條件轉為對應點的坐標，即，B（4，2），再由中點坐標公式求得D坐標為（2，1）.當學生抓住反比例函數y=k1x（x>0）的圖象經過線段OB的中點D這一條件，就可得出k1=xy=2×1=2，進而反比例函數表達式為y=2x.接著學生令y=2，則x=1;令x=4，則y=12，所以點E坐標為（1，2），F（4，12）.如果設直線EF的解析式為y=k2x+b，代入E、F坐標就可獲得：

2=k2+b12=4k2+b，即k2=12b=52.所以一次函數的解析式為y=-12x+52.

對于第二問，學生要盡可能地將其轉化為最值的最基本的圖形.教師可引導學生作點E關于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，顯然地此時PE+PF最小.學生由E坐標自然地就獲得對稱點E′為（1，-2）.如果學生設直線E′F的解析式為y=mx+n，代入點E′、F坐標，就能求得直線E′F的解析式為y=56x-176.有了這樣的結果，學生只要令y=0，則x=175，就能得出點P坐標為（175，0）.可見教師可引導學生分三步完成此類題目，首先是解析圖象，其次是構建最值得基本圖形模型，最后是完成最值分析.

4 結語

有關反比例函數的題型還有很多，教師可依據學生的學習狀況不斷地總結，以豐富他們的學習體驗.培養學生的解題能力主要是提升他們自主學習的能力，增強他們攻堅克難的信心.當學生在解題過程中把握反比例函數的數式特點、圖形特點，同時能準確定位反比例函數的思想內涵、知識聯系點，他們就能探究出一般性的解析思路，進而改善思維品質.

參考文獻：

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