對尺規作圖的再理解

摘要：關于尺規作圖的教學在我們的課堂中應該怎么教，教到什么程度，值得我們思考，以2021年福建省一道中考試題為例，闡述尺規作圖的基本思路、操作流程與原理分析，對教學的實踐進行思考，引導關注幾何教學，發展學生核心素養.

關鍵詞：尺規作圖;幾何教學;初中數學

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）14-0026-03

收稿日期：2022-02-15

作者簡介：林龍海（1977.8-），男，福建省福州長樂人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.

尺規作圖是初中數學幾何教學中的一塊重要內容，隸屬于幾何與圖形板塊，中考對尺規作圖的考查常常涉及多種方式，試題往往以不同的形式呈現，但無論何種形式，了解作圖的基本過程、理解作圖的基本原理、掌握作圖的基本技能與方法是解決問題的關鍵所在.

1 對尺規作圖的知識應用再理解

（2021·福建）如圖1，已知線段MN=a，AR⊥AK，垂足為A.

（1）求作四邊形ABCD，使得點B，D分別在射線AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD∥AB;（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）略.

1.1 試題分析

本題的作圖并沒有明確指明使用哪一種基本作圖方式，屬于基本作圖的應用，需要學生根據題意來選擇怎樣的基本作圖操作來實現求解.此類試題的解決在于首先要明確幾何圖形的基本性質，然后根據其基本性質，使用幾個基本的尺規作圖進行疊加或組合完成.

1.2 解法分析

下面給出10種不同的解法，從不同角度、不同方式來重新認識一下尺規作圖.

解法1作垂線得到點D

如圖2，使用“作一條線段等于已知線段”，以點A為圓心，a為半徑畫弧，在射線AK上作AB=a，作出點B，再次使用這個基本作圖，作出等邊三角形ABC，再過點C作CD⊥AR，垂足為點D，得到點D.

分析看到60°想到等邊三角形，看到AR⊥AK想到作垂線得出CD∥AB.解法1使用2種基本作圖得到答案.

解法2作菱形得到點D

如圖3，同解法1得到點B和點C，再分別以點A，C為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點E，得到菱形ABCE或菱形ABEC，直線CE與AR交點即為點D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB，想到菱形的性質：對邊平行，作菱形出平行.解法2使用5次同一種基本作圖得到答案.

解法3作菱形得到點D

如圖4，同解法2得到點E，再以點C為圓心，a為半徑畫弧，交AR于點F，得到菱形ACFE，菱形ACFE的對角線CE與AF的交點即為點D.

分析看到60°想到等邊三角形，看到AR⊥AK為了得出CD∥AB，故利用菱形的性質：對角線互相垂直，作點D.

解法4作一個角等于已知角得到點D

如圖5，同解法1得到點B和點C，在點C處利用“作一個角等于已知角”得到∠DCE=∠ABC，直線CD與AR的交點即為點D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD//AB想到了平行線的性質：同位角相等，兩直線平行，作同位角相等得到答案.

解法5作一個角等于已知角得到點D

如圖6，同解法1得到點B和點C，在點C處再用“作一個角等于已知角”，作出∠BCE=∠ABC或∠DCB=∠CBK，直線CD與AR的交點即為點D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB想到了平行線的性質：內錯角相等，兩直線平行，作內錯角相等得到答案.

解法6作線段垂直平分線，作一個角等于已知角得到點D

如圖7，同解法1得到點B和點C，“作線段AB 的垂直平分線”，過點C作CE⊥AB于點E，得到AE=BE，用“作一個角等于已知角”，過點E作∠AED=∠ABC，得到△AED≌△EBC，ED∥BC，利用全等的對應邊相等，得到ED=BC，故四邊形EBCD是平行四邊形，CD∥AB.

分析看到60°想到等邊三角形，為得到CD∥AB故作出平行四邊形，由平行四邊形的對邊平行，得到答案.使用了3種基本作圖得到答案.

解法7作線段垂直平分線，作一條線段等于已知線段得到點D

如圖8，同解法1得到點B和點C，再作線段AB 的垂直平分線得到點E，過點E作ED=BC，作點D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD//AB，利用AR⊥AK想到作矩形，利用矩形的對邊平行.

解法8作線段垂直平分線，過一點作已知直線的垂線得到點C

如圖9，同解法1得到點B，作線段AB的垂直平分線交AB于點E，過點E作ED=AB，得到△AED為含30°的直角三角形，作點D，過點D作AR的垂線交線段AB的垂直平分線于點C.

分析看到60°，AR⊥AK想到含30°的直角三角形，為了得到CD∥AB，作CD⊥AR.使用了3種基本作圖得到答案.

解法9作線段垂直平分線，過一點作已知直線的垂線得到點C

如圖10，同解法8得到點D，過點D作AR的垂線，再過點D作DC=AE，得到點C.

分析看到60°，AR⊥AK想到含30°的直角三角形，為了得到CD∥AB，作CD⊥AR，利用DC=AE得到點C.

解法10作線段垂直平分線得到點D

如圖11，同解法1得到點B和點C，作線段AC 的垂直平分線交AC于點E，再以點E為圓心，EC為半徑畫弧，交AR于點D，作點D.

分析看到60°想到等邊三角形，為了得到CD∥AB，看到AR⊥AK想到去得到∠ADC=90°，利用直徑所對的圓角為90°，得到答案.

上述10種解法，大多采用1種多次使用或2種或3種基本的尺規作圖組合完成，依據幾何性質，找到相應的基本作圖，產生出不同的解法.

2 對尺規作圖的教學意義再理解

2.1 在尺規作圖教學中，可以利用一題多解與多解歸一方式培養核心素養

本題內涵豐富，解法多樣，多種解法都能回歸到最基本的尺規作圖，教學中對每一種解題方法給出邏輯思考，讓學生在歷練基本作圖的基礎上，知法明理，結合直覺思維與邏輯推理，在動腦、動手的學習中培養學生的數學思維，形成良好的直覺思維和幾何直觀等核心素養.

2.2 在尺規作圖教學中，可以利用逆向思維方式培養探究意識

尺規作圖不僅是一種操作，更是對數學思維和探究的一種過程，一種溯源過程.教師在教學中，要引導學生先自行獨立思考，嘗試各種解法，洞察學情，以學定教.

2.3 在尺規作圖教學中，可以利用經典著作與故事滲透中國傳統文化的教育

尺規作圖是數學文化長廊中的不可多得的耀眼明珠，廣大數學愛好者圍繞著它，產生了許多有趣的數學問題，利用經典著作與故事，可以更好地傳播數學文化，在操作與求證過程中，能深刻體會到尺規作圖彰顯了數學獨特的文化魅力.

參考文獻：

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[責任編輯：李璟]