指向深度學習的數學活動探究

摘要 數學活動是數學課堂教學的主旋律。對數學活動認識的模糊化、形式化和片面化會導致學生對數學學科無法形成全面性、整體性的認識。基于深度學習與數學活動的認識與理解，闡述了指向深度學習的數學活動內涵，并提出相應的課堂教學策略，以期為指向深度學習的數學活動的有效開展提供參考。

關鍵詞? 深度學習? 數學活動? 教學案例

引用格式 高建國.指向深度學習的數學活動探究[J].教學與管理，2022（16）：56-60.

在課程改革二十多年的實踐中，傳統數學課堂中的獨白和灌輸逐漸被看、聽、說、做等活動所代替，學生的主體地位得到了充分尊重，活動成為課堂教學的主旋律。但在實踐中也出現了一些問題，表現在：在情境創設上，刻意增加一些與學習內容關聯不大的圖片或視頻，以強調數學的生活性、教學設計的新穎性，為活動而活動的做法分散了學生的注意力，也沖淡了數學問題的本質;在數學操作上，忽視高中生應有的認知水平，在課堂上進行一些低齡化的數學實踐與游戲活動，學生內在的情感和思維沒有被有效激活，活動缺少了思維深度;在數學討論中，缺乏明確的主題與有效的組織，課堂看似熱烈活躍，實則亂作一團，活動浮于表面，不能有效啟發學生進行數學思考;在問答活動中，過度重視了提問的頻數卻忽視了問題的質量，課堂上提出“對嗎，可不可以，是不是這樣”等問題，學生應答積極性很高，活動參與面很廣，但這些問題幾乎不需要思考就可以脫口而出，屬于簡單的認知和記憶活動，不利于培養學生的批判性思維;在數學知識獲取過程中，忽略知識的發現、建構、抽象、符號化等過程，以關鍵詞填空的形式讓學生迅速完成概念或定理的學習，此種“知其然不知其所以然”的做法會導致思維方式僵化，扼殺學生的創造力。

由于部分教師對數學活動認識的模糊化、形式化和片面化，導致活動的數學本質凸顯不夠、“去數學化”傾向嚴重、忽視了活動必須為內容服務的核心要義，造成學生習得的是一些碎片化的知識、割裂的技能、僵化的思維方式，無法形成對數學學科全面性、整體性的認識。如何才能讓數學活動回歸數學教育初衷，變得更“純粹”一點，更具有“數學味”？怎樣以數學的內在力量幫助學生深刻理解學科本質，培養學生的創造性思維、批判性思維、多層抽象思維等高階思維？本文嘗試通過設計指向深度學習的數學活動來解決上述問題。

一、指向深度學習的數學活動內涵

深度學習是美國學者Ference Marton和Roger Saljo在1976年提出的一種學習概念，與淺層學習（Surface Learning）相對應。黎加厚教授認為：“深度學習是一種基于理解的學習，是指學習者以高階思維的發展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想，并將它們融入原有的認知結構中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學習。”[1]深度學習注重知識學習的批判性理解，強調學習內容的有機整合，著意學習過程的建構反思，重視學習的遷移運用和問題解決。具體到數學學習中，深度學習應該是學生對數學知識的深刻理解，對思想方法的深度領悟，對數學內在結構的整體把握，對數學問題解決的深情投入，對數學學習任務的主動介入等等。

《數學課程標準（實驗稿）解讀》指出“數學活動就是學生學習數學，探索、掌握和應用數學知識的活動”，是“經歷數學化過程的活動”，是“學生與教材，以及教師產生交互作用，建構數學知識的活動”[2]。數學活動必須遵循數學化原則，沒有“數學味”的活動只會使活動浮于形式、失去意義;數學活動中所用的方法一定是抽象的、計算的方法，僅停留在操作、測量、觀察、實驗等形式，缺少數學思想與方法參與的活動必然無法走向深入，不能形成真正的數學能力;數學活動應該面向復雜問題解決，符合學生高層次的認知水平，在問題解決的過程中完成信息整合、知識建構、遷移運用等，實現高階思維的發生;數學活動還要重視數學知識發生發展的過程，能激發學生良好的學習動機，使用多樣化的學習工具，充分調動學生的各種感官系統等等。

基于上述認識，指向深度學習的數學活動，是指學生在教師指導下，以已有經驗為基礎，以培養問題求解與決策能力、批判性與創造性思維能力為目標，通過看、聽、說、做等形式操作現實對象，幫助學生深刻理解數學知識、方法及思想，并能將其遷移到新的問題情境中，助力新問題的發現與解決的活動。

二、指向深度學習的數學活動策略

指向深度學習的數學活動策略包括：數學活動與信息技術的深度融合策略，即在深入理解與掌握信息技術的基礎上，用可見的形式呈現不可見的數學內容，助力學生深刻理解數學知識與方法;師生深度互動的課堂講授策略，即要求教師摒棄以傾聽、記憶、模仿和練習為主的教學方法，以資源提供者、活動設計者、學習組織者、專業知識支持者的角色參與課堂，以培養學生獨立思考、主動參與、批判性接受新知識的習慣;聚焦問題解決的合作交流展示策略，即以復雜真實問題的解決為目標導向，高效率地開展具有批判性、廣泛聯系性的數學交流活動，顯露學生的思維過程，錘煉學生的思維品質;促進深度理解的數學實驗策略，即讓學生通過觀察性學習和參與性實踐獲得真實的學習體驗，引導學生用科學的方法驗證數學結論，實現理論與實踐的有效聯通以及知識的建構與轉化，使學習成為經歷分析、推斷、概括、遷移的思維活動。

四種策略對應于數學活動中的“看、聽、說、做”四種方式，它們彼此聯系、不可分割，最終共同指向“思”，即發展學生問題解決、決策、批判性、創造性等高階思維能力。其結構如圖1。

1.信息技術與數學課程的深度融合

“注重信息技術與數學課程的深度融合，提高教學的實效性”是《普通高中數學課程標準（2017年版）》倡導的一個重要理念。信息技術在數學活動中的優勢表現在：能提供大量的圖像、音頻、視頻等教學資源，有利于全方位、多角度為學生營造學習環境，拓展學生思維的空間;能提供交互式、多樣化的學習方式，有利于激發學生的學習興趣，調動學生參與數學活動的積極性;專業化的輔助教學軟件可以給學生演示生動形象的動態圖形，讓抽象的數學內容變得直觀可視。在數學活動中應用信息技術，豐富的教學資源、功能強大的數學軟件、便捷智能的教學終端固然重要，但更加重要的是要體現活動的數學性，要指向高階思維能力的培養，要幫助學生形成創造性分析、較快形成思路、迅速進行決策、快速整合資源的素養。

案例 1 “函數在某點的切線”教學設計

情境：教師展示我國在南海永興島修建的機場跑道、我國首艘貨運飛船天舟一號發射成功后與地球的相對位置示意圖、我國首顆探月衛星嫦娥一號與地球的相對位置示意圖三幅圖片。

問題1：我們所處的地球表面究竟是平面還是曲面？

發現1：感覺地球表面是平面的原因在于觀察點由遠至近，相當于把觀測的地球表面不斷放大，放大到“很大”的時候，曲面就幾乎變成平面了。

問題2：記冪函數圖像在第一象限的交點為P，嘗試刻畫各種曲線在點P處的變化趨勢。

發現2：將給定曲線點P附近的曲線放大再放大，發現“曲線變直”。

問題3：如何量化曲線上一點處的變化趨勢？

發現3：用點P附近直線的斜率來刻畫變化趨勢。

追問：如何找到這條直線？

活動1：教師演示動畫（如圖2），當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終成為曲線在點P處最逼近曲線的直線，即曲線在點P處的切線。

活動2：教師呈現相關數學史料（網絡資源），涉及歐幾里得、阿波羅尼奧斯、笛沙格等數學家對切線的定義。

佛萊登塔爾提出“數學教學的核心是學生的‘再創造’”，數學活動就是要幫助學生實現數學的“再創造”。借助現代信息技術，教師可以讓學生根據自己的體驗，用自己的思維方式重新創造出有關的數學知識。案例1中，教師利用豐富的網絡資源，給學生展示了從不同角度看地球表面所呈現的不同形態，拉近了數學與生活的聯系，激發了求知欲與探究興趣，學生在激烈的思維碰撞中萌生了“以直代曲”的想法。遷移到數學中，可否“以直代曲”呢？教師利用動畫演示曲線局部放大后可以無限逼近于某條直線的現象，潛移默化中給學生搭建好了研究曲線上一點處變化趨勢的腳手架。新問題“如何找出這條最逼近的直線呢”順勢而生，讓學生嘗試后，教師再演示從割線慢慢演變到切線的過程，至此，學生完成了對切線概念的“再創造”，同時產生了新的疑問——這種切線跟過去所學圓錐曲線的切線是一回事嗎？教師提供的相關數學史料正好回答了疑問，也完成了切線概念的同化與順應[3]。

2.師生深度互動的課堂講授

講授法是傳統數學課堂采用比較多的方法，只要教師設計合理、講授得法，學生的學習有一定的意義，能取得一定的教學效果[4]，但單純的講授會導致數學活動形式單一，學生被動接受知識比較多，主動思考機會少，課堂參與效率低，批判性思維、創造性思維都會受到抑制。因此，作為數學活動組織者的教師需要及時變更角色，從知識的掌握者、傳遞者轉變成學習資源的提供者、學習活動的設計者、學習過程的組織者、專業知識的支持者。課堂講授時教師要把教學內容轉化為活動材料，要能引發學生的學習愿望，啟發學生在學習過程中質疑、批判、深入思考，幫助學生成長為有思想、有能力、有積極態度和價值觀的社會人。

案例2 “三次函數圖像與性質”教學設計

教師在批閱導數作業時發現，學生對函數的零點個數、極值情況、導函數與原函數關系等問題不太熟悉，嘗試借助對三次函數圖像與性質的研究來打通學生認識的瓶頸。

情境：盡可能畫出你所掌握的各種三次函數圖像。教師展示出如圖3的圖形。

探究：嘗試將以上圖形分類，并闡述分類的依據。

發現1：按照a的正負分類，一類是a>0時，當x→∞，對應的圖像會無限升高，反之則無限降低;另一類是a<0時，圖像特征與a>0的情況相反。

結論1：在三次函數的解析式中，當x值很大時，對函數值y起決定作用的是ax3項，系數a決定了函數圖像是先“上天”還是先“入地”，這一特征與二次項系數a決定二次函數的開口方向類似。

發現2：還可以按照單調性與極值點個數分類。

結論2：三次函數導函數零點分布情況決定了原函數極值點個數，若導函數有兩個不同的零點，則原函數是非單調函數，有兩個極值點;否則是非單調函數，無極值點。

發現3：也可以按照函數的零點個數分類：一類是僅有一個零點，一類是有兩個零點，還有一類是有三個零點。

結論3：單調函數僅有一個零點，非單調時可以由極大極小值的乘積正負情況判斷零點個數。

傳統的作業講授課一般都是教師講，學生記，學習缺乏深入思考與主動建構的過程，學生被動性較強。本案例創新了講授活動形式，通過設置多個發散問題供學生自主探究，如：能畫一個你熟悉的三次函數圖像嗎？能對上述圖形進行分類匯總嗎？借助這些“發散點”，學生就能深刻理解函數零點、極值、導函數與原函數關系等等，給作業訂正指明了方向;學生的思維過程得到充分顯露，求知欲和創造熱情得到有效激發，學生感受到探究問題的樂趣，從中學到了更深更廣的內容。這種師生深度互動的講授法給數學活動提供了廣闊的學習空間與較強的學習動力，增大了課堂思維容量，有利于批判性思維與創新能力的發展[5]。

3.聚焦問題解決的合作交流

合作交流活動可以讓學生在輕松的環境中交換彼此的觀點，能很好的鍛煉學生傾聽、開放性思考與團隊合作的能力，能引導學生積極參與教學的全過程，助力學生主動發現問題和共同解決問題，培養分析比較、概括解釋、數學建模等高階思維能力。討論主題的設計是高效開展數學活動的關鍵，需遵循如下原則：直切主題，將學生迅速帶入學習情境;引領方向，激發強烈的學習動機;“短小精悍”，留給學生充分的交流時間;層次清晰，增強學生學習獲得感與參與程度。在開展合作交流活動時還應注重用評價促進討論，提高討論的效率;提倡“頭腦風暴法”討論，引導學生從多角度、多方位思考問題，鼓勵提出新觀點和新方法，培養學生的求異性思維。

案例3 “指數函數的圖像與性質”教學設計

探究：歸納指數函數的圖像及性質，并用所學知識解釋或證明。

合作交流活動按如下流程進行：

在獨立探究環節，要求每位組員在給定的坐標紙上畫兩個函數的圖像，六人小組作如下分工：①y=2x，y=3x;②y=2x，y=4x;③y=2x，y=x。在組內交流環節，讓組員結合所畫圖像，交流總結出指數函數的圖像與性質。在小組展示環節，先指定一組匯報研究成果，然后其余小組進行補充發言。學習評價主要依據三條：小組分工合理、任務明確;圖像畫得準且快，性質發現多;理由解釋嚴謹科學。教師點評包括三個方面：一是篩選，對學生所發現的代數特征進行分析討論，篩選出典型特征作為指數函數的性質;二是提煉，總結出研究初等函數性質的一般方法;三是評價，對小組活動進行評價，給優秀小組進行獎勵性加分，并記入學習過程性評價手冊。

指數函數的性質采用的是由特殊到一般的研究方法，案例中刪繁就簡，精選六個典型函數，直接給明探究方向。小組內部合理的分工減少了重復勞動，學生在較短的時間內積累了更多的感性材料。組內交流有利于克服個體認識的局限性、提升學習主動性與課堂參與度，有利于發現和提出數學問題、發展批判性思維;小組展示匯報能彌補小組活動中的不足，進一步拓寬視野，推動指數函數性質的深度研究與挖掘，對于培養靈活性、廣闊性、獨創性、深刻性等優秀思維品質作用很大;教師點評則可以聚合學生的想法，從中提取出更有價值、更具有代表性的性質以便于后續學習中使用，也可以進行方法滲透與學法指導，還可以以評價來引領小組注重合理分工、團結協作。

4.促進深度理解的數學實驗

數學實驗是學生運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動[6]。它將過程與結果、操作與思維、實驗與論證、證偽與證實有機融合，實現了靜態數學觀與動態數學觀的融通，使得數學教學變得完整而有活力，能有力促進學生對數學知識及思想方法的深度理解。

高中階段的數學實驗活動需注意三個方面：一是實驗活動的適切性，數學實驗應符合高中生的認知水平，例如在古典概率課上做拋硬幣的數學實驗就不太合適（小學、初中都做過）;二是實驗活動的適度性，過多的數學實驗不利于學生抽象能力的培養;三是數學實驗的輔助性，數學實驗只是輔助學生暫時克服認知困難的工具，不宜作為學生一直依賴的手段，如立體幾何的教學就應該由依賴實物模型輔助逐步過渡到依靠直觀想象來分析問題，利用邏輯推理來解決問題。數學實驗活動的教學要在四個方面下功夫：一要突出實驗活動方案設計，二要激發學生探究興趣，三要注重引導學生體驗和感悟，四要將實驗結論向縱深推進，助力高階思維的發生。

案例4 “畫橢圓”數學實驗教學設計

情境：教師給各學習小組提供細繩一根、圓形紙片一張，白紙若干，要求參照如下兩種方案，開展數學實驗活動。

方案一：如圖4，在白紙上標出兩點，把細繩兩端固定在兩點處，把筆尖貼在繩上，始終崩緊，移動筆尖，觀察筆尖形成的圖形。

方案二：如圖5，準備一張圓形紙片，在圓內任取不同于圓心的一點F，將紙片折起，使圓周過點F，然后將紙片展開，就得到一條折痕l（為了看清楚，可把直線l畫出來）。這樣繼續折下去，得到若干折痕，折痕圍成的輪廓是什么曲線？

實驗活動按以下流程進行：

問題：兩種不同的方案都可以畫出橢圓，其背后的數學原理是什么？

結論：橢圓是平面上到兩定點距離和為定值的點的集合。

該案例在激發學習動機、幫助掌握數學知識、培養數學操作能力等方面都取得了不錯的效果。原因之一在于數學實驗強調了過程教學。傳統的數學課堂將數學作為一個現成的產品來教，面對現成的數學結論，學生唯一能做的事就是粘貼與拷貝。現代數學教育理論認為學數學就是把注意力從傳統的集中于數學內容方面轉移到數學過程方面[7]。學生在數學實驗中對周圍的世界發生作用，在動手解決問題的過程中促進數學知識的深度理解，增長才干，發展個性。原因之二在于激發了學習動機。首先是通過相互合作，學生都可以輕松畫出形式多樣的橢圓，不同層次的學生都能嘗到成功帶來的喜悅，增強了自我效能感;其次是學生在畫橢圓的過程中會不斷發現和提出問題，如“怎樣可以畫出更標準的橢圓”“橢圓的扁圓程度跟什么相關”“橢圓畫法的依據是什么”這樣的好奇心會驅使學生積極思考與主動探究;最后是學生的學習熱情被點燃，學生這樣評價本節課：“感覺數學很好玩”“一種全新的數學學習體驗”“發現了不一樣的數學”“數學結論也可以像物理一樣做實驗來發現”“希望以后有更多的機會這樣學數學”等等。教師最后的引導反思非常必要，有助于學生從感性認識上升到理性認識，從具體的操作體驗上升到抽象的數學理解，從數學實驗走向數學化，這對培養學生的問題意識、提升數學活動的思維深度至關重要。

參考文獻

[1] 安富海.促進深度學習的課堂教學策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

[2] 仲秀英.數學活動的內涵與特征及其對教學的啟示[J].數學教育學報，2009，18（04）：23-26.

[3] 高建國.“曲線上一點處切線的斜率”教學探索[J].中學數學教學參考（上旬），2020（10）：16-19.

[4] 曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，1999：260.

[5] 唐玉琴，高建國.巧構發散點，讓學生的思維之花綻放——一次作業講評課的教改嘗試[J].中小學數學：高中版，2010（22）：34-36.

[6] 喻平，董林偉，魏玉華.數學實驗教學：靜態數學觀與動態數學觀的融通[J].數學教育學報，2015，24（01）：26-28.

[7] 劉曉成.讓學生學會做數學———課改下的數學教學新理念[J].濰坊教育學院學報，2006，19（03）：59-61.

該文為江蘇省教育科學“十三五”規劃課題2016年度重點自籌課題 “基于深度學習理念下的數學活動設計研究”（B-b/2016/02/41）、江蘇省“333工程”培養項目“深度學習理念下的數學活動設計研究”（BRA2018200）的研究成果