由“一道習題”反觀“一個單元”

錢利萍

摘 要：數學教師要重視對教學內容的整體分析，要了解數學知識的由來，認識數學知識的結構與關聯。為了幫助學生深入理解平均分的內涵，并順利過渡到對除法的學習，本文將對一道習題的思考延伸到對一個單元的分析，嘗試從運算關系的角度對小學數學單元種子課“認識平均分”例1、例2的教學內容進行重構，以凸顯數學知識之間的聯系。

關鍵詞：小學數學;單元重構;平均分;運算關系

一、一道習題引發的思考

蘇教版小學數學二年級上冊第四單元中《表內除法（一）》的“認識除法”板塊后安排有“練習八”供學生對板塊內容進行練習鞏固，其中教材第51頁的第4題（如圖1）引發了筆者的思考：

（一）在學生眼里，這幅圖是什么意思？與上個單元剛學習的乘法有什么相同和不同之處？

【分析】圖中問題的已知條件：2個魚缸里共有10條金魚，每個魚缸里分別有5條。學生聯系剛學習的除法的兩種含義，會將圖片理解為10條金魚平均分成2份，每份5條，對應算式是10÷2=5，或10條金魚，每5條為一份，可以分成2份，對應算式是10÷5=2。若將圖1的條件變一變，將金魚總數設計為新的數學問題（如圖2），學生觀察分析后會理解為要求2個魚缸中的金魚有多少條，再根據乘法意義列出算式：2×5=10或5×2=10。

教師可充分利用這組圖片素材，引導學生將乘法和除法這兩種運算方式的意義進行對比。兩者的相同點：每份同樣多。兩者的不同點：乘法是求幾個相同的加數合起來是多少，結果指向“合”;除法是把總數平均分，過程和結果都指向“分”。以此讓學生在具體的情境中初步體會乘法與除法的互逆關系。

（二）如果金魚總數還是10條，但兩個魚缸里的金魚數量不同（如圖3），這一問題可以和先前學習過的哪些知識相聯系？

【分析】把10條金魚分為2份，會出現兩種情況：一是每份數量相同，即平均分（如圖1）;二是每份數量不同（如圖3）。一年級的學生在數學學習中已經初步構建了關于減法意義的模型：已知總數和其中一部分數，求剩余部分的數（如圖4）。從減法的意義來看，總數分成兩部分，不管每份數量是否相等，求其中一部分均可以用總數減去另外一部分。因此，圖4問題的數學算式為8-3=5。圖3求其中的一部分的數也可列式：10-4=6或10-6=4。圖1的算式也可以列為10-5=5。因為圖1是平均分的情況，所以這一情況除了可以用減法表示，還可以用除法算式表示，這便是產生除法的源頭。

（三）立足單元整體，如何在“認識平均分”的教學中做好運算關系的重構和聯系？

【分析】減法是將平均分和除法緊密聯系的紐帶，建立平均分與除法之間的關聯可以從“分”和 “減”入手。將物品平均分，分一次便減一次，當減數較多時就需要用除法來計算。除法又是乘法的逆運算，除法的產生和計算與乘法息息相關。因此，在單元種子課“認識平均分”的教學中，教師將除法和減法、除法和乘法之間的關系厘清，對學生后續理解除法運算有十分重要的意義。

二、教材單元內容分析

學生經歷了上述思考和分析，對加法與乘法的關系有了一定的理解，對減法和除法、乘法和除法這些運算關系的本質也有了一定的了解和感悟。在此基礎上，教師再看教材的編排：蘇教版小學數學二年級上冊第四單元《表內除法（一）》的內容可分兩個板塊：“認識除法”和“用口訣求商”（如圖5）。

教材把對“平均分的過程就是連續減幾個相同減數的問題”的理解放到了“用口訣求商”板塊。從運算關系的角度看，這樣的編排理念相對滯后，教材不能很好地解釋除法算式產生的過程及其必要性。對“除法是乘法的逆運算”這一知識點，教材中也沒有單獨安排例題進行專題講解，只是在相關練習中安排了乘除法的題組比較[1]。筆者認為，這一單元作為讓學生初步認識除法的單元，其對學生感知和理解互逆關系的作用需要教師在教學過程中加強。

三、重構后的教學實踐

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：要整體把握教學內容，注重教學內容與數學核心素養的聯系。因此，教師要重視對教學內容的整體分析，了解數學知識的由來及其結構與關聯。筆者站在單元整體的視角，嘗試從運算關系的角度對“認識平均分”的教學內容進行重構。

（一）經驗喚醒，在比較中認識平均分

1.動畫激趣，喚醒分物經驗

引入：生活中我們常常會遇到分東西的情況，請看動畫片——貓媽媽給小貓咪買來了6條小魚，要分成兩堆，她可以怎么分？一個圓片代表一條小魚，想一想有幾種分法？拿出圓片試一試。

學生操作，教師巡視并選取學生不同的分法展示在磁板上（如圖6）：

學生根據以前學過的知識想出了三種不同的小魚分法，我們來分別比較一下兩堆的數量，哪堆多？

第一種：3條和3條，兩堆一樣多。

第二種：1條和5條，右邊一堆多。

第三種：2條和4條，右邊一堆多。

教師追問：哪一種分法和另外兩種不一樣？為什么？（學生回答：第一種。兩堆一樣多）

說明：我們平時在分物品的時候，也常常需要將其分成同樣多的幾份。今天我們就專門來研究這種分法。

2.多維操作，聚焦概念本質

要求：將6個圓片分成每堆同樣多的分法還有哪些？請同學們試著分一分。

學生操作，教師巡視采集并展示在磁板上（如圖7）：

小結：這3種分法，都將6個圓片分成了同樣多的幾份，也可以說每份分得同樣多（板書：每份分得同樣多）。

要求：同學們能不能選擇不同數量的圓片自己分一分，使得分出來的每份數量同樣多？

辨析：不管是用6個圓片，還是自己選擇一定數量的圓片，同學們雖然分的份數不一樣，每份的個數也不一樣，但是都有什么相同的地方？（學生回答：每份分得同樣多）這樣的分法就是數學上的平均分（板書：平均分）。

3.反例判斷，加深概念理解

提問：下面的分法是平均分嗎（如圖8）？

明確：每份不是同樣多，所以不是平均分。

追問：同學們能想辦法改一改，使蘿卜的分法變成平均分嗎？

教師還可以由生動的動畫引出問題：6條小魚分成2份，可以怎么分？自然喚醒學生已有的分物經驗，在三種不同分法的數量比較中突出研究的焦點——每份數量同樣多。教師再通過多層次的動手操作，讓學生獲得豐富的直觀體驗，經過辨析，提取平均分概念的本質是“每份分得同樣多”，將平均分的含義烙印在學生心中。最后展示蘿卜圖，讓同學在反例中加深鞏固平均分概念。

（二）多元分析，在操作中學會平均分

1.扶著學：分析分的過程，表達分的結果

引入：同學們現在已經認識了平均分的概念。貓媽媽邀請聰明的同學們去她家做客，她拿出了什么來招待我們呢？

課件出示（圖9）：8顆糖，每個同學分2顆，可以分給幾個人？

審題：同學們讀到了哪些重要信息？開動腦筋想一想，“每個同學分2顆”是什么意思？

要求：從學具里拿出8個圓片，按要求分一分。

示范：誰愿意到黑板上把自己的分法展示給大家看？請你一邊分一邊說。

小結：剛才同學們動手分一分，分了4次，就能知道糖可以分給4個人。（板書：分一分）

提問：如果不用圓片，直接在圖上表示每人分2顆，可以怎么做？

預設：畫圈、連線、用豎線分隔等。

根據學生回答進行課件示范（圖10）：同學們真聰明，想出了不同的符號來表示每人分2顆。老師選了其中的一種符號來表示：

啟發：同學們學習數學，會分一分或者圈圈畫畫還不算厲害，要是能把剛才分一分、圈一圈的過程用算式記錄下來，那才是學習數學的高手。你們看，不管是分一次，還是圈一次，都是在8顆糖中劃出2顆，這個過程可以用什么算式來表示？（課件動態演示）（引導學生聯想到減法算式：8-2）再分一次，又少了2顆，怎么記錄？（引導學生列出算式：8-2-2-2-2=0）

小結：回頭看看剛才我們分糖果的過程——先動手分一分，分了4次;然后在圖上圈一圈，圈了4次;接著又用減法算式記一記（板書：記一記），減了4次;這樣就知道分給了4人。看來，分發糖果有不同的方法，但最后都分成了4份。

2.自主學：強化平均分體驗

提問：這時，熱情的貓媽媽又拿出了水果來招待客人。（課件出示）10個橘子，每2個分一袋，可以分成幾袋？9個草莓，每3個裝一盤，可以裝幾盤？（如圖11）

審題：同學們讀一讀，想一想，橘子和草莓要怎么分？下面就請同學們拿出活動單，圈一圈，記一記，再把你得到的結果填一填。

3.回頭看：抽象出平均分的模型

小結：回頭看看剛才的學習過程，同學們用不同的方法幫助貓媽媽分了8顆糖、10個橘子、9個草莓，分的時候分別先確定每人2顆、每袋2個、每盤3個，用一句話來說，就是先確定了什么？（板書：每幾個一份）再照這樣分一分、圈一圈或記一記，就得到了要分的人數、分成的袋數、裝的盤數，也就是分成的份數（板書：分成幾份）。

提問：請同學們觀察這三種分法，它們是不是平均分？

明確：每份都一樣多，這種分法是平均分。

這一環節主要幫助學生建立將一些物體按“每幾個一份”平均分的概念模型。教師將教材的例2改編成情境：分8顆糖果、10個橘子、9個草莓。三個活動的教學由扶到放，層層推進。活動1分糖果的教學中，緊扣“每人分2顆”，讓學生經歷多種分析方式，如操作分析——動手分一分;符號分析——圈一圈、連一連、畫分隔線等;算式分析——用連減算式記錄;語言分析——說一說平均分的結果。不同的分析方式使學生初步理解“每人分2顆”的不同表示方法都能獲得關于平均分的概念。接著，教師可以放手讓學生自主學習，強化其對平均分的過程和結果的體驗，從而逐步使其建立將一些物體按“每幾個一份”平均分的概念模型。

（三）開放練習，在交流中強化平均分

引入：客人們要回家了，貓媽媽給客人準備了12個蘋果。這一次，要請同學們自己確定每份的數量，然后可以用分一分、圈一圈和記一記的方法表示出來，最后填空。（如圖12）

學生獨立完成問題，教師捕捉交流素材，組織全班交流。

關注：12個蘋果，每1個為一份，可以分成12份，即12-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1=0。

引導體驗：同學們用減法記錄分法時要減12次“1”，有些麻煩。

相比于上文的自主練習，學生這一次要自己確定每份的數量，自由選擇不同的分析方法來算出平均分的結果。這樣的練習給學生更多選擇和思考空間，為學生的深度學習提供合適的機會，也為接下來的聯動交流提供了豐富的素材。

（四）前后聯系，在勾連中拓展平均分概念

提問：今天學習了平均分的概念，同學們有沒有聯想到我們以前學過的什么知識？

引導體驗：由每份數量一致想到多項求和可以用乘法計算。

平均分的教學對學生理解除法意義至關重要。平均分與除法之間有著怎樣的聯系呢？為什么除法可以表示平均分？除法從運算角度上看，是同數連減的簡便運算。平均分具有雙重概念，既能表示“分過程”——等分和包含，又能表示“分結果”——每份分得同樣多。學生理解平均分的過程可以用連減算式來表示。當要連續減去的數比較多時，寫起來比較麻煩，學生對新算式的需求也就悄悄生根，平均分與除法也在此刻聯貫。而平均分與乘法的關系更是密不可分，對于平均分的結果，學生可以用口訣直接獲得，將兩者進行聯系也為學生后續用口訣求商的學習做好鋪墊。

[參考文獻]

陳云.單元重構：凸顯知識聯系：《表內除法（一）》單元教學設計[J].教育研究與評論（課堂觀察），2020（1）：38-42.